基数関数

数学において、基数関数（または基数不変量）は基数を返す関数です。

• 最も頻繁に使用される基数関数は、集合 Aにその基数を割り当てる関数であり、| A | で表されます。
• アレフ数とベス数はどちらも、序数で定義された基数関数として考えることができます。
• 基数算術演算は、基数（または基数のペア）から基数への関数の例です。
• Xの部分集合の (適切な)理想 Iの基本的な特性は次のとおりです。

${\displaystyle {\rm {add}}(I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}\notin I\}.}$

Iの「加法性」とは、 Iの集合のうち、その和集合がもはやIに含まれない集合の最小の数である。任意のイデアルは有限和集合に対して閉じているので、この数は常に少なくとも である。Iがσ イデアルであれば、${\displaystyle \aleph_{0}}$${\displaystyle \operatorname {add} (I)\geq \aleph _{1}.}$

${\displaystyle \operatorname {cov} (I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}=X\}.}$

Iの「被覆数」は、Iの集合のうちXのすべてを結合したものの最小の数です。X自体はIに含まれないため、 add( I  ) ≤ cov( I )を満たす必要があります 。

${\displaystyle \operatorname {non} (I)=\min\{|A|:A\subseteq X\ \wedge \ A\notin I\},}$

Iの「一様数」（ と書かれることもある）は、 Iに含まれない最小の集合のサイズです。Iにすべてのシングルトンが含まれていると仮定すると、 add( I  ) ≤ non( I  ) となります。${\displaystyle {\rm {unif}}(I)}$

${\displaystyle {\rm {cof}}(I)=\min\{|{\mathcal {B}}|:{\mathcal {B}}\subseteq I\wedge \forall A\in I(\exists B\in {\mathcal {B}})(A\subseteq B)\}.}$

Iの「共終性」は、半順序( I 、⊆)の共終性です。 non( I  ) ≤ cof( I  ) および cov( I  ) ≤ cof( I )でなければならないことは簡単にわかります 。

がルベーグ零集合のイデアルや希薄集合のイデアルなどの実数の構造に密接に関連したイデアルである場合、これらの基数不変量は連続体の基数特性と呼ばれます。${\displaystyle I}$

• 順序付き集合 の場合、境界数と支配数は次のように定義される。${\displaystyle (\mathbb {P} ,\sqsubseteq )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}(\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {d}}(\mathbb {P} )}$

${\displaystyle {\mathfrak {b}}(\mathbb {P} )=\min {\big \{}|Y|:Y\subseteq \mathbb {P} \ \wedge \ (\forall x\in \mathbb {P} )(\exists y\in Y)(y\not \sqsubseteq x){\big \}},}$

${\displaystyle {\mathfrak {d}}(\mathbb {P} )=\min {\big \{}|Y|:Y\subseteq \mathbb {P} \ \wedge \ (\forall x\in \mathbb {P} )(\exists y\in Y)(x\sqsubseteq y){\big \}}.}$

• PCF理論では基数関数が用いられる。^[1]${\displaystyle pp_{\kappa }(\lambda )}$

基数関数は、さまざまな位相特性を記述するためのツールとして、位相幾何学で広く使用されています。^{[2] [3]以下にいくつかの例を示します。(注: 一部の著者は、「}一般位相幾何学には有限基数は存在しない」と主張し、^[4]以下にリストする基数関数が有限基数を値として取らないように定義することを好みます。これには、定義の右側に「 」を追加するなど、以下に示す定義の一部を変更する必要があります。) ${\displaystyle \;\;+\;\aleph _{0}}$

• おそらく位相空間 の最も単純な基数不変量は、その基数とその位相の基数であり、それぞれとで表される。${\displaystyle X}$${\displaystyle |X|}$${\displaystyle o(X).}$
• 位相空間の重みは 、空間が第二可算であると言われる ときの の最小の基数の濃度です。 ${\displaystyle \operatorname {w} (X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \operatorname {w} (X)=\aleph _{0}}$${\displaystyle X}$
  • 空間の-重みは、最小の-基数の濃度です( -基数は、すべての開集合をスーパーセットに含む、空でない開集合の集合です)。${\displaystyle \pi}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \pi}$
  • のネットワーク重み は、ネットワークの最小の濃度です。ネットワークは、すべての点と開近傍を含む集合の族であり、が存在するため、${\displaystyle \operatorname {nw} (X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle x\in B\subseteq U.}$
• ある点における位相空間の性格とは、の最小の局所基数の濃度のことである。空間の 性格とは、空間が第一に可算であると言われる ときである。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle \chi (X)=\sup \;\{\chi (x,X):x\in X\}.}$$${\displaystyle \chi (X)=\aleph _{0}}$${\displaystyle X}$
• 空間の密度は 、空間が可分であると言われる ときの、最小の稠密な部分集合の濃度です。${\displaystyle \operatorname {d} (X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle {\rm {{d}(X)=\aleph _{0}}}}$${\displaystyle X}$
• 空間のリンデレーフ数は 、すべての開被覆がを超えない濃度の部分被覆を持つような最小の無限濃度です。このとき、空間はリンデレーフ空間と呼ばれます。${\displaystyle \operatorname {L} (X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {L} (X).}$${\displaystyle {\rm {{L}(X)=\aleph _{0}}}}$${\displaystyle X}$
• 空間の細胞数またはススリン数は${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {c} (X)=\sup\{|{\mathcal {U}}|:{\mathcal {U}}{\text{ is a family of mutually disjoint non-empty open subsets of }}X\}.}$

• 遺伝的細胞性（広がり と呼ばれることもある）は、そのサブセットの細胞性の最小の上限です。またはここで、「離散的」とは、離散位相空間であることを意味します。$${\displaystyle s(X)={\rm {hc}}(X)=\sup\{{\rm {c}}(Y):Y\subseteq X\}}$$$${\displaystyle s(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X{\text{ with the subspace topology is discrete}}\}}$$

• 空間の大きさは、非可算な閉じた離散部分集合が存在しない場合に、まさに可算な大きさを持ちます。${\displaystyle X}$$${\displaystyle e(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X{\text{ is closed and discrete}}\}.}$$${\displaystyle X}$
• ある点における位相空間のタイトネス とは、の何らかの部分集合に対してとなる の部分集合が存在するときはいつでも、となるような最小の基数です。 記号的に言えば、空間のタイトネス はです。空間が可算生成である、または可算タイトであると言われる ときです。 ${\displaystyle t(x,X)}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle |Z|\leq \alpha ,}$${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}(Z).}$$${\displaystyle t(x,X)=\sup \left\{\min\{|Z|:Z\subseteq Y\ \wedge \ x\in {\rm {cl}}_{X}(Z)\}:Y\subseteq X\ \wedge \ x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)\right\}.}$$ ${\displaystyle X}$$${\displaystyle t(X)=\sup\{t(x,X):x\in X\}.}$$${\displaystyle t(X)=\aleph _{0}}$${\displaystyle X}$
  • 空間の拡張タイトネスとは、任意のに対してより小さい基数を持つの部分集合が存在し、${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle t^{+}(X)}$ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle Y\subseteq X,}$ ${\displaystyle x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \alpha ,}$${\displaystyle x\in {\rm {cl}}_{X}(Z).}$

$${\displaystyle c(X)\leq d(X)\leq w(X)\leq o(X)\leq 2^{|X|}}$$ $${\displaystyle e(X)\leq s(X)}$$ $${\displaystyle \chi (X)\leq w(X)}$$ $${\displaystyle \operatorname {nw} (X)\leq w(X){\text{ and }}o(X)\leq 2^{\operatorname {nw} (X)}}$$

基数関数はブール代数の研究ではよく使われます。^{[5] [6]}例えば、次のような関数が挙げられます。

• ブール代数のセル性は、内の反鎖の濃度の上限です。${\displaystyle c(\mathbb {B} )}$${\displaystyle \mathbb {B} }$${\displaystyle \mathbb {B} }$
• ブール代数の長さは${\displaystyle {\rm {length}}(\mathbb {B} )}$${\displaystyle \mathbb {B} }$

${\displaystyle {\rm {length}}(\mathbb {B} )=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B} {\text{ is a chain}}{\big \}}}$

• ブール代数の深さは${\displaystyle {\rm {depth}}(\mathbb {B} )}$${\displaystyle \mathbb {B} }$

${\displaystyle {\rm {depth}}(\mathbb {B} )=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B} {\text{ is a well-ordered subset}}{\big \}}}$。

• ブール代数の非比較性は${\displaystyle {\rm {Inc}}(\mathbb {B} )}$${\displaystyle \mathbb {B} }$

${\displaystyle {\rm {Inc}}({\mathbb {B} })=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B} {\text{ such that }}\forall a,b\in A{\big (}a\neq b\ \Rightarrow \neg (a\leq b\ \vee \ b\leq a){\big )}{\big \}}}$。

• ブール代数の擬似重みは${\displaystyle \pi (\mathbb {B} )}$${\displaystyle \mathbb {B} }$

${\displaystyle \pi (\mathbb {B} )=\min {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B} \setminus \{0\}{\text{ such that }}\forall b\in B\setminus \{0\}{\big (}\exists a\in A{\big )}{\big (}a\leq b{\big )}{\big \}}.}$

代数における基数関数の例は次のとおりです。

• Gの部分群Hの指数は剰余類の数です。
• 体K上のベクトル空間 Vの次元は、Vの任意のハメル基底の濃度です。
• より一般的には、環R上の自由モジュール Mに対して、このモジュールの任意の基数の濃度としてランクを定義します。 ${\displaystyle {\rm {rank}}(M)}$
• ベクトル空間Vの線型部分空間 Wに対して、Wの余次元( Vに関して)を定義します。
• 任意の代数構造について、その構造の生成元の最小基数を考慮することが可能です。
• 代数 体拡大では、代数次数と可分次数がしばしば採用される（代数次数は、より小さい体上のベクトル空間としての拡大の次元に等しい）。
• 非代数体拡張の場合も、超越次数が同様に使用されます。

• 一般位相幾何学の定義の用語集 [1] [2]

• チチョンの図

• ジェック、トーマス(2003)。集合論。シュプリンガー数学モノグラフ（第三千年紀版）。ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー出版社。ISBN 978-3-540-44085-7.ZBL1007.03002  。​