ドイルスパイラル

円充填の数学において、ドイル螺旋は平面上の交差しない円のパターンであり、各円は 6 つの接線円のリングに囲まれています。これらのパターンには、反対の接点でリンクされた円によって形成された螺旋腕があり、その中心は3 つの異なる形状の対数螺旋上にあります。

ドイル螺旋は、1980年代後半から1990年代初頭にかけてその数学的構築に重要な貢献をした数学者ピーター・G・ドイルにちなんで名付けられました。^[2]しかし、葉序（植物の成長の数学）におけるその研究は1900年代初頭にまで遡ります。^{[1] [3] [4]}

ドイル螺旋は、平面内に無限の円が詰め込まれた、ある種の円充填として定義され、2つの円の内部が重なり合うことはない。ドイル螺旋では、各円は6つの他の円の環に囲まれている。周囲の6つの円は、中心の円と環内の2つの隣の円に接している。^{[5] [6]}

ドイルが観察したように^[2]、ドイル螺旋の組み合わせ構造を持つ円を詰める唯一の方法は、半径も高度に構造化された円を使用することです。[ ^5]半径の円の周りに6つの円を詰めることができるのは、3つの正の実数、、が存在し、周囲の円の半径が（循環的に） ${\displaystyle r}$${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c={\tfrac {b}{a}}}$

${\displaystyle ra}$、、、、、 そして。${\displaystyle rb}$${\displaystyle rc}$${\displaystyle r/a}$${\displaystyle r/b}$${\displaystyle r/c}$

、、の特定の３つの数だけがドイル螺旋から来ており、他の数は最終的に互いに重なり合う円のシステムに対応しています。^{[6] [7]}${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c={\tfrac {b}{a}}}$

ドイルの渦巻きでは、円を、反対の接点を通る接続する円の鎖にグループ化することができます。これらは、渦巻き銀河に使用されるのと同じ用語に従って、腕と呼ばれています。^{[9] [10]}各腕の中で、円の半径は、二重無限等比数列、または公乗数または を持つ同じタイプの数列にあります。ほとんどのドイルの渦巻きでは、1つの腕上の円の中心は対数螺旋上にあり、このようにして得られたすべての対数螺旋は、1つの中心点で出会います。一部のドイルの渦巻きでは、代わりに同心円の腕（ステンドグラスの窓のように）またはまっすぐな腕があります。^[6] $${\displaystyle \dots ,ra^{-2},ra^{-1},r,ra,ra^{2},\dots }$$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

ドイル螺旋の正確な形状は、3つの形状のそれぞれの腕の数を数える3つの自然数でパラメータ化できます。1つの形状の腕が無限に出現する場合、その数はではなく 0 と定義されます。最小の腕の数は他の2つの腕の数の差に等しいため、どのドイル螺旋も${\displaystyle \infty}$型${\displaystyle (p,q)}$であると説明できます。ここで、と はの順序で並べられた2つの最大の数です。^[11]${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p\leq q}$

を持つすべてのペアは、3番目で最小の腕の数が に等しいドイル螺旋を決定します。この螺旋の形状は、相似まで、これらの数によって一意に決定されます。^[5]タイプの螺旋では、複素数およびコヒーレンス方程式と接線方程式を満たす場合、半径の乗数は、、およびです。 これ は、半径の乗数が代数的数であることを意味します。^{[9] [7]}原点を中心とする螺旋の自己相似性は、およびによって生成される離散群を形成します。^[7]螺旋の中心点から までの距離が の中心である円の半径は です。^[9]${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle 1<q/2\leq p\leq q}$${\displaystyle qp}$${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle a=|\alpha |}$ ${\displaystyle b=|\beta |}$ ${\displaystyle c={\tfrac {b}{a}}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \alpha^{p}=\beta^{q}}$$${\displaystyle {\frac {1+|\alpha |}{|1-\alpha |}}={\frac {1+|\beta |}{|1-\beta |}}={\frac {|\alpha |+|\beta |}{|\alpha -\beta |}}.}$$${\displaystyle z\mapsto \alpha z}$${\displaystyle z\mapsto \beta z}$${\displaystyle d}$${\displaystyle {\tfrac {|1-\alpha |}{1+|\alpha |}}d}$

これらのパラメータの正確な値は、いくつかの単純なケースではわかっています。他のケースでは、数値検索によって正確に近似することができ、この検索の結果を使用して、すべての円のサイズと位置の数値を決定することができます。^{[5] [9]}

ドイル螺旋は、中心点の周りの拡大縮小と回転（または、単位円による平面の正六角形のパッキングの場合は、平行移動と回転）を組み合わせた対称性を持ち、パッキング内の任意の円を他の任意の円に近づけます。^{[6]ドイル螺旋に}メビウス変換を適用すると、その円の形状と接線が保持されます。したがって、メビウス変換により、交差しない接線円のパターンが追加され、それぞれが他の 6 つの円に接します。これらのパターンは通常、二重螺旋パターンを持ち、接続された円のシーケンスが 1 つの中心点（ドイル螺旋の中心の像）から別の点（無限遠点の像）に螺旋状に広がります。ただし、これらはドイル螺旋のすべての要件を満たしているわけではありません。このパターンの円の中には、隣接する 6 つの円に囲まれていないものもあります。^{[9] [12]}

ドイル螺旋の最も一般的なケースは、半径の乗数が 3 つあり、すべて1 と異なり、腕の数も 3 つあり、すべて 0 以外です。例としては、コクセターの接線円の斜航列 があります。これは、腕の数が 1、2、3 で、乗数が と である (2,3) 型のドイル螺旋です。 ここで、 は黄金 比を表します。最も曲率のきつい単一の螺旋腕内では、コクセターの斜航列の円は、半径が の累乗である列を形成します。この列の連続する 4 つの円はすべて接しています。^[12]${\displaystyle \alpha =\tau ^{3}}$${\displaystyle \beta =\tau ^{2}}$$${\displaystyle \tau =-(1+{\frac {1}{\sqrt {\varphi }}})+i(1+{\sqrt {\varphi }}),}$$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle |\tau |=\varphi +{\sqrt {\varphi }}}$

3本の腕のうち1本がゼロの場合、その腕は半径の乗数が1の円形です。これらの円形の腕のそれぞれにある円の数は、他の2種類の腕の数と等しくなります。すべての円形の腕は同心円で、螺旋の腕が出会う場所を中心にしています。^[5]タイプのドイル螺旋の乗数はとです。^{[9] [a]}教会のステンドグラスの窓の写真では、9個の円でできた2つのリングは、この形式のタイプ(9,9)のドイル螺旋に属しています。${\displaystyle (p,p)}$${\displaystyle \alpha =ae^{i{\frac {\pi }{p}}}}$${\displaystyle \beta =ae^{-i{\frac {\pi }{p}}}}$

直線腕は腕の数 に対して生成されます。この場合、2 つの螺旋腕のタイプは同じ半径乗数を持ち、互いに鏡映しになっています。直線腕の数は、いずれかのタイプの螺旋の数の 2 倍です。各直線腕は、中心点を通る光線上に中心がある円で形成されます。^[5]直線腕の数は偶数でなければならないため、直線腕は反対のペアにグループ化することができ、各ペアの 2 つの光線が出会って直線を形成します。タイプのドイル螺旋の乗数はとです。^{[9] [b]}ポピュラーサイエンスの図にあるタイプ (8,16) のドイル螺旋は、8 本の腕が陰影付きの腕と同じように螺旋状になっており、さらに 8 本の腕が反射しており、光線が 16 本ある例です。 ${\displaystyle p=q/2}$${\displaystyle (p,2p)}$${\displaystyle \alpha =b^{2}}$${\displaystyle \beta =be^{i{\frac {\pi }{p}}}}$

最後の特殊なケースは、(0,0)型のドイル螺旋で、平面を単位円で正六角形に詰めたものである。その半径乗数はすべて1で、その腕は3つの異なる傾斜を持つ平行な線族を形成する。^[5]

ドイル螺旋は指数関数の離散類似体を形成し、これは等角写像の離散類似体としての円充填のより一般的な使用法の一部である。実際、ドイル螺旋に非常によく似たパターン（ただし、円ではない接線形状で構成されている）は、指数写像を正六角形円充填の拡大コピーに適用することによって得られる。^[5]螺旋全体で固定された隣接する円間の半径の 3 つの比は、固定されたシュワルツ導関数を持つ指数写像の特徴付けに類似していると見ることができる。^[6]ドイル螺旋は、これらの螺旋を双曲空間の無限遠球に埋め込み、各螺旋の対称性を空間自体の対称性に持ち上げることで、双曲空間の対称性の離散群であるクライン群の研究に使用されてきた。^[9]

接線円の螺旋は、多くの場合フィボナッチ数列の腕を持ち、 1907年のヘリット・ファン・イターソンの研究に始まり、葉序 （特定の植物種に特徴的な螺旋状の成長パターン）をモデル化するために使用されてきた。 ^[4]この文脈では、ドイル螺旋の腕は パラスティキーと呼ばれ、ドイル螺旋の腕の数はパラスティキー数と呼ばれる。2つの パラスティキー数と がフィボナッチ数であり、連続しているか1つのフィボナッチ数だけ離れている場合、3番目の パラスティキー数 もフィボナッチ数になる。^[13]この応用を念頭に置いて、アーノルド・エムクは1910年にタイプのドイル螺旋の円の位置を計算し、その研究の中でこれらの螺旋と対数螺旋、および指数関数との関係を指摘した。^{[1] [3]}このように植物の成長をモデル化するために、円柱や円錐を含む平面以外の表面上の接線円の螺旋パッキングも使用されることがある。^[14] ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle (p,2p)}$

螺旋状の円の詰め合わせは建築デザインの装飾モチーフとしても研究されてきた。^[8]

接線円は、局所構造が六角形グリッドではなく正方グリッドに似た螺旋パターンを形成することができ、これは連続的にドイルパッキングに変換できます。^[13]局所的に正方な螺旋パッキングの空間は、定数個のパラメータで決定できるドイル螺旋とは異なり、無限次元です。^[15]また、平面を覆う交差しない円ではなく、平面を覆う重なり合う円の螺旋システムを記述することもできます。この場合、平面の各点は、3つの円が角度で交わる点を除いて最大2つの円で覆われ、各円は6つの他の円に囲まれます。これらは、ドイル螺旋と共通する多くの特性を持っています。^[16]${\displaystyle 60^{\circ }}$

ドイル螺旋は、ヒマワリの種子頭など、特定の植物の成長形態について研究されている、異なる螺旋パターンの円と混同してはならない。このパターンでは、円は対数的に成長するのではなく単位サイズであり、接線ではない。対数螺旋上に中心を持つ代わりに、フェルマー螺旋上に配置され、螺旋の中心に対して互いに黄金角でオフセットされ、黄金比である。^{[17] [18]} ${\displaystyle 2\pi /\varphi ^{2}\approx 137.5^{\circ }}$${\displaystyle \varphi }$

• 山岸 良一、鮨田 隆道 (2017 年 4 月)、「スパイラル ディスク パッキング」、Physica D: 非線形現象、345 : 1–10、Bibcode :2017PhyD..345....1Y、doi :10.1016/j.physd.2016.12.003

• ドイルの螺旋探検家、ロビン・ヒューストン