2平方和定理

二平方定理 — の約数の個数をと表し、の約数の個数を と書きます。ここでとします。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle d(n)}$${\displaystyle d_{a}(n)}$${\displaystyle d\equiv a{\bmod {4}}}$${\displaystyle n=2^{f}p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots q_{1}^{s_{1}}q_{2}^{s_{2}}\cdots }$${\displaystyle p_{i}\equiv 1{\bmod {4}},\ q_{i}\equiv 3{\bmod {4}}}$

を 2 つの平方数の和として表す 方法の数とします。${\displaystyle r_{2}(n)}$${\displaystyle n}$

そして、指数のいずれかが奇数であれば、すべてが偶数であれば、${\displaystyle r_{2}(n)=0}$${\displaystyle s_{j}}$${\displaystyle s_{j}}$$${\displaystyle r_{2}(n)=4d(p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots )=4(d_{1}(n)-d_{3}(n))}$$