八正道（物理学）

物理学において、八正道とは、ハドロンと呼ばれる素粒子のクラスを体系化するスキームであり、クォークモデルの開発につながった。アメリカの物理学者マレー・ゲルマンとイスラエルの物理学者ユヴァル・ネーマンの両名が1961年に独立して同時にこのアイデアを提唱した。^{[1] [2] [a]} この名前はゲルマン（1961）の論文に由来し、仏教の八正道を暗示している。^[3]

1947 年までに、物理学者は物質の最小単位が何であるかをよく理解していると信じていました。電子、陽子、中性子、光子(原子や光など、日常生活の大部分を構成する要素) に加え、パイ中間子、ミュー中間子、仮説上のニュートリノなど、宇宙線の観測を説明するために必要な不安定な (つまり、放射性崩壊を起こす) エキゾチックな粒子がいくつかありました。さらに、陽電子の発見により、それぞれの反粒子が存在する可能性があることが示唆されました。原子核の静電反発力を克服するには、「強い相互作用」が存在する必要があることはわかっていました。すべての粒子がこの強い力の影響を受けるわけではありませんが、影響を受ける粒子は「ハドロン」と呼ばれ、現在はさらに中間子(中質量) と重粒子(重い質量) に分類されています。

しかし、1947年後半の中性K中間子の発見と、それに続く1949年の正電荷K中間子の発見により、中間子族は予期せぬ形で拡大し、1950年にはラムダ粒子が重粒子族にも同じ効果をもたらした。これらの粒子は生成されるよりもはるかにゆっくりと崩壊するため、2つの異なる物理的プロセスが関与していることが示唆される。これは、1952年にアブラハム・パイスによって初めて示唆された。1953年、マレー・ゲルマンおよび日本の中野忠雄と西島和彦の共同研究者は、増え続ける既知の粒子群を理解しようとする中で、現在「ストレンジネス」として知られる新しい保存値を独立に示唆した。 ^{[4] [5] [b]} 1950年代を通じて、既知の「基本」粒子の数が急増する中、新しい中間子と重粒子の発見の傾向は続いた。物理学者は、強い相互作用を介してハドロン間相互作用を理解することに興味を持っていた。 1932年、中性子の発見直後にヴェルナー・ハイゼンベルクが導入したアイソスピンの概念は、いくつかのハドロンを「多重子」にまとめるのに使われましたが、ハドロン全体を網羅する科学理論はまだ成功していませんでした。これが、粒子物理学における「粒子動物園」時代として知られるようになった混沌とした時代の始まりでした。八重の道は、この混乱から抜け出し、解決策であることが証明された クォークモデルに向かう一歩を象徴していました。

群表現理論は八重項法の数学的基礎となるものですが、このやや技術的な数学は、それが粒子の組織化にどのように役立つかを理解するためには必要ありません。粒子は中間子または重粒子としてグループに分類されます。各グループ内では、スピン角運動量によってさらに分離されます。これらの粒子グループのストレンジネスを電荷に対してプロットすると、対称パターンが現れます。(これは今日これらのプロットを作成する最も一般的な方法ですが、元々物理学者はハイパーチャージと同位体スピンと呼ばれる同等の特性ペアを使用していました。後者は現在アイソスピンとして知られています。)これらのパターンの対称性は、粒子自体の間の強い相互作用の根本的な対称性を示唆しています。以下のプロットでは、同じ水平線に沿っている粒子を表す点は同じストレンジネスs を共有し、同じ左に傾いた対角線上にある粒子を表す点は同じ電荷q (基本電荷の倍数として与えられる) を共有します。

元の 8 重の方法では、中間子はオクテットとシングレットに編成されていました。これは、8 重の方法と、それがヒントになったクォーク モデルとの微妙な相違点の 1 つであり、クォーク モデルでは、中間子はノネット (9 つのグループ) にグループ化されるべきであると示唆されています。

八重奏法では、最もスピンの低い8つの-0中間子をオクテットに編成します。^{[1] [6]}それらは次のとおりです。

• 
  け⁰
  、
  け⁺
  、
  け⁻
  そして
  け⁰
  カオン
• 
  π⁺
  、
  π⁰
  、 そして
  π⁻
  パイオン
• 
  η
  、エータ中間子

図の中で正反対の粒子は互いの 反粒子であり、中央の粒子はそれ自身の反粒子です。

電荷もストレンジもないイータプライム中間子は、もともとそれ自体がシングレットとして分類されていました。

• 
  η′
  

後に開発されたクォークモデルでは、前述のように、中間子九重項の一部として捉える方が適切です。

八正道はスピンを組織する- ⁠1/ 2 ⁠ 重粒子を八重項にまとめたもの。

• 中性子（n）と陽子（p）
• 
  Σ⁻
  、
  Σ⁰
  、 そして
  Σ⁺
  シグマ重粒子
• 
  Λ⁰
  、奇妙なラムダバリオン
• 
  Ξ⁻
  そして
  Ξ⁰
  xiバリオン

八正道の組織原理はスピンにも当てはまる。3/ 2 ⁠重粒子、10重粒子を形成します。

• 
  Δ⁻
  、
  Δ⁰
  、
  Δ⁺
  、 そして
  Δ⁺⁺
  デルタバリオン
• 
  Σ^∗−
  、
  Σ^∗0
  、 そして
  Σ^∗+
  シグマ重粒子
• 
  Ξ^∗−
  そして
  Ξ^∗0
  xiバリオン
• 
  Ω⁻
  オメガバリオン

しかし、この10重粒子の1つは、8重粒子説が提案された当時はこれまで観測されたことがなかった。ゲルマンはこの粒子を
Ω⁻
1962年に、ストレンジネスは−3、電荷は−1、質量は1680 MeV/ c ²。1964年、これらの予測にほぼ一致する粒子がブルックヘブンの粒子加速器グループによって発見されました^[7]。ゲルマンは素粒子理論の研究により1969年のノーベル物理学賞を受賞しました。

歴史的に、クォークはフレーバー対称性の理解を動機としていました。まず、粒子のグループがSU(3)の表現理論と一致する方法で互いに関連していることが注目されました（1961年）。そこから、SU(3)グループによってパラメータ化された宇宙のおおよその対称性があると推測されました。最終的に（1964年）、これはSU(3)変換によって交換される3つの軽いクォーク（アップ、ダウン、ストレンジ）の発見につながりました。

8 倍の方法は、現代的な言葉で言えば、さまざまな種類のクォーク間のフレーバー対称性の結果として理解されるかもしれません。強い核力はフレーバーに関係なくクォークに同じように影響を及ぼすため、各クォークの質量が強い相互作用スケール (3 つの軽いクォークに当てはまります) よりも小さい限り、ハドロン内のあるフレーバーのクォークを別のフレーバーに置き換えても、その質量はあまり変化しません。数学的には、この置き換えはSU(3) グループの要素によって記述できます。オクテットやその他のハドロン配置は、このグループの 表現です。

抽象的な3次元ベクトル空間があります。

${\displaystyle {\text{アップクォーク}}\rightarrow {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\qquad {\text{ダウンクォーク}}\rightarrow {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\qquad {\text{ストレンジクォーク}}\rightarrow {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}$

そして、物理法則は、この空間に行列式1のユニタリ変換（フレーバー回転と呼ばれることもある）を適用してもほぼ不変である。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto A{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}},\quad {\text{where }}A{\text{ is in }}SU(3)}$

ここで、SU(3)は、行列式が1である3×3ユニタリ行列のリー群（特殊ユニタリ群）を指す。例えば、フレーバー回転

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}~\;~0&1&0\\-1&0&0\\~\;~0&0&1\end{pmatrix}}}$

宇宙のすべてのアップクォークをダウンクォークに、またその逆の変換を同時に行う変換です。より具体的には、これらのフレーバー回転は、強い力の相互作用だけ を考慮すると正確な対称性ですが、3 つのクォークの質量と電弱相互作用が異なるため、宇宙の正確な対称性とは言えません。

この近似的な対称性はフレーバー対称性、より具体的にはフレーバーSU(3)対称性と呼ばれます。

ある粒子（たとえば陽子）が量子状態 にあると仮定します。この粒子にフレーバー回転Aの 1 つを適用すると、 と呼ぶことができる新しい量子状態に入ります。 Aに応じて、この新しい状態は陽子、中性子、陽子と中性子の重ね合わせ、またはその他のさまざまな可能性になる可能性があります。すべての可能な量子状態の集合は、ベクトル空間にわたります。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle A|\psi \rangle }$

表現論は、群の要素（ここでは、群 SU(3) のフレーバー回転A ）がベクトル空間（ここでは、陽子のフレーバー回転から得られるすべての可能な量子状態の集合）の自己同型である状況を記述する数学理論です。したがって、SU(3) の表現論を研究することで、ベクトル空間がどのようなものであるか、そしてそれがフレーバー対称性によってどのように影響を受けるかについての可能性を学ぶことができます。

フレーバー回転A は近似的な対称性であり、厳密な対称性ではないため、ベクトル空間内の各直交状態は異なる粒子種に対応します。上記の例では、陽子があらゆる可能なフレーバー回転Aによって変換されると、8 次元のベクトル空間を移動することがわかります。これらの 8 次元は、いわゆる「重粒子オクテット」 (陽子、中性子、
Σ⁺
、
Σ⁰
、
Σ⁻
、
Ξ⁻
、
Ξ⁰
、
Λ
これはSU(3)群の8次元（「オクテット」）表現に対応する。Aは近似対称性であるため、このオクテット内のすべての粒子は同様の質量を持つ。^[8]

すべてのリー群には対応するリー代数があり、リー群の各群表現は同じベクトル空間上の対応するリー代数表現にマッピングできます。リー代数 (3) は、3×3 のトレースレスエルミート行列の集合として記述できます。物理学者は、リー群 SU(3) ではなく、リー代数 (3) の表現論について議論するのが一般的です。これは、前者の方が単純で、両者は最終的に同等であるためです。 ${\displaystyle {\mathfrak {su}}}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}}$

• M.ゲルマン、Y. ネエマン編 (1964)。『八正道』。WAベンジャミン。LCCN  65013009。（ゲルマン-大久保の質量公式を含む、八正道と関連トピックに関するほとんどの歴史的論文が含まれています。）