代数的内部

数学の一分野である関数解析において、ベクトル空間の部分集合の代数的内部または放射状核は、内部の概念を洗練させたものである。

がベクトル空間の部分集合であると仮定する。に対する の代数的内部 （または放射状核）は、 が放射状集合であるにおけるすべての点の集合である。点はの内部点^{[1] [2]}と呼ばれ、任意の に対して となる実数が存在するとき、 において放射状であると言われる 。この最後の条件は と書くこともできる。ここで、集合 は から始まり で終わる 線分（または閉区間）であり、 この線分は の部分集合であり、その部分集合は からの方向（つまり、 に平行/ の並進）に発する光線である。したがって幾何学的には、部分集合の内部点とは、あらゆる可能な方向（ベクトル）においてから始まりその方向に向かう（非退化）線分（つまり、光線 の部分集合）を含むという性質を持つ点である。 （ に関して）の代数的内部は、そのようなすべての点の集合である。つまり、それは に関してそれが集合の放射状点である、与えられた集合に含まれる点の部分集合である。 ^[3]${\displaystyle A}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a_{0}\in A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle t_{x}>0}$${\displaystyle t\in [0,t_{x}],}$ ${\displaystyle a_{0}+tx\in A.}$${\displaystyle a_{0}+[0,t_{x}]x\subseteq A}$$${\displaystyle a_{0}+[0,t_{x}]x~:=~\left\{a_{0}+tx:t\in [0,t_{x}]\right\}}$$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle a_{0}+t_{x}x;}$${\displaystyle a_{0}+[0,\infty )x,}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [0,\infty )x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a_{0}\in A}$${\displaystyle x\neq 0,}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle a_{0}+[0,\infty )x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$

が の線型部分空間である場合、この定義はに対する の代数的内部に一般化できます。^[4] では常に成り立ち、の場合、はのアフィン包です(これは に等しい)。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A:=\left\{a\in X:{\text{ すべての }}m\in M に対して、{\text{ }}t_{m}>0{\text{ が存在し、 }}a+\left[0,t_{m}\right]\cdot m\subseteq A\right\} となります。}$$${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A\subseteq A}$${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A\neq \varnothing }$${\displaystyle M\subseteq \operatorname {aff} (AA),}$${\displaystyle \operatorname {aff} (AA)}$${\displaystyle AA}$${\displaystyle \operatorname {span} (AA)}$

代数的閉包

ポイントは${\displaystyle x\in X}$部分集合から線形アクセス可能であるとは、線分^[5]に含まれるものが存在することを意味するの に関する 的閉包され、 内のすべての点は^[5]から線形アクセス可能である${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle [a,x):=a+[0,1)x}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {acl} _{X}A,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A.}$

集合が​${\displaystyle M:=X,}$${\displaystyle \operatorname {aint} _{X}A}$代数的内部またはの核${\displaystyle A}$であり、またはで表されます 。形式的には、がベクトル空間である場合、の代数的内部は[^6]${\displaystyle A^{i}}$${\displaystyle \operatorname {core} A.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\subseteq X}$ $${\displaystyle \operatorname {aint} _{X}A:=\operatorname {core} (A):=\left\{a\in A:{\text{ すべての }}x\in X に対して、{\text{ }}t_{x}>0,{\text{ が存在し、すべての }}t\in \left[0,t_{x}\right],a+tx\in A\right\} に対して成り立ちます。}$$

が空でない場合、これらの追加の部分集合は、凸関数解析における多くの定理（ウルシェスクの定理など）の記述にも役立ちます。 ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle {}^{ic}A:={\begin{cases}{}^{i}A&{\text{ if }}\operatorname {aff} A{\text{ is a closed set,}}\\varnothing &{\text{ else}}\end{cases}}}$$

$${\displaystyle {}^{ib}A:={\begin{cases}{}^{i}A&{\text{ if }}\operatorname {span} (A-a){\text{ is a barrelled linear subspace of }}X{\text{ for any/all }}a\in A{\text{,}}\\\varnothing &{\text{ otherwise}}\end{cases}}}$$

がフレシェ空間、が凸、 が閉じている場合、となりますが、一般にが空でない間にとなることが可能です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {aff} A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {}^{ic}A={}^{ib}A}$${\displaystyle {}^{ic}A=\varnothing }$${\displaystyle {}^{ib}A}$

もし、しかし、そして${\displaystyle A=\{x\in \mathbb {R} ^{2}:x_{2}\geq x_{1}^{2}{\text{ or }}x_{2}\leq 0\}\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A),}$${\displaystyle 0\not \in \operatorname {int} (A)}$${\displaystyle 0\not \in \operatorname {core} (\operatorname {core} (A)).}$

仮定する${\displaystyle A,B\subseteq X.}$

• 一般に、が凸集合である場合は、次のようになります。 ${\displaystyle \operatorname {core} A\neq \operatorname {core} (\operatorname {core} A).}$${\displaystyle A}$
  • ${\displaystyle \operatorname {core} A=\operatorname {core} (\operatorname {core} A),}$そして
  • その時みんなのために${\displaystyle x_{0}\in \operatorname {core} A,y\in A,0<\lambda \leq 1}$${\displaystyle \lambda x_{0}+(1-\lambda )y\in \operatorname {core} A.}$
• ${\displaystyle A}$が実ベクトル空間の吸収部分集合となるのは、 ^[3]${\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A).}$
• ${\displaystyle A+\operatorname {core} B\subseteq \operatorname {core} (A+B)}$^[7]
• ${\displaystyle A+\operatorname {core} B=\operatorname {core} (A+B)}$もし^[7]${\displaystyle B=\operatorname {core} B.}$

凸集合の核と代数的閉包は両方とも凸である。^[5]が凸である 場合、線分は^[5]に含まれる。${\displaystyle C}$${\displaystyle c\in \operatorname {core} C,}$${\displaystyle b\in \operatorname {acl} _{X}C}$${\displaystyle [c,b):=c+[0,1)b}$${\displaystyle \operatorname {core} C.}$

を位相ベクトル空間とし、内部演算子を表すと、次のようになります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {int} }$${\displaystyle A\subseteq X}$

• ${\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq \operatorname {core} A}$
• が凸で有限次元である場合、 ^[1]${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A.}$
• が凸で内部が空でない場合、 ^[8]${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A.}$
• が閉凸集合であり、が完備距離空間である場合、^[9]${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A.}$

のとき、集合はで表され、の相対代数的内部と呼ばれます。 ^[7]この名前は、 のときかつその場合に限り、 であり、であるという事実に由来しています（ただし のときかつその場合に限ります）。 ${\displaystyle M=\operatorname {aff} (A-A)}$${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A}$${\displaystyle {}^{i}A:=\operatorname {aint} _{\operatorname {aff} (A-A)}A}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle a\in A^{i}}$${\displaystyle \operatorname {aff} A=X}$${\displaystyle a\in {}^{i}A}$${\displaystyle \operatorname {aff} A=X}$${\displaystyle \operatorname {aff} (A-A)=X}$

が位相ベクトル空間のサブセットである場合、の相対内部はセットです。 つまり、 は の最小のアフィン線型部分空間を含むA の位相内部です。次のセットも便利です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle \operatorname {rint} A:=\operatorname {int} _{\operatorname {aff} A}A.}$$${\displaystyle \operatorname {aff} A,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A.}$$${\displaystyle \operatorname {ri} A:={\begin{cases}\operatorname {rint} A&{\text{ if }}\operatorname {aff} A{\text{ is a closed subspace of }}X{\text{,}}\\\varnothing &{\text{ otherwise}}\end{cases}}}$$

が位相ベクトル空間の部分集合である場合、の準相対内部は集合 ${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle \operatorname {qri} A:=\left\{a\in A:{\overline {\operatorname {cone} }}(A-a){\text{ is a linear subspace of }}X\right\}.}$$

ハウスドルフ有限次元位相ベクトル空間において、${\displaystyle \operatorname {qri} A={}^{i}A={}^{ic}A={}^{ib}A.}$

• 境界点 – ベクトル空間の部分集合に関連する数学的概念
• 内部（位相）  – 与えられた集合の最大の開集合
• 順序単位 – 順序付きベクトル空間の要素
• 準相対内部 – 代数内部の一般化
• ラジアルセット
• 相対内部 – 位相内部の一般化
• ウルシェスク定理 – 閉グラフ、開写像、一様有界性定理の一般化

• Aliprantis, Charalambos D. ; Border, Kim C. (2006). 無限次元解析: ヒッチハイクガイド (第 3 版). ベルリン: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-29587-7. OCLC  262692874.
• ナリシ、ローレンス; ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。位相ベクトル空間。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス。ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• シェクター、エリック（1996）。分析とその基礎ハンドブック。サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミックプレス。ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Zălinescu, Constantin (2002 年 7 月 30 日)。一般ベクトル空間における凸解析。リバーエッジ、ニュージャージー、ロンドン: World Scientific Publishing。ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556. OCLC  285163112 –インターネットアーカイブ経由。