直線に沿って転がる円によって描かれる曲線
回転する円によって生成されるサイクロイド（一般的な トロコイド ） 幾何学 において 、 トロコイド （ ギリシャ語の trochos 「車輪」に由来）は、 円が 直線 に沿って転がる ことで形成される ルーレット 曲線である。これは、 円に固定された点（円上、円内、円外のいずれの点でも可）が直線に沿って転がる際に描く 曲線である。 [1] 点が円上にある場合、トロコイドは 共通（ サイクロイド とも呼ばれる ）と呼ばれ、点が円の内側にある場合、トロコイドは 短 トロコイドであり、点が円の外側にある場合、トロコイドは 長 トロコイドである。「トロコイド」という言葉は、 ジル・ド・ロベルヴァル がサイクロイドの特殊なケースを指して作った造語である。 [2]
基本的な説明 b / a = 5/4 の長楕円トロコイド b / a = 4/5 の短トロコイド 半径a の円が 直線 L に沿って滑らずに回転すると、中心 C は L と平行に移動し 、円に剛体で固定された回転面上の他のすべての点 P は トロコイドと呼ばれる曲線を描きます。 CP = b とします。 L が x 軸
であるトロコイドの パラメータ方程式は、
x = 1つの θ − b 罪 θ
ええ = 1つの − b コス θ
{\displaystyle {\begin{aligned}&x=a\theta -b\sin \theta \\&y=ab\cos \theta \end{aligned}}}
ここで、 θ は 円が回転する可変角度です。
短毛、普通、長毛 P が 円の内側 ( b < a )、円周上 ( b = a )、または外側 ( b > a ) にある場合 、トロコイドはそれぞれ、縮んだ (「収縮した」)、共通、または長くなった (「伸長した」) と表現されます。 [3] 縮んだトロコイドは、通常のギア付き自転車を直線に沿って漕ぐときに、ペダルが (地面に対して) 描く線です。 [4] 長くなった トロコイド は、ボートを外輪で一定速度で漕ぐときに、パドルの先端が (水面に対して) 描く線です。この曲線にはループが含まれます。共通トロコイドはサイクロイドとも呼ばれ 、 P が 線 L に接する点に 尖点 があります。
一般的な説明 より一般的なアプローチでは、トロコイドは、 ある軸の周りを一定速度で 周回する 点の 軌跡 として定義されます。
（ x 、 ええ ）
{\displaystyle (x,y)}
（
x ′
、
ええ ′
）
{\displaystyle (x',y')}
x =
x ′
+
r
1
コス （
ω
1
t +
ϕ
1
） 、
ええ =
ええ ′
+
r
1
罪 （
ω
1
t +
ϕ
1
） 、
r
1
> 0 、
{\displaystyle x=x'+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1}),\ y=y'+r_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1}),\ r_{1}>0,}
どの軸が xy 平面内で一定速度で 直線
または
x ′
=
x
0
+
ヴ
2 x
t 、
ええ ′
=
ええ
0
+
ヴ
2 ええ
t
∴ x =
x
0
+
r
1
コス （
ω
1
t +
ϕ
1
） +
ヴ
2 x
t 、
ええ =
ええ
0
+
r
1
罪 （
ω
1
t +
ϕ
1
） +
ヴ
2 ええ
t 、
{\displaystyle {\begin{array}{lcl}x'=x_{0}+v_{2x}t,\ y'=y_{0}+v_{2y}t\\\したがって x=x_{0}+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})+v_{2x}t,\ y=y_{0}+r_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1})+v_{2y}t,\\\end{array}}}
または、 （ 下トロコイド / 上トロコイド の場合）
の周りの円形の経路（別の軌道）
（
x
0
、
ええ
0
）
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
x ′
=
x
0
+
r
2
コス （
ω
2
t +
ϕ
2
） 、
ええ ′
=
ええ
0
+
r
2
罪 （
ω
2
t +
ϕ
2
） 、
r
2
≥ 0
∴ x =
x
0
+
r
1
コス （
ω
1
t +
ϕ
1
） +
r
2
コス （
ω
2
t +
ϕ
2
） 、
ええ =
ええ
0
+
r
1
罪 （
ω
1
t +
ϕ
1
） +
r
2
罪 （
ω
2
t +
ϕ
2
） 、
{\displaystyle {\begin{array}{lcl}x'=x_{0}+r_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ y'=y_{0}+r_{2}\sin(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ r_{2}\geq 0\\\したがって、x=x_{0}+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})+r_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ y=y_{0}+r_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1})+r_{2}\sin(\omega _{2}t+\phi _{2}),\\\end{配列}}}
運動速度の比と、動軸が直線経路で移動するか円経路で移動するかによって、トロコイドの形状が決まります。直線経路の場合、1 回転は 周期的 (反復) 軌跡の 1 周期と一致します。動軸が円経路の場合、軌跡が周期的になるのは、これらの角運動の比 、が有理数 (つまり ) である場合のみです。 ここで、 と は 互いに素です 。 この場合、1 周期は、 動軸の周りの軌道と、 点 の周りの動軸の軌道で構成されます。半径 の 円の周囲にある点の軌跡を、 半径 の静止円の周囲で転がしながらトレースすることによって生成される エピサイクロイド と ハイポサイクロイド の特殊なケースには 、次の特性があります。
ω
1
/
ω
2
{\displaystyle \omega _{1}/\omega _{2}}
p
/
q
{\displaystyle p/q}
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
（
x
0
、
ええ
0
）
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
r
1
{\displaystyle r_{1}}
R
{\displaystyle R}
外サイクロイド:
ω
1
/
ω
2
= p
/
q =
r
2
/
r
1
= R
/
r
1
+ 1 、
|
p − q
|
尖頭
下サイクロイド:
ω
1
/
ω
2
= p
/
q = −
r
2
/
r
1
= − （ R
/
r
1
− 1 ） 、
|
p − q
|
=
|
p
|
+
|
q
|
尖頭
{\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\text{エピサイクロイド: }}&\omega _{1}/\omega _{2}&=p/q=r_{2}/r_{1}=R/r_{1}+1,\ |pq|{\text{ 尖点}}\\{\text{ハイポサイクロイド: }}&\omega _{1}/\omega _{2}&=p/q=-r_{2}/r_{1}=-(R/r_{1}-1),\ |pq|=|p|+|q|{\text{ 尖点}}\end{array}}}
ここで、は 移動軸の軌道の半径です。上記のカスプの数は、任意のエピトロコイドおよびヒポトロコイドにも当てはまりますが、「カスプ」は「半径の最大値」または「半径の最小値」に置き換えられます。
r
2
{\displaystyle r_{2}}
参照
参考文献
^ Weisstein, Eric W. 「トロコイド」 。MathWorld 。 ^ Whitman, EA (1943). 「サイクロイドに関する歴史的ノート」. American Mathematical Monthly . 50 (5): 309–315. doi :10.1080/00029890.1943.11991383. JSTOR 2302830. ^ 「トロコイド」 。Xah Math 。 2014年 10月4日 閲覧 。 ^ 自転車引っ張りパズル。YouTube 。 2021年12月11日時点のオリジナルよりアーカイブ。
外部リンク JSXGraph を使用したトロコイドのオンライン実験 
