凸シリーズ

数学、特に関数解析と凸解析においては、凸級数は、の形式の級数であり、 は位相ベクトル空間の要素であり、すべてはとなる非負の実数(つまり、 となる)。 ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}=1}$

が の部分集合であり、 がの凸級数であるとする。${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$${\displaystyle X.}$

• すべてがに属する場合、凸級数は${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$の要素を持つ凸級数${\displaystyle S}$。
• 集合が（フォン・ノイマン）有界集合である場合、${\displaystyle \left\{x_{1},x_{2},\ldots \right\}}$b凸シリーズ。
• 凸級数は、${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$収束級数とは、部分中のいくつかの要素に収束するをいう。${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}r_{i}x_{i}\right)_{n=1}^{\infty}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$凸級数の和。
• 凸級数はがコーシー級数である場合、それは定義により部分和の列がコーシー列である。${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}r_{i}x_{i}\right)_{n=1}^{\infty}}$

凸級数を使用すると、非常に優れた安定性特性を備え、適切に動作し、有用な特殊なタイプのサブセットを定義できます。

が位相ベクトル空間のサブセットである場合、 は次のようになります。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$

• cs閉集合とは、 の要素を持つ任意の収束凸級数の（各）和が${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$
  • この定義では、ハウスドルフである必要はなく、その場合、和は一意ではない可能性がある。そのような場合には、すべての和が${\displaystyle X}$${\displaystyle S.}$
• 下位CSクローズドセットまたはlcs 閉集合とは、 のcs 閉部分集合の (正準射影による)射影に等しいフレシェ空間が 存在する場合ですは下側の cs 閉であり、すべての下側の cs 閉集合は下側のイデアル凸かつ凸(逆は一般には成り立ちません)。${\displaystyle Y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X\times Y}$
• の要素を持つ収束b級数の和が${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$
• 下側の理想的な凸集合またはli-凸集合とは、(標準射影を介して)のイデアル凸部分集合への射影に等しいようなフレシェ空間が 存在する場合です。すべてのイデアル凸集合は下イデアル凸です。すべての下イデアル凸集合は凸ですが、その逆は一般には成り立ちません。${\displaystyle Y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X\times Y.}$
• cs-完全集合とは、 の要素を持つ任意のコーシー凸級数が収束し、その和が${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$
• bcs完全集合とは、 の要素を持つ任意のコーシーb凸級数が収束し、その和が${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$

空集合は凸集合であり、理想的には凸集合であり、bcs 完全、cs 完全、cs 閉集合です。

とが位相ベクトル空間である場合、は の部分集合であり、次を満たすと言われる: ^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X\times Y,}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle A}$

• 条件 (H x ) :がの要素を持つ凸級数で、で収束し、がコーシーであるときで収束し、 の和は となる。${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}(x_{i},y_{i})}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}y_{i}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (x,y)\in A.}$
• 条件 (Hw x ) :がの要素を持つb凸級数ありの和で収束し、がコーシーであるときで収束し、 の和が となる。${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}(x_{i},y_{i})}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}y_{i}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (x,y)\in A.}$
  • X が局所的に凸である場合、「そしてコーシーである」という文は条件 (Hw x )の定義から削除できます。${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$

以下の表記法と概念が使用される。ここで、およびは多関数であり、は位相ベクトル空間の空でない部分集合である。${\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}$${\displaystyle {\mathcal {S}}:Y\rightrightarrows Z}$${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X:}$

• のの多関数のグラフは${\displaystyle {\mathcal {R}}}$集合である${\displaystyle \operatorname {gr} {\mathcal {R}}:=\{(x,y)\in X\times Y:y\in {\mathcal {R}}(x)\}.}$
• ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$は閉鎖（それぞれ、cs-closed、下段の cs-closed、凸、理想的には凸型、下側は理想的に凸状、cs-complete、bcs完全）のグラフでも同じことが言える。${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle X\times Y.}$
  • 多関数が凸であることは、すべてに対して、すべてに対してであるときのみである。${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle x_{0},x_{1}\in X}$${\displaystyle r\in [0,1],}$ ${\displaystyle r{\mathcal {R}}\left(x_{0}\right)+(1-r){\mathcal {R}}\left(x_{1}\right)\subseteq {\mathcal {R}}\left(rx_{0}+(1-r)x_{1}\right).}$
• の多関数の逆関数は、 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$任意の部分集合に対して定義される多関数である${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}:Y\rightrightarrows X}$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}(y):=\left\{x\in X:y\in {\mathcal {R}}(x)\right\}.}$${\displaystyle B\subseteq Y,}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}(B):=\cup _{y\in B}{\mathcal {R}}^{-1}(y).}$
• の多機能のドメイン ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$は${\displaystyle \operatorname {Dom} {\mathcal {R}}:=\left\{x\in X:{\mathcal {R}}(x)\neq \emptyset \right\}.}$
• の多機能のイメージは ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$任意のサブセットに対して${\displaystyle \operatorname {Im} {\mathcal {R}}:=\cup _{x\in X}{\mathcal {R}}(x).}$${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(A):=\cup _{x\in A}{\mathcal {R}}(x).}$
• の構成は それぞれによって定義されます${\displaystyle {\mathcal {S}}\circ {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Z}$${\displaystyle \left({\mathcal {S}}\circ {\mathcal {R}}\right)(x):=\cup _{y\in {\mathcal {R}}(x)}{\mathcal {S}}(y)}$${\displaystyle x\in X.}$

を位相ベクトル空間とし、次の意味が成り立つ。 ${\displaystyle X,Y,{\text{ および }}Z}$${\displaystyle S\subseteq X,T\subseteq Y,}$${\displaystyle A\subseteq X\times Y.}$

完全なcs-完全なcs-closed は、より低い cs-closed (lcs-closed)であり、理想的には凸です。${\displaystyle \implies }$${\displaystyle \implies }$${\displaystyle \implies }$

下側の cs-closed (lcs-closed)または理想的に凸、下側の理想的に凸 (li-convex)凸。${\displaystyle \implies }$${\displaystyle \implies }$

(H x ) (Hw x )凸。${\displaystyle \implies }$${\displaystyle \implies }$

逆の意味は一般には当てはまりません。

完了したら、 ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle S}$は cs 完全 (それぞれ bcs 完全) であるためには、cs 閉 (それぞれ 理想的に凸) である必要があります。${\displaystyle S}$
2. ${\displaystyle A}$が cs 閉じている場合に限り、(H x ) を満たします。${\displaystyle A}$
3. ${\displaystyle A}$が理想的に凸である場合に限り、(Hw x ) を満たします。${\displaystyle A}$

完了したら、 ${\displaystyle Y}$

1. ${\displaystyle A}$が cs 完全である場合に限り、(H x ) を満たします。${\displaystyle A}$
2. ${\displaystyle A}$が bcs 完全である場合に限り、(Hw x ) を満たします。${\displaystyle A}$
3. 次のような場合: ${\displaystyle B\subseteq X\times Y\times Z}$${\displaystyle y\in Y}$
   1. ${\displaystyle B}$が(H x ) を満たす場合のみ、(H (x, y) ) を満たします。${\displaystyle B}$
   2. ${\displaystyle B}$が(Hw x ) を満たす場合のみ、(Hw (x, y) ) を満たします。${\displaystyle B}$

が局所的に凸で有界で ある場合、${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Pr} _{X}(A)}$

1. (H x )を満たす場合、 cs-closed です。${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {Pr} _{X}(A)}$
2. (Hw x )を満たす場合、 は理想的に凸です。${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {Pr} _{X}(A)}$

を の線型部分空間とし、を多関数とします。 ${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}$${\displaystyle {\mathcal {S}}:Y\rightrightarrows Z}$

• がの cs-閉（または理想的に凸）部分集合である場合、もの cs-閉（または理想的に凸）部分集合である。${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{0}\cap S}$${\displaystyle X_{0}.}$
• がまず可算である場合、 がcs 閉（cs 完全）であるのは、が閉じている場合（完全である場合）に限ります。さらに、が局所的に凸である場合、が閉じている場合（理想的には凸である場合）に限ります。${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X_{0}}$
• ${\displaystyle S\times T}$が で cs 閉（それぞれ cs 完全、理想的凸、bcs 完全）であるのは、と の両方で同じことが成り立つ場合のみである。${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle Y.}$
• cs 閉、下 cs 閉、イデアル凸、下イデアル凸、cs 完全、bcs 完全という特性はすべて、位相ベクトル空間の同型性によって保存されます。
• の任意の数の cs 閉（または理想的に凸）部分集合の共通集合には、同じ特性があります。${\displaystyle X}$
• 任意の数の位相ベクトル空間の cs 閉（または理想的に凸）部分集合の直積は、（積位相を備えた積空間において）同じ性質を持ちます。
• の可算個数の下イデアル凸集合（または下 cs 閉集合）の共通集合には、同じ性質があります。${\displaystyle X}$
• 可算個の位相ベクトル空間の下イデアル凸（または下 cs 閉）部分集合の直積は、（積位相を備えた積空間において）同じ性質を持ちます。
• がフレシェ空間で、 とが部分集合であるとする。と が下イデアル凸（それぞれ下cs閉）であれば、${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A+B.}$
• がフレシェ空間であり、がの部分集合であるとする。と が下イデアル凸（それぞれ下cs閉）であるならば、も${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}$${\displaystyle {\mathcal {R}}(A).}$
• がフレシェ空間で、が多関数であるとする。 がすべて下イデアル凸（または下cs閉）であれば、 も であり、${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {R}}_{2}:X\rightrightarrows Y}$${\displaystyle {\mathcal {R}},{\mathcal {R}}_{2},{\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}+{\mathcal {R}}_{2}:X\rightrightarrows Y}$${\displaystyle {\mathcal {S}}\circ {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Z.}$

が位相ベクトル空間の非空凸部分集合である場合、 ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$

1. が閉じているか開いている場合は、 cs-closed になります。${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$
2. がハウスドルフかつ有限次元の場合、は cs 閉です。${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$
3. がまず可算であり、理想的に凸である場合、${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {int} S=\operatorname {int} \left(\operatorname {cl} S\right).}$

をフレシェ空間、を位相ベクトル空間、を正準射影とする。が下イデアル凸（または下cs閉）であれば、${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle A\subseteq X\times Y,}$${\displaystyle \operatorname {Pr} _{Y}:X\times Y\to Y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {Pr} _{Y}(A).}$

がバレル型第 1 可算空間であり、である場合、次のようになります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle C\subseteq X}$

1. が下イデアル凸である場合、はの代数的内部を表す。${\displaystyle C}$${\displaystyle C^{i}=\operatorname {int} C,}$${\displaystyle C^{i}:=\operatorname {aint} _{X}C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X.}$
2. が理想的に凸ならば${\displaystyle C}$${\displaystyle C^{i}=\operatorname {int} C=\operatorname {int} \left(\operatorname {cl} C\right)=\left(\operatorname {cl} C\right)^{i}.}$

• ウルシェスク定理 – 閉グラフ、開写像、一様有界性定理の一般化

• Zălinescu, Constantin (2002 年 7 月 30 日)。一般ベクトル空間における凸解析。リバーエッジ、ニュージャージー、ロンドン: World Scientific Publishing。ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556. OCLC  285163112 –インターネットアーカイブ経由。
• Baggs, Ivan (1974). 「閉じたグラフを持つ関数」.アメリカ数学会紀要. 43 (2): 439–442. doi : 10.1090/S0002-9939-1974-0334132-8 . ISSN  0002-9939.