冠毛連鎖

幾何学において、パップス鎖は、西暦3 世紀にアレクサンドリアのパップスによって研究された2 つの接円の間にある円の環です。

アルベロスは、点Aで接し、C _UがC _Vに囲まれている2 つの円C _UとC _Vによって定義されます。これら 2 つの円の半径をそれぞれr _U、 r _Vと表し、それぞれの中心を点U 、 Vとします。パップス連鎖は、灰色の領域にある、C _U (内側の円) に外接し、C _V (外側の円) に内接する円で構成されます。パップス連鎖のn^番目の円の半径、直径、中心点をそれぞれr _n、 d _n、 P _nと表します。

パップス連鎖の円の中心はすべて、共通の楕円上に位置する。その理由は、パップス連鎖のn^番目の円からアルベロス円の2つの中心U、Vまでの距離の合計が定数に等しいからである。

$${\displaystyle {\overline {P_{n}U}}+{\overline {P_{n}V}}=(r_{U}+r_{n})+(r_{V}-r_{n})=r_{U}+r_{V}}$$

したがって、この楕円の焦点は、アルベロスを定義する 2 つの円の中心であるU と Vです。これらの点は、それぞれ線分ABとACの中点に対応します。

チェーン内の n番目の円の中心は次のようになります。${\displaystyle r={\tfrac {\overline {AC}}{\overline {AB}}},}$

$${\displaystyle (x_{n},y_{n})=\left({\frac {r(1+r)}{2[n^{2}(1-r)^{2}+r]}}~,~{\frac {nr(1-r)}{n^{2}(1-r)^{2}+r}}\right)}$$

チェーン内の n番目の円の半径は次のようになります。${\displaystyle r={\tfrac {\overline {AC}}{\overline {AB}}},}$$${\displaystyle r_{n}={\frac {(1-r)r}{2[n^{2}(1-r)^{2}+r]}}}$$

底直径ACBからn^番目の円の中心までの高さh _nは、 n倍のd _{n に}等しい。^[1]これは、接点Aを中心とする円で反転する ことで示せる。反転円はn番目の円と垂直^に交差するように選択され、n^番目の円はそれ自身に変換される。2つのアルベロス円C _UとC _V^{は、 n番目の円に接し、} n番目の円を挟む平行線に変換される 。したがって、パップス連鎖の他の円は、同じ直径の同様に挟まれた円に変換される。最初の円C ₀と最後の円C _{n は}それぞれ、⁠1/2⁠ d _{n は}高さh _nに寄与しますが、円C ₁からC _{n −1 は}それぞれd _{n に}寄与します。これらの寄与を合計すると、式h _n = nd _nが得られます。

同じ反転を使用して、パップス連鎖の円が互いに接する点が共通の円上にあることを示すことができます。前述のように、点Aを中心とする反転により、アルベロス円C _U、 C _{V が}2 本の平行線に変換され、パップス連鎖の円は 2 本の平行線に挟まれた同じサイズの円のスタックに変換されます。したがって、変換された円間の接点は、2 本の平行線の中間の線上にあります。円の反転を元に戻すと、この接点の線は円に戻ります。

楕円上に中心を持ち、円に接するというこれらの性質において、パップス連鎖は、有限個の円が 2 つの円に接する シュタイナー連鎖に類似しています。

• オグルヴィ、CS （1990）。幾何学の遠足。ドーバー。pp.54-55。ISBN 0-486-26530-7。
• Bankoff, L. (1981) 「パッパスはどうやってそれをやったのか?」 Klarner, DA (編) 『数学的ガードナー』 ボストン: Prindle, Weber, & Schmidt. pp. 112–118。
• ジョンソン、RA (1960)。『上級ユークリッド幾何学：三角形と円の幾何学に関する初等論文』（1929年版ホートン・ミフリン編集の再版）。ニューヨーク：ドーバー出版。pp. 116–117。ISBN 978-0-486-46237-0。
• ウェルズ、D . (1991)。ペンギンの不思議で興味深い幾何学辞典。ニューヨーク：ペンギンブックス。pp.5-6。ISBN 0-14-011813-6。

ウィキメディア・コモンズには、パップス連鎖に関連するメディアがあります。

• Floer van Lamoen と Eric W. Weisstein。「Pappus Chain」。MathWorld。
• タン、スティーブン。「アルベロス」。