CW複合施設

CW複体は、位相空間の列の和集合を取ることによって構築される。$${\displaystyle \emptyset =X_{-1}\subset X_{0}\subset X_{1}\subset \cdots }$$それぞれ${\displaystyle X_{k}}$から得られる${\displaystyle X_{k-1}}$k細胞のコピーを接着することによって${\displaystyle (e_{\alpha }^{k})_{\alpha \in J}}$それぞれが開いた単位球と同相である${\displaystyle B^{k}}$で${\displaystyle k}$次元ユークリッド空間から${\displaystyle X_{k-1}}$地図を連続的に貼り付ける${\displaystyle g_{\alpha }^{k}:\partial {\bar {e}}_{\alpha }^{k}\to X_{k-1}}$どこ${\displaystyle {\bar {e}}^{k}\cong {\bar {B}}^{k}}$閉じた単位球。写像は付加写像とも呼ばれる。したがって、集合として、${\displaystyle X_{k}=X_{k-1}\sqcup _{\alpha }e_{\alpha }^{k}}$。

正確に言うと、${\displaystyle X_{k}}$は同相である${\displaystyle (X_{k-1}\sqcup (J\times {\overline {e}}^{k}))/\sim }$、 （ここ${\displaystyle {\overline {e}}^{k}}$閉鎖されています${\displaystyle k}$-ディスク${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$) 装備する場所${\displaystyle J}$離散トポロジーと${\displaystyle \sim }$は、によって生成される同値関係です。${\displaystyle (a,x)\sim g_{a}^{k}(x)}$のために${\displaystyle a\in J}$そして${\displaystyle x\in \partial e^{k}}$。

それぞれ${\displaystyle X_{k}}$これは複合体のk骨格と呼ばれる。

トポロジー${\displaystyle X=\cup _{k}X_{k}}$弱いトポロジーです: 部分集合${\displaystyle U\subset X}$開いているのは${\displaystyle U\cap X_{k}}$各k-スケルトンに対して開かれている${\displaystyle X_{k}}$。

圏論の言葉で言えば、${\displaystyle X}$図の直接的な限界は$${\displaystyle X_{-1}\hookrightarrow X_{0}\hookrightarrow X_{1}\hookrightarrow \cdots }$$「CW」という名称は「閉包有限弱位相」の略で、以下の定理によって説明されます。

このXの分割はセル化とも呼ばれる。

正則CW複体とは、その貼り合わせ写像が同相写像であるCW複体のことである。したがって、 Xの分割は正則セル化とも呼ばれる。

ループのないグラフは、正則な 1 次元 CW 複体で表されます。曲面に埋め込まれた閉じた 2 セル グラフは、正則な 2 次元 CW 複体です。最後に、3 次元球面正則セル化予想は、すべての2 連結グラフが3 次元球面上の正則 CW 複体の 1 骨格であると主張しています。^{[ 3 ]}

大まかに言うと、相対的CW複合体は、必ずしも細胞構造を持たない追加の構成要素を1つ持つことができるという点で、CW複合体とは異なります。この追加の構成要素は、前者の定義では（−1）次元の細胞として扱うことができます。^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

すべての離散位相空間は、0次元のCW複体である。

1次元CW複合体の例をいくつか挙げると次のようになります。^{[ 7 ]}

• 区間とは、2点( xとy )と1次元球B (区間)から構成されるもので、 Bの一方の端点がxに、もう一方の端点がyにそれぞれ接着されている。2点xとyは0セルであり、Bの内部は1セルである。あるいは、0セルを含まない単一の区間から構成することもできる。
• 円。円は、一点xと一次元球Bから構成することができ、その場合、球 Bの両端はxに接着されます。あるいは、2点xとyと 2つの一次元球AとBから構成することもでき、その場合、球Aの両端はxとyに接着され、球 Bの両端もxとyに接着されます。
• グラフ。与えられたグラフに対して、0セルを頂点、1セルを辺とする1次元CW複体を構築することができる。各辺の端点は、その辺に接続する頂点と同一視される。このように組み合わせグラフを位相空間として実現したものを、位相グラフと呼ぶことがある。
  • 3-正則グラフは、一般的な1次元CW複体とみなすことができます。具体的には、 Xが1次元CW複体である場合、1-セルのアタッチマップは、2点空間からXへのマップです。${\displaystyle f:\{0,1\}\to X}$このマップは、 Xの 0-スケルトンと分離するように摂動させることができるのは、次の場合に限る。${\displaystyle f(0)}$そして${\displaystyle f(1)}$Xの 0 価頂点ではない。
• 実数上の標準的なCW構造は、整数を0骨格として持つ。${\displaystyle \mathbb {Z} }$そして1セルとして、間隔は${\displaystyle \{[n,n+1]:n\in \mathbb {Z} \}}$同様に、標準CW構造は${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$0セルと1セルの積である立方体セルを持つ。${\displaystyle \mathbb {R} }$これは標準的な立方格子セル構造です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$。

有限次元CW複体の例としては、次のものがあります。^{[ 7 ]}

• n次元球。これは、0セルとnセルの2つのセルを持つCW構造を許容する。ここでnセルは${\displaystyle D^{n}}$境界からの定数マッピングによって接続されている${\displaystyle S^{n-1}}$単一の0セルへ。別のセル分解では、1つの( n -1)次元球（「赤道」）と、それに付随する2つのnセル（「上半球」と「下半球」）がある。帰納的に、これは次のようになる。${\displaystyle S^{n}}$各次元kに2つのセルを持つCW分解で、${\displaystyle 0\leq k\leq n}$。
• n次元実射影空間。各次元に1つのセルを持つCW構造を持つ。
• 一般的な2次元CW複合体の用語はシャドウである。^{[ 8 ]}
• 多面体は自然にCW複合体である。
• グラスマン多様体は、シューベルトセルと呼ばれるCW構造を持つ。
• 微分可能多様体、代数多様体、射影多様体は、CW複体のホモトピー型を持つ。
• 尖点双曲多様体の一点コンパクト化は、エプスタイン・ペナー分解と呼ばれる、0セル（コンパクト化点）が1つだけの標準的なCW分解を持ちます。このようなセル分解は、しばしば理想多面体分解と呼ばれ、 SnapPeaなどの一般的なコンピュータソフトウェアで使用されています。

• 無限次元の球体${\displaystyle S^{\infty }:=\mathrm {colim} _{n\to \infty }S^{n}}$。各次元に2つのセルを持つCW構造が、${\displaystyle n}$-骨格は正確には${\displaystyle n}$-球。
• 無限次元射影空間${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }}$、${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}$そして${\displaystyle \mathbb {HP} ^{\infty }}$。${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }}$各次元に1つのセルがあり、${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}$偶数次元ごとに1つのセルがあり、${\displaystyle \mathbb {HP} ^{\infty }}$4で割り切れる各次元に1つのセルを持つ。それぞれの骨格は次のように与えられる。${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$、${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$（2n骨格）および${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$（4n骨格）

• 無限次元ヒルベルト空間はCW複体ではなく、ベール空間であるため、それぞれが内部が空集合であるn個のスケルトンの可算和集合として表すことはできない。この議論は他の多くの無限次元空間にも当てはまる。
• ハリネズミの空間${\displaystyle \{re^{2\pi i\theta }:0\leq r\leq 1,\theta \in \mathbb {Q} \}\subseteq \mathbb {C} }$は CW 複体 (点) とホモトピー同値であるが、局所的に縮約可能ではないため、CW 分解は許容しない。
• ハワイアンイヤリングは、原点において局所的に縮約可能ではないため、CW分解を持ちません。また、良好な開被覆を持たないため、CW複体とホモトピー同値でもありません。