航空機の飛行力学

ピッチ方向への短い入力（制御システム用語ではインパルス）（標準的な固定翼航空機では一般的にエレベーターを介して）は、通常、トリム状態からのオーバーシュートを引き起こします。この遷移は、新しいトリムを中心とした減衰単振動によって特徴づけられます。振動が減衰するまでの間、軌道にはほとんど変化がありません。

一般的に、この振動は高周波（したがって周期が短い）であり、数秒かけて減衰します。実際の例としては、パイロットが新しい上昇姿勢、例えば元の姿勢から機首を5度上げる姿勢を選択する場合が挙げられます。操縦桿を短く鋭く引くと、通常は新しいトリム状態を中心とした振動が発生します。振動の減衰が不十分な場合、航空機が新しい状態に落ち着くまでに長い時間がかかり、パイロット誘発振動につながる可能性があります。短周期モードが不安定な場合、パイロットが航空機を安全に制御することは一般的に不可能になります。

この減衰振動は短周期ピッチ振動と呼ばれ、安定した航空機が飛行方向を向こうとする傾向から生じます。ミサイルやロケットの構成における風見鶏モードと性質が非常によく似ています。この運動は主にピッチ姿勢に関係しています。${\displaystyle \theta }$（シータ）と発生率${\displaystyle \alpha }$（アルファ）。慣性軸に対する速度ベクトルの方向は${\displaystyle \theta -\alpha }$速度ベクトルは次のとおりです。

${\displaystyle u_{f}=U\cos(\theta -\alpha )}$

${\displaystyle w_{f}=U\sin(\theta -\alpha )}$

どこ${\displaystyle u_{f}}$、${\displaystyle w_{f}}$これらは慣性軸の速度成分です。ニュートンの第二法則によれば、加速度は力に比例するため、慣性軸の力は次のようになります。

${\displaystyle X_{f}=m{\frac {du_{f}}{dt}}=m{\frac {dU}{dt}}\cos(\theta -\alpha )-mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}\sin(\theta -\alpha )}$

${\displaystyle Z_{f}=m{\frac {dw_{f}}{dt}}=m{\frac {dU}{dt}}\sin(\theta -\alpha )+mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}\cos(\theta -\alpha )}$

ここでmは質量である。運動の性質上、速度の変化は${\displaystyle m{\frac {dU}{dt}}}$振動周期において無視できるほど小さいので、次のようになります。

${\displaystyle X_{f}=-mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}\sin(\theta -\alpha )}$

${\displaystyle Z_{f}=mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}\cos(\theta -\alpha )}$

しかし、力は物体にかかる圧力分布によって発生し、速度ベクトルに関係します。ただし、速度（風）軸は慣性座標系ではないため、固定軸の力を風軸に分解する必要があります。また、ここではz軸方向の力のみを考慮します。

${\displaystyle Z=-Z_{f}\cos(\theta -\alpha )+X_{f}\sin(\theta -\alpha )}$

または：

${\displaystyle Z=-mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}}$

言い換えれば、風の軸方向の力は向心加速度に等しい。

モーメント方程式は角運動量の時間微分である。

${\displaystyle M=B{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}}$

ここで、Mはピッチングモーメント、Bはピッチ軸周りの慣性モーメントである。${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=q}$ピッチレート。したがって、すべての力とモーメントを風軸に基準とした運動方程式は次のようになる。

${\displaystyle {\frac {d\alpha }{dt}}=q+{\frac {Z}{mU}}}$

${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {M}{B}}}$

我々は、状態の摂動による力とモーメントの摂動のみに関心がある。${\displaystyle \alpha }$およびq、ならびにそれらの時間微分。これらは、飛行条件から決定される安定性微分によって特徴付けられます。考えられる安定性微分は次のとおりです。

${\displaystyle Z_{\alpha }}$入射角による揚力は、z軸が下向きであるため負の値となり、正の入射角は上向きの力を発生させます。

${\displaystyle Z_{q}}$ピッチレートによる揚力は、尾翼迎角の増加から生じるため、負の値になりますが、それに比べると小さいです。${\displaystyle Z_{\alpha }}$。

${\displaystyle M_{\alpha }}$入射角によるピッチングモーメント― 静的安定性の項。静的安定性の条件は、この値が負であることである。

${\displaystyle M_{q}}$ 投球速度による投球モーメント - 投球減衰項。これは常に負の値になります。

尾翼は翼の流れ場内で動作するため、翼の迎角の変化はダウンウォッシュの変化を引き起こしますが、翼の流れ場の変化が尾翼の揚力に影響を与えるまでには遅延があり、これは迎角の変化率に比例するモーメントとして表されます。

${\displaystyle M_{\dot {\alpha }}}$

遅れたダウンウォッシュ効果により尾部に揚力が増し、機首を下げるモーメントが発生するため、${\displaystyle M_{\dot {\alpha }}}$マイナスになると予想される。

小さな摂動力とモーメントを考慮した運動方程式は次のようになる。

${\displaystyle {\frac {d\alpha }{dt}}=\left(1+{\frac {Z_{q}}{mU}}\right)q+{\frac {Z_{\alpha }}{mU}}\alpha }$

${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {M_{q}}{B}}q+{\frac {M_{\alpha }}{B}}\alpha +{\frac {M_{\dot {\alpha }}}{B}}{\dot {\alpha }}}$

これらは操作して、2 階線形微分方程式として得られる可能性がある。${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}-\left({\frac {Z_{\alpha }}{mU}}+{\frac {M_{q}}{B}}+(1+{\frac {Z_{q}}{mU}}){\frac {M_{\dot {\alpha }}}{B}}\right){\frac {d\alpha }{dt}}+\left({\frac {Z_{\alpha }}{mU}}{\frac {M_{q}}{B}}-{\frac {M_{\alpha }}{B}}(1+{\frac {Z_{q}}{mU}})\right)\alpha =0}$

これは減衰振動を伴う単振動を表しています。

私たちは期待すべきです${\displaystyle {\frac {Z_{q}}{mU}}}$1に比べて小さいので、係数は${\displaystyle \alpha }$（「剛性」項）は、以下の条件を満たす場合に正の値になります。${\displaystyle M_{\alpha }<{\frac {Z_{\alpha }}{mU}}M_{q}}$この表現は、${\displaystyle M_{\alpha }}$航空機の縦方向の静的安定性を定義するこの値は、安定性を保つためには負でなければなりません。減衰項はダウンウォッシュ効果によって減少するため、素早い自然応答と大きな減衰の両方を備えた航空機を設計することは困難です。通常、応答は減衰不足ですが安定しています。

操縦桿を固定したままにすると、航空機は水平飛行を維持できず（現在の高度と推力設定で水平飛行に完全にトリムされているという稀な場合を除く）、急降下、水平飛行、そして再び上昇を繰り返します。パイロットが介入するまで、このサイクルが繰り返されます。この速度と高度の長周期振動は、フゴイドモードと呼ばれます。これは、 SSPOが適切に機能し、迎角を公称値付近に維持していると仮定して解析されます。主に影響を受ける2つの状態は、飛行経路角です。${\displaystyle \gamma }$（ガンマ）と速度。運動の微小摂動方程式は次のとおりです。

${\displaystyle mU{\frac {d\gamma }{dt}}=-Z}$

つまり、向心力は揚力の摂動に等しいということである。

速度については、軌跡に沿って解を求めます。

${\displaystyle m{\frac {du}{dt}}=X-mg\gamma }$

ここで、g は地球表面における重力加速度です。軌道に沿った加速度は、正味の x 方向の力から重力の成分を引いたものに等しくなります。飛行経路の角度に大きく依存する空力誘導係数は期待できないため、${\displaystyle X_{u}}$そして${\displaystyle Z_{u}}$考慮する必要がある。${\displaystyle X_{u}}$速度が増加すると抗力は増加し、それは負になります。同様に、${\displaystyle Z_{u}}$速度増加による揚力増加は、揚力がz軸と逆方向に作用するため、負の値になります。

運動方程式は次のようになる。

${\displaystyle mU{\frac {d\gamma }{dt}}=-Z_{u}u}$

${\displaystyle m{\frac {du}{dt}}=X_{u}u-mg\gamma }$

これらは、飛行経路の角度または速度の摂動に関する2次方程式として表現できる。

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}-{\frac {X_{u}}{m}}{\frac {du}{dt}}-{\frac {Z_{u}g}{mU}}u=0}$

これで、持ち上げる力は重量とほぼ等しくなります。

${\displaystyle Z={\frac {1}{2}}\rho U^{2}c_{L}S_{w}=W}$

どこ${\displaystyle \rho }$空気密度は、${\displaystyle S_{w}}$は翼面積、Wは重量、${\displaystyle c_{L}}$は揚力係数（入射角が一定であるため一定と仮定）であり、近似的に次のようになる。

${\displaystyle Z_{u}={\frac {2W}{U}}={\frac {2mg}{U}}}$

フゴイドの周期Tは、uの係数から求められる。

${\displaystyle {\frac {2\pi }{T}}={\sqrt {\frac {2g^{2}}{U^{2}}}}}$

または：

${\displaystyle T={\frac {2\pi U}{{\sqrt {2}}g}}}$

揚力が抗力よりもはるかに大きいため、フゴイド曲線はせいぜいわずかに減衰する程度である。回転速度が一定のプロペラを使用すれば改善されるだろう。ピッチ回転の減衰が大きい場合や、回転慣性が大きい場合は、短周期モードとフゴイドモードの結合が強まり、フゴイド曲線が変化する。

運動方程式を導出する際には、技術者にとっては一種の数学的な手品とも言えるような、形式的な操作を用いるのが一般的である。本稿で紹介する手法は、ピッチ面解析に倣い、比較的馴染みのある概念を用いて方程式を定式化するものである。

ラダーペダルを介して衝撃を加えると、ダッチロールと呼ばれる現象が発生します。これは、ロールとヨーの振動であり、ロールの動きがヨーの動きより1/4サイクル遅れるため、翼端は機体に対して楕円軌道を描きます。

ピッチ面と同様に、ヨー面における並進運動の方程式は、向心加速度を横方向の力と等しいとしている。

${\displaystyle {\frac {d\beta }{dt}}={\frac {Y}{mU}}-r}$

どこ${\displaystyle \beta }$（beta）は横滑り角、Yは横力、rはヨーレートです。

モーメント方程式は少し複雑です。トリム条件は、航空機が気流に対して迎角をとっている状態です。機体の x 軸は、風軸の基準方向である速度ベクトルと一致しません。言い換えれば、風軸は主軸ではありません(質量はヨー軸とロール軸に対して対称に分布していません)。位置 -z、x にある質量要素が y 軸方向、つまり紙面に向かって運動する場合を考えてみましょう。

転がり速度をpとすると、粒子の速度は次のようになる。

${\displaystyle v=-pz+xr}$

この粒子にかかる力は2つの項から構成され、1つ目は速度vの変化率に比例する項、2つ目は物体が移動するにつれてこの速度成分の方向が変化することによる項です。後者の項は、後で無視される小さな量（pq、pr、qr）の積を生じさせます。この解析では、分かりやすさのために最初から無視します。実際には、ロールとヨーの同時変化による粒子の速度の方向は、運動全体を通して大きく変化しないと仮定します。この単純化された仮定により、粒子の加速度は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=-{\frac {dp}{dt}}z+{\frac {dr}{dt}}x}$

ヨーイングモーメントは次式で与えられる。

${\displaystyle \delta mx{\frac {dv}{dt}}=-{\frac {dp}{dt}}xz\delta m+{\frac {dr}{dt}}x^{2}\delta m}$

粒子がy方向にずれているため、追加のヨーモーメントが発生します。${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}y^{2}\delta m}$

ヨーイングモーメントは、物体のすべての粒子について合計することによって求められます。

${\displaystyle N=-{\frac {dp}{dt}}\int xzdm+{\frac {dr}{dt}}\int x^{2}+y^{2}dm=-E{\frac {dp}{dt}}+C{\frac {dr}{dt}}}$

ここで、Nはヨーモーメント、Eは慣性モーメントの積、Cはヨー軸周りの慣性モーメントである。同様の推論により、ロール方程式が得られる。

${\displaystyle L=A{\frac {dp}{dt}}-E{\frac {dr}{dt}}}$

ここで、Lはローリングモーメント、Aはローリング慣性モーメントである。

各州は${\displaystyle \beta }$（横滑り）、r（ヨーレート）、p（ロールレート）があり、モーメントはN（ヨー）、L（ロール）、力はY（横方向）です。この運動に関連する安定性導関数は9つあり、以下ではそれらがどのように発生するかを説明します。しかし、模型飛行機で遊んで、各コンポーネントにかかる力が横滑りと角速度の変化によってどのように影響を受けるかを考えることで、より直感的な理解が得られます。

${\displaystyle Y_{\beta }}$横滑りによる横方向の力（ヨーイングがない場合）。

横滑りは、垂直尾翼と胴体から横方向の力を発生させます。さらに、翼に上反角がある場合、正のロール角での横滑りは、右舷側の翼の迎角を増加させ、左舷側の迎角を減少させ、結果として横滑りの方向と正反対の正味の力成分が生じます。翼の後退角も迎角に同様の影響を与えますが、翼は垂直面内で傾斜していないため、後退角だけでは影響しません。${\displaystyle Y_{\beta }}$しかし、高性能航空機では、横滑りによる翼の迎角への影響を相殺するために、大きな後退角で下反角が使用されることがあります。奇妙なことに、これは翼構成の寄与の符号を反転させるものではありません。${\displaystyle Y_{\beta }}$（二面角の場合と比較した場合）

${\displaystyle Y_{p}}$ロールレートによる横方向の力。

ロール率によって垂直尾翼に迎角が生じ、それに応じて横方向の力が発生します。また、正のロール（右翼が下がる）は右翼の揚力を増加させ、左翼の揚力を減少させます。翼に上反角がある場合、結果として生じる横滑り傾向に一時的に抵抗する横方向の力が発生します。翼や水平尾翼に下反角がある場合、垂直尾翼の効果が打ち消されると、横方向の力の符号が反転することがあります。

${\displaystyle Y_{r}}$ヨーレートによる横方向の力。

ヨーイングは、方向舵、垂直尾翼、胴体への入射角によって横方向の力を発生させる。

${\displaystyle N_{\beta }}$横滑り力によるヨーイングモーメント。

ラダー操作がない状態での横滑りは、胴体と尾翼に迎角を生じさせ、ヨーイングモーメントを発生させます。このモーメントは、水平飛行状態では機首を風上に向けようとする方向剛性によってのみ相殺されます。${\displaystyle N_{\beta }}$方向舵を操作しなくても機首が横滑り方向に向く傾向があり、その結果、下降螺旋飛行を引き起こす。

${\displaystyle N_{p}}$ロールレートによるヨーイングモーメント。

ロールレートはフィンリフトを発生させ、ヨーイングモーメントを引き起こすとともに、翼の揚力を左右に変化させ、各翼の誘導抗力寄与に影響を与え、（小さな）ヨーイングモーメント寄与を引き起こします。正のロールは一般的に正のヨーイングモーメントを引き起こします。${\displaystyle N_{p}}$尾翼が下反角であるか、垂直尾翼がロール軸より下にある場合を除き、値は変化しません。上反角または下反角の翼の揚力差から生じる横方向の力成分は、${\displaystyle N_{p}}$翼軸は通常、重心とほぼ一致しているからである。

${\displaystyle N_{r}}$ヨーレートによるヨーモーメント。

あらゆるロール角におけるヨーレート入力は、ラダー、フィン、胴体の力ベクトルを生成し、これらが結果として生じるヨーモーメントを支配します。ヨーイングはまた、外側翼の速度を増加させると同時に内側翼の速度を低下させ、それに伴う抗力の変化によって（小さな）反対方向のヨーモーメントが発生します。${\displaystyle N_{r}}$機首を風上に向けようとする固有の方向剛性に抵抗し、常にヨーレート入力の符号と一致する。

${\displaystyle L_{\beta }}$横滑りによるローリングモーメント。

正の横滑り角は尾翼迎角を生じさせ、その形状によっては正または負のロールモーメントを引き起こす可能性があります。横滑り角がゼロでない場合、上反角翼はローリングモーメントを生じさせ、機体を水平に戻そうとします。後退角の大きい翼では、結果として生じるローリングモーメントがすべての安定性要件に対して過剰になる可能性があり、下反角を用いることで、翼後退角によって生じるローリングモーメントの影響を相殺することができます。

${\displaystyle L_{r}}$ヨーレートによるローリングモーメント。

ヨーイングは外側翼の速度を増加させると同時に内側翼の速度を減少させるため、内側へのローリングモーメントが発生します。通常、垂直尾翼はこの内側へのローリング効果を支えますが、ロール軸より上の水平尾翼に下反角（またはロール軸より下の垂直尾翼に上反角）を設けることで相殺されます。

${\displaystyle L_{p}}$ロールレートによるローリングモーメント。

ロールは右舷翼と左舷翼の両方に逆回転力を発生させ、同時に尾翼にも同様の力を発生させます。これらの反対方向のローリングモーメント効果は、ロールレートを維持するためにエルロン入力によって克服されなければなりません。ロールがゼロ以外のロール角で停止すると、${\displaystyle L_{\beta }}$続く横滑りによって生じる上向きのローリングモーメントは、下向きのモーメントが上回らない限り、航空機を水平に戻すはずである。${\displaystyle L_{r}}$横滑りによって生じるヨーレートに起因するローリングモーメント。この影響を最小限に抑えることで、縦方向の安定性を確保または向上させることができる。

ダッチロールは、短周期ピッチ振動に類似した操縦モードであるため、軌道への影響は無視できる。機体速度rは、横滑り角の変化率と旋回率から構成される。ダッチロールを研究するという限定的な目的のために、後者をゼロとし、軌道への影響がないと仮定する。

${\displaystyle {\frac {d\beta }{dt}}=-r}$

ヨー角とロール角の方程式は、安定性微分を用いて次のように表される。

${\displaystyle C{\frac {dr}{dt}}-E{\frac {dp}{dt}}=N_{\beta }\beta -N_{r}{\frac {d\beta }{dt}}+N_{p}p}$（あー）

${\displaystyle A{\frac {dp}{dt}}-E{\frac {dr}{dt}}=L_{\beta }\beta -L_{r}{\frac {d\beta }{dt}}+L_{p}p}$（ロール）

ロール加速度による慣性モーメントは空力項に比べて小さいと考えられるため、方程式は次のようになる。

${\displaystyle -C{\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}=N_{\beta }\beta -N_{r}{\frac {d\beta }{dt}}+N_{p}p}$

${\displaystyle E{\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}=L_{\beta }\beta -L_{r}{\frac {d\beta }{dt}}+L_{p}p}$

これは、ロールレートまたは横滑りのいずれかを支配する2次方程式となる。

${\displaystyle \left({\frac {N_{p}}{C}}{\frac {E}{A}}-{\frac {L_{p}}{A}}\right){\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}+\left({\frac {L_{p}}{A}}{\frac {N_{r}}{C}}-{\frac {N_{p}}{C}}{\frac {L_{r}}{A}}\right){\frac {d\beta }{dt}}-\left({\frac {L_{p}}{A}}{\frac {N_{\beta }}{C}}-{\frac {L_{\beta }}{A}}{\frac {N_{p}}{C}}\right)\beta =0}$

ロールレートの式は同じです。ただし、ロール角は、${\displaystyle \phi }$（φ）は次のように表されます。

${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}=p}$

pが減衰単振動である場合、${\displaystyle \phi }$ただし、ロールはロールレートと直交する必要があり、したがって横滑りとも直交する必要があります。この動きはロールとヨーの振動からなり、ロールの動きはヨーの動きより90度遅れます。翼端は楕円軌道を描きます。

安定性を確保するには、「剛性」と「減衰」の項が正である必要があります。これらは以下のとおりです。

${\displaystyle {\frac {{\frac {L_{p}}{A}}{\frac {N_{r}}{C}}-{\frac {N_{p}}{C}}{\frac {L_{r}}{A}}}{{\frac {N_{p}}{C}}{\frac {E}{A}}-{\frac {L_{p}}{A}}}}}$（減衰）

${\displaystyle {\frac {{\frac {L_{\beta }}{A}}{\frac {N_{p}}{C}}-{\frac {L_{p}}{A}}{\frac {N_{\beta }}{C}}}{{\frac {N_{p}}{C}}{\frac {E}{A}}-{\frac {L_{p}}{A}}}}}$ （硬さ）

分母は${\displaystyle L_{p}}$ロール減衰の微分値は常に負の値となるため、これら2つの式の分母は正の値になります。

「剛性」という用語を考慮すると：${\displaystyle -L_{p}N_{\beta }}$プラスになる理由は${\displaystyle L_{p}}$常に否定的で${\displaystyle N_{\beta }}$意図的にポジティブな設計になっている。 ${\displaystyle L_{\beta }}$通常は否定的だが、${\displaystyle N_{p}}$は正です。過度の二面角はダッチロールを不安定にする可能性があるため、後退角の大きい翼の構成では、翼後退角の影響を相殺するために下面角が必要です。${\displaystyle L_{\beta }}$。

減衰項は、ロール減衰とヨー減衰の微分値の積によって支配される。これらはどちらも負の値であるため、その積は正の値となる。したがって、ダッチロールは減衰されるべきである。

この動きには重心のわずかな横方向の動きが伴い、より「正確な」解析では、${\displaystyle Y_{\beta }}$など。安定性微分係数を計算できる精度を考えると、これは不必要な衒学であり、この記事の根本的な目的である航空機の形状と操縦性の関係を曖昧にするだけです。

スティックを横に急に動かして中央に戻すと、ロールの向きに全体的な変化が生じる。

ロール運動は自然安定性の欠如を特徴とし、慣性ロール角に応じてモーメントを生成する安定性微分は存在しない。ロール外乱はロールレートを誘発するが、これはパイロットまたはオートパイロットの介入によってのみ相殺される。これは横滑りまたはヨーレートのわずかな変化で起こるため、運動方程式は次のように簡略化される。

${\displaystyle A{\frac {dp}{dt}}=L_{p}p.}$

${\displaystyle L_{p}}$が負の値であるため、ロールレートは時間とともに減少します。ロールレートはゼロになりますが、ロール角を直接制御することはできません。

操縦桿を固定したまま、翼をほぼ水平にした状態から離陸すると、航空機は通常、直線飛行経路から徐々に片側に逸れていく傾向があります。これが（やや不安定な）スパイラルモードです。