Loading article…
数学において、抽象セル複体とは、各点に次元と呼ばれる負でない整数が割り当てられているアレクサンドロフ位相を持つ抽象集合である。この複体は、その点（セルと呼ばれる）がユークリッド複体やCW 複体の場合のようにハウスドルフ空間のサブセットではないため、「抽象」と呼ばれる。抽象セル複体は、画像解析やコンピュータグラフィックスにおいて重要な役割を果たしている。
歴史
抽象細胞複合体[1]（抽象細胞複合体とも呼ばれる）のアイデアは、J. Listing (1862) [2]とE. Steinitz (1908) [3]に関連しています。また、AW Tucker (1933)、[4] K. Reidemeister (1938)、[5] PS Aleksandrov (1956) [6] や R. Klette と A. Rosenfeld (2004) [7]も抽象細胞複合体について説明しています。 E. Steinitz は抽象細胞複合体を次のように定義しています。ここで、 Eは抽象集合、BはEの要素間の境界関係と呼ばれる非対称、非反射、推移的な二項関係、dimはならば となるような方法でEの各要素に負でない整数を割り当てる関数です。 V. Kovalevsky (1989) [8]は 3D およびより高次元の抽象細胞複合体について説明しています。彼は著書（2008年）[9]で、抽象セル複合体の一般化である局所有限位相空間の公理理論を提案した。この本には、計量に依存しない位相球と球の新しい定義、組合せ多様体の新しい定義、画像解析に役立つ多くのアルゴリズムが含まれている。
基本的な結果
抽象セル複合体のトポロジーは、その点またはセルの集合内の 部分的な順序に基づいています。
E. Steinitz によって定義された抽象セル複合体の概念は、抽象単体複合体の概念に関連しており、その要素が単体ではないという特性によって単体複合体と異なります。抽象複合体のn次元要素は、 n +1 個の 0 次元辺を持つことはできません。また、セルの 0 次元辺のセットの各サブセットがセルであるわけではありません。これは、抽象セル複合体の概念が画像処理で使用される 2 次元および 3 次元グリッドに適用できるため重要ですが、これは単体複合体には当てはまりません。非単体複合体は、セル座標の導入を可能にする一般化です。このような「線形」1 次元複合体の直積である非単体複合体があり、各 0 次元セル (2 つのセルを除く) は、正確に 2 つの 1 次元セルを囲みます。このような直積複合体だけが、各セルが座標セットを持ち、任意の 2 つの異なるセルが異なる座標セットを持つような座標を導入できます。座標セットは複合体の各セルの名前として機能し、複合体の処理に重要です。
抽象複体により、デジタル画像処理の基礎となるグリッドに古典的な位相幾何学 (アレクサンドロフ位相幾何学) を導入できます。この可能性により、抽象セル複体の大きな利点が定義されます。つまり、接続性の概念とサブセットの境界の概念を正確に定義できるようになります。セルと複体の次元の定義は、一般的には単体複体とは異なります (以下を参照)。
抽象セル複合体の概念は、CW 複合体の概念とは本質的に異なります。抽象セル複合体はハウスドルフ空間ではないからです。これは、コンピュータサイエンスの観点からは重要です。なぜなら、コンピュータで非離散ハウスドルフ空間を明示的に表現することは不可能だからです。(このような空間の各点の近傍には、無限に多くの点が存在する必要があります)。
V. Kovalevskyの著書[10]には、抽象セル複合体の一般化である局所有限空間の理論の説明が含まれています。局所有限空間Sは、 Sの各点Pに対してSの部分集合が定義されている点の集合です。限られた数の点を含むこの部分集合は、Pの最小近傍と呼ばれます。局所有限空間Sの点の集合では、2 項近傍関係が定義されています。要素 (点) b が要素aの最小近傍に属する場合、要素aと近傍関係にあります。局所有限空間の新しい公理が定式化され、近傍関係が反対称かつ推移的である場合にのみ、空間Sが公理に従うことが証明されました。近傍関係は、逆境界関係の反射包です。位相の古典的な公理は、新しい公理から定理として演繹できることが示されました。したがって、新しい公理を満たす局所有限空間は、古典的な位相空間の特殊なケースです。その位相は、ポセット位相またはアレクサンドロフ位相です。抽象セル複合体は、各点の次元が定義されている局所有限空間の特殊なケースです。抽象セル複合体のセルcの次元は、複合体の任意のセルからセルcに至る最大境界パスの長さ (セルの数から 1 を引いた値) に等しいことが実証されました。境界パスは、各セルが次のセルに境界を接するセルのシーケンスです。この本には、2D 複合体のデジタル直線セグメントの理論、2D および 3D で境界をトレースする多数のアルゴリズム、境界を経済的にエンコードするアルゴリズム、境界のコードからサブセットを正確に再構築するアルゴリズムが含まれています。抽象セル複合体を使用して、境界のトレース、コーディング、ポリゴン化、およびエッジ検出のための効率的なアルゴリズムが開発され、この本で説明されています[11]
抽象細胞複合体デジタル画像表現
デジタル画像は、画像を ACC 次元構成要素である点 (0 セル)、亀裂/エッジ (1 セル)、ピクセル/面 (2 セル) に分解することで、2D 抽象セル コンプレックス (ACC) で表現できます。
この分解と、画像ピクセルから次元構成要素に座標を明確に割り当てる座標割り当て規則を組み合わせることで、亀裂境界のトレース、デジタル直線セグメントの細分化などの優れたアルゴリズムを使用して、画像に対して特定の画像分析操作を実行できるようになります。このような規則の 1 つは、点、亀裂、面をピクセルの左上の座標にマッピングします。これらの次元構成要素は、独自のデータ構造に明示的に変換する必要はありませんが、暗黙的に理解され、デジタル画像の通常のデータ構造表現である 2D 配列に関連付けられます。この座標割り当て規則と、この画像に関連する各セルのレンダリングは、右側の画像に示されています。
参照
参考文献
- ^ ラインハルト・クレッテ: 時間の経過による細胞複合体。http://spie.org/Publications/Proceedings/Paper/10.1117/12.404813
- ^ リスト J.: 「Der Census räumlicher Complexe」。Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen、v. 10、ゲッティンゲン、1862 年、97–182。
- ^ Steinitz E.: 「Beiträge zur Analysis」。Sitzungsbericht Berliner Mathematischen Gesellschaft、バンド。 7、1908、29–49。
- ^ タッカー AW: 「多様体への抽象的なアプローチ」 Annals Mathematics、v. 34、1933、191-243。
- ^ Reidemeister K.: 「Topologie der Polyeder und kombinatorische Topologie der Komplexe」。 Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig、ライプツィヒ、1938 年 (第 2 版 1953 年)
- ^ アレクサンドロフ PS: 組合せトポロジー、グレイロック プレス、ロチェスター、1956 年、
- ^ Klette R. および Rosenfeld. A.: 「デジタルジオメトリ」、Elsevier、2004 年。
- ^ Kovalevsky, V.:「画像解析への有限トポロジーの応用」、コンピュータビジョン、グラフィックスおよび画像処理、v. 45、No. 2、1989、141–161。
- ^ 「ホーム」. geographical.kovalevsky.de .
- ^ V. Kovalevsky:「局所有限空間の幾何学」。編集会社 Dr. Bärbel Kovalevski、ベルリン、2008年。ISBN 978-3-9812252-0-4。
- ^ Kovalevsky, V.、「細胞トポロジーによる画像処理」、Springer 2021、ISBN 978-981-16-5771-9。