球状体

回転楕円体、あるいは回転楕円体とも呼ばれる球体は、楕円をその主軸の 1 つを中心に回転させることによって得られる二次曲面です。言い換えると、2つの半径が等しい楕円体です。球体は円対称性を持ちます。

楕円を長軸を中心に回転させると、ラグビー ボールのように細長い長楕円体になります。アメリカン フットボールもこれに似ていますが、先端が回転楕円体よりも尖っています。楕円を短軸を中心に回転させると、レンズ豆やプレーンなM&Mのように平らな扁平回転楕円体になります。楕円の生成元が円の場合、球体になります。

重力と自転の複合効果により、地球（およびすべての惑星）の形状は完全な球体ではなく、自転軸の方向にわずかに平らになっています。このため、地図作成と測地学では、地球は球体ではなく、基準楕円体と呼ばれる扁平な回転楕円体で近似されることがよくあります。現在の世界測地系モデルでは、赤道で半径 6,378.137 km (3,963.191 マイル)、極で半径 6,356.752 km (3,949.903 マイル)の回転楕円体が使用されています。

回転楕円体という言葉は、もともと「ほぼ球形の物体」を意味し、二軸または三軸の楕円体形状を超えた不規則性も認めていました。この用語は、測地学に関するいくつかの古い論文でこのように使用されています（たとえば、地球の重力 ジオポテンシャルモデルの切断された球面調和関数展開を参照）。^[1]

原点を中心とし、半軸a、b、cが座標軸に沿って並んだ 3軸楕円体の方程式は、

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2} {c^{2}}}=1.}$

zを対称軸とする回転楕円体の方程式は、a = bと設定することで与えられます。

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.}$

半軸aは回転楕円体の赤道半径、c は対称軸に沿った中心から極までの距離です。次の 2 つのケースが考えられます。

• c < a : 扁平回転楕円体
• c > a : 長球状

a = cの場合は球面になります。

c < aの扁平回転楕円体の表面積は

${\displaystyle S_{\text{oblate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\operatorname {arctanh} e\right)=2\pi a^{2}+\pi {\frac {c^{2}}{e}}\ln \left({\frac {1+e}{1-e}}\right)\qquad {\mbox{where}}\quad e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}.}$

扁平回転楕円体は、長軸aと短軸cを持つ楕円をz軸の周りに回転させることによって生成されるため、eは離心率として識別されます。（楕円を参照。）^[2]

c > aの長球の表面積は

${\displaystyle S_{\text{prolate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\arcsin \,e\right)\qquad {\mbox{where}}\quad e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}.}$

長楕円体は、長半径cと短半径aを持つ楕円をz軸の周りに回転させることによって生成されるため、eは離心率として再び識別される。（楕円を参照。）^[3]

_{これらの式は、楕円体}Sの式を使用して長楕円体の表面積を計算できるという意味で同一であり、逆も同様です。ただし、 e は虚数になり、離心率と直接同一視できなくなります。これらの結果は両方とも、標準的な数学的恒等式と楕円のパラメータ間の関係を使用して、他の多くの形式に変換できます。

回転楕円体（どんな種類でも）の内部の体積は

${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}\pi a^{2}c\approx 4.19a^{2}c.}$

A = 2 aが赤道直径、C = 2 cが極直径の場合、体積は

${\displaystyle {\tfrac {\pi }{6}}A^{2}C\approx 0.523A^{2}C.}$

回転楕円体を次のようにパラメータ化するとします。

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\beta ,\lambda )=(a\cos \beta \cos \lambda ,a\cos \beta \sin \lambda ,c\sin \beta ),}$

ここで、βは縮約緯度またはパラメトリック緯度、λは経度、そして− ⁠π/2⁠ < β < + ⁠π/2⁠かつ−π < λ < +πである。このとき、回転楕円体のガウス曲率は

${\displaystyle K(\beta ,\lambda )={\frac {c^{2}}{\left(a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)^{2}}},}$

そしてその平均曲率は

${\displaystyle H(\beta ,\lambda )={\frac {c\left(2a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)}{2a\left(a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)^{\frac {3}{2}}}}.}$

これらの曲率は両方とも常に正であるため、回転楕円体上のすべての点は楕円形になります。

扁平回転楕円体/楕円のアスペクト比c  : aは極長と赤道長の比であり、扁平率(扁平率とも呼ばれる) fは赤道長と極長の差と赤道長の比です。

${\displaystyle f={\frac {a-c}{a}}=1-{\frac {c}{a}}.}$

第一偏心度（通常は上記のように単に偏心度）は、平坦化の代わりによく使用されます。^[4]これは次のように定義されます。

${\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}}}$

偏心と平坦化の関係は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}e&={\sqrt {2f-f^{2}}}\\f&=1-{\sqrt {1-e^{2}}}\end{aligned}}}$

現代の測地楕円体はすべて、長半径と短半径 (アスペクト比を与える)、扁平率、または最初の離心率のいずれかによって定義されます。これらの定義は数学的には互換性がありますが、実際の計算では精度が多少低下します。混乱を避けるために、楕円体の定義では、定義自体の値が定義される形式で正確であるとみなされます。

原子核内の陽子と中性子の密度分布の最も一般的な形状は、球状、長球状、扁平楕円体状であり、極軸はスピン軸（またはスピン角運動量ベクトルの方向）であると想定されています。変形した原子核の形状は、陽子間の電磁反発、表面張力、量子 殻効果の競合の結果として発生します。

回転楕円体は3D 細胞培養でよく見られます。回転平衡回転楕円体には、マクローリン回転楕円体やヤコビ楕円体などがあります。 回転楕円体は考古学的遺物の形状でもあります。

扁平回転楕円体は、地球、土星、木星、高速で自転する恒星アルタイルなど、自転する惑星やその他の天体のおおよその形状です。土星は太陽系で最も扁平な惑星で、扁平率は 0.09796 です。詳細については、 惑星の扁平率と赤道の膨らみを参照してください。

啓蒙時代の科学者アイザック・ニュートンは、ジャン・リシェの振り子実験とクリスティアーン・ホイヘンスの理論に基づいて、木星と地球は遠心力により扁平な回転楕円体であると推論した。^{[5] [6]}地球の多様な地図作成および測地システムは、すべて扁平である 基準楕円体に基づいています。

長球形は、ラグビーボールなど、いくつかのスポーツのボールのおおよその形状です。

太陽系の衛星の中には、実際には三軸楕円体であるが、形状が長楕円体に近いものもいくつかある。例としては、土星の衛星ミマス、エンケラドゥス、テティス、天王星の衛星ミランダなどがある。

急速な自転によって扁平な回転楕円体に歪むのとは対照的に、天体は大質量天体の近軌道を周回する際に潮汐力によってわずかに長楕円体に歪む。最も極端な例は木星の衛星イオで、わずかな離心率によって軌道がわずかに長楕円体になったり短楕円体になったりして、激しい火山活動を引き起こす。この場合、長楕円体の主軸は衛星の極を通るのではなく、主衛星に直接面する赤道上の 2 つの点を通る。これが同期自転によるより小さな扁平歪みと組み合わさって、天体が三軸になる原因となる。

この用語は、かに星雲などのいくつかの星雲の形状を説明するためにも使用されます。^[7]フレネルゾーンは、宇宙での波の伝播と干渉を分析するために使用されるもので、送信機と受信機の間の直接視線に沿って主軸が一列に並んだ同心の長楕円体のシリーズです。

アクチノイド元素とランタノイド元素の原子核は長楕円体のような形をしています。 ^{[8]解剖学では、}精巣などの近似回転楕円体の器官は長軸と短軸で測定されることがあります。^[9]

多くの潜水艦は長楕円体と表現できる形状をしている。^[10]

均一な密度を持つ回転楕円体の場合、慣性モーメントは対称軸を追加した楕円体の慣性モーメントと同じになります。回転楕円体の主軸がc 、短軸がa = bであるとすると、これらの主軸に沿った慣性モーメントはC、A、Bです。ただし、回転楕円体では短軸は対称です。したがって、主軸に沿った慣性項は次のようになります。^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}A=B&={\tfrac {1}{5}}M\left(a^{2}+c^{2}\right),\\C&={\tfrac {1}{5}}M\left(a^{2}+b^{2}\right)={\tfrac {2}{5}}M\left(a^{2}\right),\end{aligned}}}$

ここでMは物体の質量であり、次のように定義される。

${\displaystyle M={\tfrac {4}{3}}\pi a^{2}c\rho .}$

• 楕円ドーム
• 赤道隆起
• 大楕円
• レントイド
• 扁平回転楕円体座標
• 卵形
• 長楕円体座標
• 軸の回転
• 軸の翻訳

• ウィキメディア・コモンズの球状体に関するメディア
• 「回転楕円体」 。ブリタニカ百科事典(第 11 版)。 1911年。