デカルトの記号の法則

数学において、ルネ・デカルトが著書『幾何学』で述べたデカルトの符号法則は、多項式の係数の符号変化を調べることで、その根の数を数える。正の実根の数は、多項式の係数列（ゼロ係数を除く）における符号変化の数以下であり、根の数と符号変化の数の差は常に偶数である。特に、符号変化の数がゼロまたは1の場合、正の根はちょうどゼロまたは1つ存在する。

変数の線形分数変換により、符号規則を用いて任意の区間内の根の数を数えることが可能になります。これがブーダンの定理およびブーダン・フーリエの定理の基本的な考え方です。区間を繰り返し2つに分割すると、それぞれ1つの根を含む互いに素な区間の集合が得られ、それらを合わせるとすべての根が列挙されます。このアプローチは、多項式の実根をコンピュータで計算する現在最も高速なアルゴリズムで使用されています（実根分離を参照）。

デカルト自身も、負の根の数に関する情報を得るための自身の規則を用いる際に、変換x → − xを利用した。

以下は証明の概略である。^{[ 1 ]}まず、いくつかの予備的な定義を述べる。

• 多項式を書きなさい${\displaystyle f(x)}$として${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{b_{i}}}$整数乗を持つ$0 ≤ b_{0}<b_{1}<\cdots <b_{n}}$、および非ゼロ係数${\displaystyle a_{i}\neq 0}$。

• させて${\displaystyle V(f)}$係数の符号変化の数を${\displaystyle f}$つまり、${\displaystyle k}$そのため${\displaystyle a_{k}a_{k+1}<0}$。

• させて${\displaystyle Z(f)}$厳密に正の根の数（重複度を考慮して）とする。

これらを踏まえると、デカルトの法則は次のように正式に述べることができる。

もし${\displaystyle b_{0}>0}$すると、多項式をで割ることができます${\displaystyle x^{b_{0}}}$、これは厳密に正の根の数を変えない。したがって、一般性を失うことなく、${\displaystyle b_{0}=0}$。

任意のn次多項式は、重複度に従って数えると、複素平面上にちょうどn 個の 根を持ちます。したがって、 f ( x ) が 0 に根を持たない実数係数の多項式 (つまり、非ゼロ定数項を持つ多項式) である場合、非実数根の最小数は次のようになります。

${\displaystyle n-(p+q),}$

ここで、p は正の根の最大数、q は負の根の最大数（どちらもデカルトの符号法則を用いて求めることができる）、n は多項式の次数を表す。

符号変化の数と正の根の数の差が偶数である場合、その多項式が正の実部を持つ共役非実根のペアを持つときは、その差は正になります。したがって、多項式がすべて実根を持つことがわかっている場合、デカルトの法則によって正の根と負の根の正確な数を求めることができます。根としてのゼロの重複度を容易に判定できるため、この場合、すべての根の符号を判定できます。

実多項式P が重複度を考慮してk 個の実正根を持つ場合、任意のa > 0 に対して、関数e ^ax P ( x ) のテイラー級数の係数列には少なくともk回の符号変化があります。十分に大きなaの場合、そのような符号変化はちょうどk 個あります。 ^{[ 2 ] [ 3 ]}

1970年代に、アスコルド・ホヴァンスキーはデカルトの規則を一般化した少数項の理論を開発した。 ^{[ 4 ]}符号の規則は、多項式の実根の数は多項式の複雑さに依存し、この複雑さは次数ではなく、多項式に含まれる単項式の数に比例する、と述べていると考えることができる。ホヴァンスキーは、これが多項式だけでなく、多くの超越関数の代数的組み合わせ、いわゆるパフィアン関数にも当てはまることを示した。

• シュトゥルムの定理– 区間内の多項式の根の数え方 
• 有理根定理– 多項式の有理根とその極値係数との関係 
• 多項式の根の幾何学的性質– 多項式の根の位置の幾何学 
• ガウス・ルーカス定理– 多項式の根とその導関数の根との間の幾何学的関係 

この記事は、 PlanetMathに掲載されている Descartes' rule of sign の資料を組み込んでおり、Creative Commons Attribution-Share-Alike Licenseの下でライセンスされています。

• デカルトの記号の法則― 法則の証明
• デカルトの記号の法則– 基本的な説明