回転対称性

回転対称性は、幾何学では放射対称性とも呼ばれ、ある形状が、ある部分的な回転の後も同じように見えるという性質です。物体の回転対称性の度合いは、回転ごとにまったく同じに見える異なる方向の数です。

特定の幾何学的物体は、90°回転した正方形など、特定の角度で回転させると部分的に対称になりますが、どの角度でも完全に回転対称になる幾何学的物体は球、円、その他の回転楕円体だけです。^{[1] [2]}

正式には、回転対称性は、 m次元ユークリッド空間における一部またはすべての回転に関する対称性です。回転は直接等長変換、つまり方向を保存する等長変換です。したがって、回転対称性の対称群は、 E ⁺ ( m )の部分群です(ユークリッド群を参照)。

すべての点の周りのすべての回転に関する対称性は、すべての並進に関する並進対称性を意味するため、空間は均質であり、対称群はE ( m )全体です。ベクトル場の対称性の修正された概念により、対称群はE ⁺ ( m )にもなります。

点の周りの回転に関する対称性については、その点を原点として取ることができます。これらの回転は、行列式が 1 であるm × m直交行列のグループである特殊直交群 SO( m )を形成します。m = 3の場合、これは回転群SO(3)です。

別の定義では、オブジェクトの回転群は、E ⁺ ( n )内の対称群、つまり直接等長変換群です。言い換えると、完全対称群と直接等長変換群の交差です。カイラルオブジェクトの場合、完全対称群と同じです。

物理法則は、空間内の異なる方向を区別しない場合はSO(3) 不変です。ノイマンの定理により、物理システムの回転対称性は角運動量保存則と同等です。

n次回転対称性は 、 n倍回転対称性、またはn次離散回転対称性とも呼ばれ、特定の点 (2D) または軸 (3D) に関して、角度⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {360^{\circ }}{n}}}$ (180°、120°、90°、72°、60°、51  3 ⁄ 7 ° など) で回転してもオブジェクトは変化しないことを意味します。「1 倍」対称性は対称性がありません (360° 回転するとすべてのオブジェクトが同じように見えます)。

n倍対称性の表記はC _nまたは単にnです。実際の対称群は、対称点または対称軸とnによって指定されます。各対称点または対称軸について、抽象群の種類は順序 nの巡回群Z _nです。後者にも表記C _nが使用されますが、幾何学的 C n と抽象的C _{n は}区別する必要があります。同じ抽象群の種類で幾何学的に異なる他の対称群があります。3D の巡回対称群を参照してください。

基本領域は、 ⁠ ⁠のセクターです。${\displaystyle {\tfrac {360^{\circ }}{n}}.}$

追加の反射対称性のない例:

• n = 2、180°: 2進数、文字 Z、N、S、陰陽のシンボルの輪郭（色はなし）、ユニオン フラッグ（旗の対角線に沿って分割され、旗の中心点を中心に回転）
• n = 3、120°:三つ巴、三脚巴、ボロミアン環。三辺対称性という用語が使われることもある。
• n = 4、90°:四分円、スワスティカ
• n = 6、60°:六角形、ダビデの星（これには追加の反射対称性があります）
• n = 8、45°:八角形、八角形のムカルナス、コンピューター生成 (CG)、天井

C _{n は}、2D の正n辺の多角形と 3D の正n辺のピラミッドの回転群です。

たとえば、100° の角度に関して回転対称性がある場合、 100° と 360° の最大公約数である 20° のいずれかに関しても回転対称性があります。

回転対称性（垂直軸を持つ場合もある）を持ち、鏡面対称性を持たない典型的な 3D オブジェクトはプロペラです。

同じ点を通る複数の対称軸を持つ 離散対称性の場合、次の可能性があります。

• n倍の軸に加えて、n本の垂直な 2 倍の軸:位数2 n ( n ≥ 2 )の 二面体群 D _n 。これは、正角柱または正両錐体の回転群です。同じ表記法が使用されていますが、幾何学的 D n と抽象的D _{n は}区別する必要があります。同じ抽象群タイプで幾何学的に異なる他の対称群があります。3Dの二面体対称群を参照してください。
• 4×3軸と3×2軸：正四面体の12次の回転群T。この群は交代群_A4と同型である。
• 3×4 倍、4×3 倍、6×2 倍の軸: 立方体と正八面体の 24 次回転群O 。この群は対称群S ₄と同型です。
• 6×5 倍、10×3 倍、15×2 倍の軸: 正十二面体と正二十面体の 60 次回転群I。この群は交代群A ₅と同型です 。この群には、 D ₃の 10 個のバージョンとD ₅の 6 個のバージョン(プリズムや反プリズムのような回転対称性) が含まれます。

プラトン立体の場合、2 倍の軸は反対側の辺の中点を通り、その数は辺の数の半分です。他の軸は反対側の頂点と反対側の面の中心を通ります。ただし、四面体の場合は、3 倍の軸がそれぞれ 1 つの頂点と 1 つの面の中心を通ります。

任意の角度に関する回転対称性は、2次元では円対称性です。基本領域は半直線です。

3 次元では、円筒対称性と球対称性(1 つの軸を中心に回転しても、または任意の回転でも変化しない)を区別できます。つまり、円筒座標を使用する場合は角度に依存せず、球座標を使用する場合はどちらの角度にも依存しません。基本領域は、それぞれ軸を通る半平面と放射状の半直線です。軸対称と軸対称は、円筒対称性、またはドーナツ(トーラス) のような軸対称性(つまり、中心軸に対する回転対称性)を持つオブジェクトを指す形容詞です。近似的な球対称性の例としては、地球 (密度やその他の物理的および化学的特性に関して) があります。

4D では、平面に関する連続的または離散的な回転対称性は、交差点に関するすべての垂直平面における対応する 2D 回転対称性に対応します。オブジェクトは、たとえば、デュオシリンダーやさまざまな通常のデュオプリズムの場合のように、2 つの回転対称 2D 図形の直積である場合など、2 つの垂直平面に関する回転対称性を持つこともできます。

2回の回転対称性と1回の並進対称性はフリーズ群の1つです。回転中心は回転の固定点、つまり不変点です。 ^[3]原始セルごとに2つの回転中心があります。

回転グループは、二重並進対称性と合わせて、プリミティブセルごとに軸を持つ 次の壁紙グループになります。

• p2（2222）：4×2倍；平行四辺形、長方形、菱形 格子の回転群。
• p3 (333): 3×3 倍。任意の格子の回転群ではありません(すべての格子は上下逆で同じですが、この対称性には適用されません)。たとえば、正三角形が交互に色付けされた正三角形のタイル張りの回転群です。
• p4（442）：2×4倍、2×2倍、正方格子の回転群。
• p6（632）：1×6倍、2×3倍、3×2倍、六角格子の回転群。
• 2 倍の回転中心 (4 倍および 6 倍の場合もある) が存在する場合、それは、係数 1/2 でスケーリングされた並進格子に等しい格子の並進を形成します。1 次元の並進対称性の場合、同様の特性が適用されますが、「格子」という用語は適用されません。
• 3倍の回転中心（6倍の回転中心を含む）が存在する場合、並進格子に等しい正六角形格子を30°（または同等の90°）回転させ、係数で拡大縮小したものを形成する。${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}}$
• 4倍の回転中心は、存在する場合、並進格子に等しい正方格子を45°回転させ、係数で拡大縮小したものを形成する。${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$
• 6 倍の回転中心は、存在する場合、並進格子の並進である正六角形の格子を形成します。

格子のスケーリングでは、単位面積あたりの点の数をスケール係数の 2 乗で割ります。したがって、プリミティブ セルあたりの 2 倍、3 倍、4 倍、6 倍の回転中心の数は、それぞれ 4、3、2、1 になります (2 倍の特殊なケースとして 4 倍も含まれます)。

ある点では 3 回転対称で、別の点では 2 回転対称 (または 3D では平行軸に関して同じ) の場合、回転グループ p6、つまり、ある点 (または 3D では平行軸) では 2 回転対称と 6 回転対称になります。このような回転中心のペアによって生成される対称性の平行移動距離は、それらの距離の倍になります。 ${\displaystyle 2{\sqrt {3}}}$

• ワイル、ヘルマン（1982）[1952]。対称性。プリンストン：プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-02374-3。

• ウィキメディア・コモンズの回転対称性に関するメディア
• Math Is Fun からの回転対称性の例