ヒンドゥー・アラビア数字システム

ヒンドゥー・アラビア数字システム（インド・アラビア数字システム、^[1] ヒンドゥー数字システム、アラビア数字システムとも呼ばれる）^{[2] [注 1]は、}整数を表すための位置ベースの 10 進数記数法です。これを非整数に拡張したものが10進数記数法であり、現在最も一般的な記数法です。

このシステムは、1世紀から4世紀の間にインドの数学者によって発明されました。9世紀までに、このシステムはアラビアの数学者によって採用され、分数も含めるように拡張されました。このシステムは、ペルシャの数学者アル・フワーリズミー^[3]（ 825年頃の『ヒンドゥー数字による計算について』）とアラブの数学者アル・キンディー（ 830年頃の『ヒンドゥー数字の使用について』）のアラビア語の著作を通じて広く知られるようになりました。このシステムは、中世盛期までに中世ヨーロッパに広まり、特に13世紀のフィボナッチの『算盤の書』に続きました。15世紀に印刷機が発明されるまで、ヨーロッパでこのシステムの使用は主に北イタリアに限られていました。^[4]

これは、0 から 9 までの数字を表す 10 個のグリフに基づいており、これらのグリフの一意のシーケンスによって任意の自然数を表すことができます。システムを表すために使用される記号 (グリフ) は、原則としてシステム自体とは独立しています。実際に使用されているグリフはブラーフミー数字から派生したもので、中世以来、さまざまな印刷上の変種に分かれてきました。

これらの記号セットは、大マグレブ諸国とヨーロッパで使用される西アラビア数字、中東で使用される東アラビア数字、インド亜大陸で使用されるさまざまな文字のインド数字の 3 つの主要なファミリーに分けられます。

西暦600年頃、インドと東南アジアのブラーフミー文字由来の文字による日付の表記に変化が始まり、異なる大きさの数字を別々の数字で表す加法表記から、1から9までの単一の文字セットとゼロの点を使用する位置による位取り表記へと変化し、その後数世紀にわたって徐々に加法表記の数字に取って代わっていった。^[5]

このシステムが中世のアラブ人とペルシャ人によって採用され、拡張されたとき、彼らはそれをal-ḥisāb al-hindī (「インドの算術」) と呼んだ。これらの数字は、おそらくアラブ商人によって伝えられ、10 世紀頃から徐々にヨーロッパで採用された。^[6]中世およびルネサンス期のヨーロッパの数学者は、一般的にこれをインド起源と認識していたが、^[7]いくつかの有力な情報源はこれをアラブ人によるものとし、最終的にヨーロッパでは一般に「アラビア数字」として知られるようになった。^{[8]いくつかの情報源によると、この数体系は、同じく}十進法の 位置付けの数字システムであった中国の商数字 (紀元前 1200 年) に由来している可能性がある。^[9]

ヒンドゥー・アラビア語システムは、10 進法の位置表記用に設計されています。より発展した形式では、位置表記では小数点記号(最初は 1 の位の上のマークでしたが、現在では 1 の位と 10 の位を分ける小数点または小数点コンマがより一般的になっています) と、「これらの数字は無限に繰り返される」という記号も使用されます。現代の用法では、この後者の記号は通常、ビンキュラム(繰り返される数字の上に置かれる水平線) です。このより発展した形式では、数字システムは13 個の記号 (10 の位、小数点記号、ビンキュラム、および負の数を示す先頭のマイナス記号)のみを使用して任意の有理数を表わすことができます。

一般的にはアラビア語のアルファベット（「アルファベット」）で書かれたテキストに見られますが、これらの数字で書かれた数字は最上位の数字が左側に配置されているため、左から右に読みます（ただし、数字は常に最上位から最下位の順序で発音されるわけではありません^[10]）。左から右への表記システムと右から左への表記システムが混在するテキストでは、必要な読み方向の変更が見られます。

ヒンドゥー・アラビア数字システムでは、数字を表すためにさまざまな記号セットが使用されていますが、そのほとんどはブラーフミー数字から発展したものです。

このシステムを表すために使用される記号は、中世以来、さまざまな印刷上の変種に分かれており、主に次の 3 つのグループに分類されています。

• 表のラテン文字、キリル文字、ギリシャ文字とともに広く使用されている西洋の「アラビア数字」は、アルアンダルスとマグリブで開発された「西洋アラビア数字」から派生したものです (西洋アラビア数字を表現するための 2 つの印刷スタイルがあり、ライニング数字とテキスト数字と呼ばれています)。
• アラビア文字で使用される「アラビア・インド数字」または「東方アラビア数字」は、主に現在のイラクで開発されました。^[要出典]東方アラビア数字の変形は、ペルシア語とウルドゥー語で使用されています。
• インドと東南アジアでブラーフミー系の文字で使用されるインドの数字。インドの主要な文字約 12 種類にはそれぞれ独自の数字グリフがあります (Unicode 文字表をよく読むとわかります)。

このシステムの基礎となっているブラーフミー数字は紀元前より古く、紀元前4世紀から使われていたカローシュティー数字に取って代わった。ブラーフミー数字とカローシュティー数字はマウリヤ朝時代には並行して使われ、紀元前3世紀のアショーカ王の勅令にも両方登場している。^[11]

紀元前300年頃の仏教の碑文には、1、4、6となる記号が使われています。1世紀後には、2、4、6、7、9となる記号の使用が記録されました。これらのブラーフミー数字は、ヒンドゥー教とアラビア語の1から9の象形文字の祖先ですが、ゼロのある位置のシステムとしては使われておらず、むしろ^{[説明が必要]} 、 10の位ごとに別々の数字（10、20、30など）が使われていました。

位置表記やゼロの使用を含む実際の数字体系は、原則として使用される文字とは独立しており、ブラーフミー数字よりもかなり新しいものです。

位取り記数法はバクシャーリー写本で使用されており、最も古い写本は放射性炭素年代測定により西暦224～383年のものとされている。^[12]位取り記数法の発展は、グプタ朝時代のインド数学に端を発する^[要説明] 。500年頃、天文学者のアーリヤバータは数字の表形式配列において「ゼロ」を記すために「 kha」（「空」）という言葉を使用した。7世紀のブラフマスプタ・シッダーンタには、ゼロの数学的役割に関する比較的進んだ理解が含まれている。失われた5世紀のプラークリット語ジャイナ教の宇宙論テキストであるローカヴィバーガのサンスクリット語訳には、ゼロの位取り記数法の初期の例が保存されている可能性がある。^[13]

ゼロの記号の使用を示す最初の日付が明記され、議論の余地のない碑文は、インドのグワリオルにあるチャトゥルブジャ寺院で発見された、西暦876年の石碑に刻まれています。 ^[14]

これらのインドの発展は8世紀にイスラムの数学に取り入れられ、アル・キフティの『学者の年表』（13世紀初頭）に記録されている。^[15]

10世紀のイスラム数学では、このシステムは分数を含むように拡張されました。これは、位置的小数について初めて記述したアッバース朝の数学者アブル・ハサン・アル・ウクリディシの論文に記録されています。 ^[16] JL バーグレンによれば、イスラム教徒は最初にこの記数法を拡張して単位の一部を小数で表したため、私たちと同じように数字を表した最初の人々でした。これはヒンズー教徒が成し遂げなかったことです。したがって、このシステムを「ヒンズー・アラビア」と呼ぶのはむしろ適切です。^{[17] [18]}

この記数法は、825年頃に『ヒンドゥー数字による計算について』を著したペルシャの数学者フラーリズミーと、830年頃に『ヒンドゥー数字の使用について』（كتاب في استعمال العداد الهندي [ kitāb fī isti'māl al-'adād al-hindī ]）を著したアラブの数学者アル＝キンディーの両者に知られるようになった。ペルシャの科学者クシュヤル・ギラーニが著した『Kitab fi usul hisab al-hind（ヒンドゥー計算の原理） 』は、ヒンドゥー数字を使用した現存する最古の写本の一つである。^[19]これらの本は、ヒンドゥー記数がイスラム世界全体に、そして最終的にはヨーロッパにも広まる主な要因となった。

キリスト教ヨーロッパにおいて、ヒンドゥー教とアラビア数字 (1 から 9 まで、ゼロなし) が初めて言及され、表記されたのは、西ゴート王国時代のスペインのさまざまな歴史文書を彩飾編集した『コーデックス・ヴィギラヌス(別名アルベルデンシス)』で、976 年にリオハのサン・マルティン・デ・アルベルダ修道院の 3 人の修道士によって書かれた。967年から969 年にかけて、オーリヤックのジェルベルトはカタルーニャの修道院でアラブ科学を発見し、研究した。後に彼はこれらの場所から『乗算と除算について』という本を入手した。999年に教皇シルウェステル 2 世となった後、彼は 1 から 9 までのヒンドゥー教とアラビア数字を表すトークンを採用して、いわゆる『ジェルベルトのそろばん』という新しいモデルのそろばんを導入した。

レオナルド・フィボナッチはこのシステムをヨーロッパに持ち込んだ。彼の著書『算盤の書』は、今日ではヒンドゥー・アラビア数字システムまたは10進法の位置記法として知られるインド人の方法（モダス・インドルム）と、ゼロの使用、小数点システムをラテン世界に紹介した。この数字システムはヨーロッパ人によって「アラビア数字」と呼ばれるようになった。12世紀からヨーロッパの数学で使用され、15世紀にはローマ数字に代わって一般的に使用されるようになった。^{[20] [21]}

現在ラテンアルファベットで使用されている西洋アラビア文字の馴染みのある形状 (0、1、2、3、4、5、6、7、8、9) は、15 世紀後半から 16 世紀前半の産物であり、初期の活字印刷に導入されました。イスラムの科学者はバビロニアの数字システムを使用し、商人はギリシャの数字システムやヘブライの数字システムに似たアブジャド数字システムを使用しました。同様に、フィボナッチがこのシステムをヨーロッパに導入したのは、学識のある人々に限られていました。一般大衆に十進法の位置表記法の広範な理解と使用を初めて確立したのは、ドイツルネサンスの著者アダム・リースです。リースが 1522 年に著した『線と羽ペンによる計算』は、ビジネスマンや職人の見習いを対象としていました。

• 
  グレゴール・ライシュ、マダム・アリスマティカ、1508
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  ローマ数字を使った算術計算に使われる計算表 [de]
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  アダム・リース、連邦政府の活動、1522
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  1514年に出版された2冊の算術書 –計算表を使用するケーベル（左）と数字を使用するベッシェンテイン
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  アダム・リース、『Rechenung auff der linihen und federn』（第 2 版）、1525 年
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  ロベルト・レコード、芸術の地、1543
• 
  ピーター・アピアン、カウフマンス・レクヌング、1527
• 
  アダム・リース、『Rechenung auff der linihen und federn』（第 2 版）、1525 年

西暦690年、武帝は則天文字を公布したが、その中の1つに「〇」があった。この言葉は現在、数字のゼロの同義語として使われている。

中国では、ゴータマ・シッダが718年にゼロを含むヒンドゥー数字を導入したが、中国の数学者たちは、すでに十進法の位置付けの計算棒を持っていたため、それを有用だとは思わなかった。^{[22] [23]}

中国の数字では、蘇州数字ではゼロを書くために丸（〇）が使われる。多くの歴史家は、 718年にゴータマ・シッダがインドの数字から輸入したと考えているが、一部の中国の学者は、それが中国のテキストの空白を埋める文字「□」から作られたと考えている。^[22]

中国と日本は19世紀にようやく数え棒を廃止し、ヒンドゥー・アラビア数字を採用した。

バロック時代以来ヨーロッパで一般的に使用されていた「西アラビア」数字は、ラテンアルファベットとともに二次的に世界中で使用され、ラテンアルファベットの同時代の普及をはるかに超えて、ヒンドゥーアラビア数字の他の変種が使用されていた地域の表記体系に侵入しただけでなく、中国語と日本語の表記と組み合わせて使用​​​​されました（中国語の数字、日本語の数字を参照）。

• 数学の歴史
• 数字システム

• クリスオマリス、スティーブン（2010）。数値表記法：比較史。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-87818-0。
• フレッグ、グラハム（1984年）。数字：その歴史と意味。ペンギン。ISBN 978-0-14-022564-8。
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2001) 「アラビア数字システム」MacTutor 数学史アーカイブセントアンドリュース大学。
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2000)。「インドの数字」。MacTutor 数学史アーカイブ。セントアンドリュース大学。
• スミス、デイビッド・ユージン、カルピンスキー、ルイス・チャールズ（1911年）。ヒンドゥー・アラビア数字。ボストン：ギン。

• メニンガー、カール W. (1969)。『数の言葉と数記号: 数の文化史』 MIT 出版。ISBN 0-262-13040-8。
• エドワード・クライヴ・ベイリー著「現代数字の系譜について」