スピログラフ

スピログラフ

スピログラフ セット (1980 年代初頭の英国版)
発明者	デニス・フィッシャー
会社	ハズブロ
国	イギリス
可用性	1965年～現在
材料	プラスチック
公式サイト

スピログラフは、技術的には下トロコイドおよび上トロコイドと呼ばれる種類の数学的なルーレット曲線を作成する幾何学的描画装置です。よく知られているおもちゃのバージョンは、英国のエンジニアであるデニス・フィッシャーによって開発され、1965 年に初めて販売されました。

この名前は、デニス・フィッシャー社を買収した会社をハズブロ社が買収した1998年以来、同社の登録商標となっている。スピログラフブランドは、2013年にカフーツ・トイズ社によって、オリジナルの製品構成で世界中で再発売された。

1827年、ギリシャ生まれのイギリス人建築家兼エンジニアのピーター・ヒューバート・デスヴィーニュは、精巧な螺旋状の絵を描く装置「スピラグラフ」を開発し、宣伝した。その後すぐに、J・ジョップリングという人物が、以前に同様の方法を発明したと主張した。^[1] 1845年から1848年にかけてウィーンで働いていたデスヴィーニュは、紙幣の偽造を防ぐのに役立つ機械のバージョンを製作した。 ^[2]この機械が作り出すルーレットパターンのほぼ無限のバリエーションは、リバースエンジニアリングが非常に困難だった。数学者のブルーノ・アバカノヴィッチは、1881年から1900年にかけて、新しいスピラグラフ装置を発明した。これは、曲線で区切られた領域を計算するために使用された。^[3]

歯車をベースにしたお絵かき玩具は、少なくとも1908年にシアーズのカタログで「The Marvelous Wondergraph」が宣伝されて以来存在しています。^{[4] [5]} Wondergraph描画機の作り方を説明した記事が、1913年のBoys Mechanic誌に掲載されました。 ^[6]

スピログラフ玩具の決定版は、1962年から1964年にかけて、イギリスの技術者デニス・フィッシャーがメカノの部品を使って描画機を製作して開発した。フィッシャーは1965年のニュルンベルク国際玩具見本市でスピログラフを展示した。その後、フィッシャーの会社で生産された。米国での販売権はケナー社が取得し、1966年に米国市場に導入され、創造的な子供用玩具として宣伝された。ケナー社は後に、スピロトット、マグネティック・スピログラフ、スピロマン、およびさまざまな詰め替えセットを発売した。^[7]

2013年、スピログラフブランドは、オリジナルのギアとホイールを備え、カフーツトイズによって世界中で再発売されました。現代の製品では、固定部品を所定の位置に固定するために、ピンの代わりに取り外し可能なパテを使用しています。スピログラフは1967年にトイ・オブ・ザ・イヤーに選ばれ、2014年には2つのカテゴリーでトイ・オブ・ザ・イヤーのファイナリストに選ばれました。カフーツトイズは2019年にプレイモンスターLLCに買収されました。^[8]

米国で最初に発売されたスピログラフは、円周の内側と外側の両方にギアの歯が付いた、2つの異なるサイズのプラスチックリング（またはステーター）で構成されていました。これらのリングのいずれかを所定の位置に固定すると（ピン、接着剤、または手で）、ボールペン用の穴があるいくつかの付属のギアホイール（またはローター）のいずれかをリングの周りで回転させて幾何学的な形状を描くことができます。後に、スーパースピログラフでは、リング、三角形、まっすぐなバーなどの追加の形状が導入されました。各ピースのすべてのエッジには、他のピースと噛み合う歯があります。小さなギアは大きなリングの内側に収まりますが、リングの外側のエッジに沿って回転したり、互いの周りを回転したりすることもできます。ギアはさまざまな配置で組み合わせることができます。セットにはさまざまな色のペンが含まれることが多く、ここに示す例のように、色を切り替えることでデザインを強調することができました。

初心者は、特に大きなホイールの端の近くの穴を使用する場合に、ギアを滑らせることが多く、その結果、線が途切れたり不規則になったりします。経験豊富なユーザーは、複数のピースを互いに関連させて動かすことを学ぶ場合があります (たとえば、リングの周りの三角形、リングから三角形に「登る」円など)。

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  スピログラフのアニメーション
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  数種類の異なる色のペンを使ってスピログラフセットで描いたいくつかのスピログラフのデザイン
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  スピログラフホイールのクローズアップ

原点を中心とする半径 の固定された外円を考えます。半径 のより小さな内円が内側を転がり、常にその円に接しています。は滑らないものと仮定します(実際のスピログラフでは、両方の円の歯がそのような滑りを防止します)。次に、の中心から離れた位置にある点の内部にある点を想定します。この点は、実際のスピログラフの内側のディスクのペン穴に対応します。一般性を失うことなく、最初の瞬間に点が軸上にあったと仮定できます。スピログラフによって作成された軌道を見つけるには、内側の円が動き始めるときに点をたどります。 ${\displaystyle C_{o}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle r<R}$${\displaystyle C_{o}}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle C_{o}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle \rho <r}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$

ここで、上と上に2 つの点をマークします。 点は常に 2 つの円が接する位置を示します。ただし、点 は 上を移動し、その初期位置は と一致します。の周りを反時計回りに動き始めた後、は中心に対して時計回りに回転します。 が上で移動する距離は、滑りがないため、 上の接点が移動する距離と同じです。${\displaystyle T}$${\displaystyle C_{o}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle C_{o}}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle C_{o}}$

ここで、原点を の中心に置き、軸を および に平行にした新しい（相対）座標系を定義します。パラメータ を上で接点が回転する角度とし、 を相対座標系で が回転する（つまり が移動する）角度とします。滑りがないため、と がそれぞれの円に沿って移動する距離は同じでなければなりません。したがって、 ${\displaystyle (X',Y')}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle t}$${\displaystyle T}$${\displaystyle C_{o}}$${\displaystyle t'}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle tR=(t-t')r,}$

または同等に、

${\displaystyle t'=-{\frac {R-r}{r}}t.}$

反時計回りの動きは角度の正の変化に対応し、時計回りの動きは角度の負の変化に対応すると想定するのが一般的です。上記の式 ( ) のマイナス記号は、この規則に対応しています。 ${\displaystyle t'<0}$

を絶対座標系における の中心の座標とします。はの中心の軌道の半径を表し、これは（これも絶対座標系で）次のように円運動します。 ${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle R-r}$${\displaystyle C_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{c}&=(R-r)\cos t,\\y_{c}&=(R-r)\sin t.\end{aligned}}}$

上で定義したように、は新しい相対システムにおける回転角度です。点は円運動の通常の法則に従うため、新しい相対座標系におけるその座標は ${\displaystyle t'}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (x',y')}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=\rho \cos t',\\y'&=\rho \sin t'.\end{aligned}}}$

絶対（古い）座標系での の軌跡を取得するには、次の 2 つの動きを追加します。${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{c}+x'=(R-r)\cos t+\rho \cos t',\\y&=y_{c}+y'=(R-r)\sin t+\rho \sin t',\\\end{aligned}}}$

ここで、は上記で定義されています。 ${\displaystyle \rho }$

ここで、上で導出したとの関係を使用して、単一のパラメータに関して点の軌道を記述する方程式を取得します。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle t'}$${\displaystyle A}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{c}+x'=(R-r)\cos t+\rho \cos {\frac {R-r}{r}}t,\\y&=y_{c}+y'=(R-r)\sin t-\rho \sin {\frac {R-r}{r}}t\\\end{aligned}}}$

(関数が奇数であるという事実を使用)。 ${\displaystyle \sin }$

上記の式を、スピログラフの構造を記述する半径と無次元パラメータで表すと便利です。 つまり、${\displaystyle R}$${\displaystyle C_{o}}$

${\displaystyle l={\frac {\rho }{r}}}$

そして

${\displaystyle k={\frac {r}{R}}.}$

パラメータは、点がの中心からどれだけ離れているかを表します。同時に、 は内側の円が外側の円に対してどれだけ大きいかを表します。 ${\displaystyle 0\leq l\leq 1}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle 0\leq k\leq 1}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle C_{o}}$

現在、

${\displaystyle {\frac {\rho }{R}}=lk,}$

したがって、軌道方程式は次の形をとる。

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=R\left[(1-k)\cos t+lk\cos {\frac {1-k}{k}}t\right],\\y(t)&=R\left[(1-k)\sin t-lk\sin {\frac {1-k}{k}}t\right].\\\end{aligned}}}$

パラメータはスケーリングパラメータであり、スピログラフの構造には影響しません。 の値が異なっていても、同様のスピログラフの描画が生成されます。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

2 つの極端な場合とでは、スピログラフの軌道は退化します。最初の極端な場合、 のとき、半径 の単純な円が得られます。これは、が点に縮小された場合に対応します。(式で で割ることは問題ではありません。 と はどちらも有界関数だからです。) ${\displaystyle k=0}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle R}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle \sin }$${\displaystyle \cos }$

もう 1 つの極端なケースは、内側の円の半径が外側の円の半径と一致する場合、つまり です。この場合、軌道は 1 点です。直感的に、は大きすぎて、同じサイズの の内側を滑らずに転がることはできません。 ${\displaystyle k=1}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle R}$${\displaystyle C_{o}}$${\displaystyle r=R}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle C_{o}}$

の場合、点はの円周上にあります。この場合、軌道は内サイクロイドと呼ばれ、上記の式は内サイクロイドの式に簡約されます。 ${\displaystyle l=1}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C_{i}}$

• 公式サイト
• Voevudko, AE (2018 年 3 月 12 日)。「Gearographic Curves」。コード プロジェクト。