安定性デリバティブ

安定性導関数および制御導関数は、安定性に関連する他のパラメータ（対気速度、高度、迎え角などのパラメータ）が変化すると、航空機にかかる特定の力とモーメントがどのように変化するかを測定するものです。定義された「トリム」飛行条件では、これらのパラメータに変化と振動が発生します。 これらの変化と振動を分析するには、運動方程式を使用します。安定性導関数と制御導関数は、これらの運動方程式を線形化（簡略化）して、車両の安定性をより簡単に分析するために使用されます。

安定性と制御の導関数は、飛行条件が変化すると変化します。さまざまな飛行条件で変化する安定性と制御の導関数の集合は、航空モデルと呼ばれます。航空モデルは、安定性を分析するためのエンジニアリングフライト シミュレータや、トレーニングや娯楽用のリアルタイム フライト シミュレータ で使用されます。

安定性導関数と制御導関数は、他のパラメータが変化するときに車両にかかる力とモーメントを測定するため、関連しています。これらの単語はしばしば一緒に使用され、「S&C 導関数」という用語に省略されます。安定性導関数は飛行条件の変化の影響を測定しますが、制御導関数は操縦翼面の位置の変化の影響を測定するという点で異なります。

安定性導関数

迎え角、対気速度、高度などの飛行条件パラメータに小さな変化があったときに、車両に作用する力またはモーメントにどの程度の変化が生じるかを測定します。（このようなパラメータは「状態」と呼ばれます。）

制御派生語

エルロン、エレベーター、ラダーなどの操縦面の偏向に小さな変化があったときに、車両に作用する力またはモーメントにどの程度の変化が生じるかを測定します。

安定性と制御の導関数は、飛行条件が変化すると変化します。つまり、機体にかかる力とモーメントは、その状態の単純な (線形) 関数になることはほとんどありません。このため、大気圏内飛行体のダイナミクスを分析することは困難です。この複雑さに対処するために、次の 2 つの方法が使用されます。

安定した飛行条件に関する小さな振動

分析を簡素化する方法の 1 つは、安定した飛行条件に関する小さな振動のみを考慮することです。飛行条件のセット (高度、対気速度、迎え角など) は、安定していて変化しない場合は「トリム」条件と呼ばれます。飛行条件が安定している場合、安定性と制御の導関数は一定であり、数学的に分析しやすくなります。単一の飛行条件セットでの分析は、さまざまな飛行条件に適用されます。

安定性解析用シミュレータへの応用

フライト シミュレータでは、状況の変化に応じて、安定性と制御の導関数の新しい値を「調べる」ことができます。そのため、「線形近似」はそれほど大きくなく、より広範囲の飛行状況にまたがる操縦で安定性を評価できます。このような分析に使用されるフライト シミュレータは、「エンジニアリング シミュレータ」と呼ばれます。安定性と制御の導関数の値のセット (さまざまな飛行状況で変化するもの) は、航空モデルと呼ばれます。

エンジニアリング シミュレーターに加えて、航空モデルは、家庭用やプロの飛行訓練用の リアルタイム フライト シミュレーターでもよく使用されます。

航空機は、安定性の分析に使用される重要なパラメータを指定するために、軸の座標系を使用します。すべての軸は重心(「CG」と呼ばれる) を通ります。

• 「X」軸または「x」軸は、ロール軸と呼ばれる、ボディに沿って後ろから前へ走ります。
• 「Y」軸または「y」軸は翼に沿って左から右に走り、ピッチ軸と呼ばれます。
• 「Z」または「z」は上から下に走り、ヨー軸と呼ばれます。

状況に応じて、これらの軸のわずかに異なる 2 つの配置、「ボディ固定軸」と「安定軸」が使用されます。

車体固定軸、または「車体軸」は、車両の車体に対して定義され固定されます。: ^[1]

• X ボディ軸は車体に沿って配置され、通常は通常の動作方向に対して正になります。
• Y ボディ軸は、X ボディ軸に対して直角で、車両の翼に沿って配置されます。翼がない場合 (ミサイルなど) は、「水平」方向が便利な方法で定義されます。Y ボディ軸は通常、車両の右側が正とみなされます。
• Z ボディ軸は翼ボディ (XY) 平面に垂直で、通常は下向きになります。

航空機（通常はミサイルではない）は、名目上一定の「トリム」 迎え角で飛行する。機首の角度（X軸）は、接近する気流の方向とは一致しない。これらの方向の差が迎え角である。そのため、多くの目的において、パラメータは「安定軸」と呼ばれるわずかに修正された軸システムによって定義される。安定軸システムは、X軸を接近する気流の方向に合わせるために使用される。基本的に、機体軸システムは、トリム迎え角によってY機体軸を中心に回転し、その後、航空機の機体に「再固定」される：^[1]

• X 安定軸は、定常飛行時に、接近する空気の方向に揃います。(横滑りがある場合は、X 軸と Z 軸によって形成される平面に投影されます。)
• Y 安定軸はY ボディ固定軸と同じです。
• Z 安定軸は、X 安定軸と Yボディ軸によって形成される平面に対して垂直です。

車体の軸に沿って車両に作用する力は「車体軸力」と呼ばれます。

• XまたはF _Xは、X軸に沿った車両にかかる力を示すために使用されます。
• YまたはF _Yは、Y軸に沿った車両にかかる力を示すために使用されます。
• ZまたはF _Zは、Z軸に沿った車両にかかる力を示すために使用されます。
• u（小文字）は、Xボディ軸に沿った流れの速度を表すために使用されます。
• v（小文字）は、Yボディ軸に沿った流れの速度を表すために使用されます。
• w（小文字）は、Zボディ軸に沿った流れの速度を表すために使用されます。

これらの速度は、流体に対する車両の並進運動という観点ではなく、相対的な風のベクトルを 3 つのボディ軸に投影したものと考えると分かりやすいです。ボディが相対的な風の方向に対して回転すると、速度に実質的な変化がない場合でも、これらの成分は変化します。

• L は、X 軸周りの「ローリングモーメント」を示すために使用されます。X ボディ軸周りのものか、X 安定軸周りのものかは、コンテキスト (下付き文字など) によって異なります。
• M は、Y 軸周りの「ピッチングモーメント」の名前を示すために使用されます。
• N は、Z 軸周りの「ヨーイングモーメント」の名前を示すために使用されます。Z ボディ軸周りのものか、Z 安定軸周りのものかは、コンテキスト (下付き文字など) によって異なります。
• 「P」または「p」は、X 軸周りの角速度 (「ロール軸周りのロール速度」) に使用されます。X ボディ軸の周りか X 安定軸の周りかは、コンテキスト (下付き文字など) によって異なります。
• 「Q」または「q」は、Y 軸周りの角速度 (「ピッチ軸周りのピッチ速度」) に使用されます。
• 「R」または「r」は、Z 軸周りの角速度 (「ヨー軸周りのヨー速度」) に使用されます。Z ボディ軸の周りか Z 安定軸の周りかは、コンテキスト (下付き文字など) によって異なります。

安定性導関数の使用は、ミサイルやロケットの構成で最も簡単に実証できます。これは、これらの構成が飛行機よりも対称性が高く、それに応じて運動方程式が単純になるためです。車両がロール制御されていると仮定すると、ピッチとヨーの運動は個別に扱うことができます。ヨー平面を考慮するのが一般的であるため、2D 運動のみを考慮する必要があります。さらに、推力は抗力に等しいと仮定し、縦方向の運動方程式は無視できます。

物体は慣性軸に対して角度 (psi) で向いています。物体は速度ベクトルに対して角度 (beta) で向いているので、物体軸の速度成分は次のようになります。 ${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \beta}$

${\displaystyle u=U\cos \beta }$

${\displaystyle v=U\sin \beta }$

速度は どこですか。${\displaystyle U}$

空気力は、慣性フレームではない機体軸を基準にして生成されます。動きを計算するには、力を慣性軸に関連付ける必要があります。そのためには、機体の速度成分を機首方位角を通して慣性軸に分解する必要があります。 ${\displaystyle (\beta )}$

固定（慣性）軸に分解する：

${\displaystyle u_{f}=U\cos(\beta )\cos(\psi )-U\sin(\beta )\sin(\psi )=U\cos(\beta +\psi )}$

${\displaystyle v_{f}=U\sin(\beta )\cos(\psi )+U\cos(\beta )\sin(\psi )=U\sin(\beta +\psi )}$

慣性軸に対する加速度は、速度のこれらの成分を時間に関して微分することによって求められます。

${\displaystyle {\frac {du_{f}}{dt}}={\frac {dU}{dt}}\cos(\beta +\psi )-U{\frac {d(\beta +\psi ) }{dt}}\sin(\beta +\psi )}$

${\displaystyle {\frac {dv_{f}}{dt}}={\frac {dU}{dt}}\sin(\beta +\psi )+U{\frac {d(\beta +\psi ) }{dt}}\cos(\beta +\psi )}$

ニュートンの運動の第二法則から、これは作用する力を質量で割ったものに等しくなります。力は物体上の圧力分布から発生するため、慣性軸ではなく物体軸で生成されます。そのため、ニュートンの運動の第二法則は最も単純な形では加速参照系には適用されないため、物体力は慣性軸に分解する必要があります。

物体の力を解析する:

${\displaystyle X_{f}=X\cos(\psi )-Y\sin(\psi )}$

${\displaystyle Y_{f}=Y\cos(\psi )+X\sin(\psi )}$

ニュートンの第二法則（質量が一定であると仮定）:

${\displaystyle X_{f}=m{\frac {du_{f}}{dt}}}$

${\displaystyle Y_{f}=m{\frac {dv_{f}}{dt}}}$

ここで、m は 質量です。加速度と力の慣性値を等しくし、体軸に戻すと、運動方程式が得られます。

${\displaystyle X=m{\frac {dU}{dt}}\cos(\beta )-mU{\frac {d(\beta +\psi )}{dt}}\sin(\beta )}$

${\displaystyle Y=m{\frac {dU}{dt}}\sin(\beta )+mU{\frac {d(\beta +\psi )}{dt}}\cos(\beta )}$

横滑りは小さな量なので、運動の 微小摂動方程式は次のようになります。${\displaystyle \beta}$

${\displaystyle X=m{\frac {dU}{dt}}}$

${\displaystyle Y=mU{\frac {d(\beta +\psi )}{dt}}}$

最初の式はニュートンの運動の第二法則の通常の表現に似ていますが、2 番目の式は本質的に遠心加速度です。物体の回転を支配する運動方程式は、角運動量の時間微分から導かれます。

${\displaystyle N=C{\frac {d^{2}\psi }{dt^{2}}}}$

ここで、C はヨー軸の慣性モーメントです。速度が一定であると仮定すると、状態変数は と の 2 つだけであり、これらはより簡潔にヨーレート r と表されます。力とモーメントは 1 つずつあり、特定の飛行条件では、それぞれ、r およびそれらの時間微分の関数になります。一般的なミサイル構成では、力とモーメントは短期的にはおよび r に依存します。力は次の形式で表すことができます。 ${\displaystyle \beta}$${\displaystyle {\frac {d\psi }{dt}}}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \beta}$

${\displaystyle Y=Y_{0}+{\frac {\partial Y}{\partial \beta }}\beta +{\frac {\partial Y}{\partial r}}r}$

ここで、 は安定性が調査されている 平衡状態（通常トリムと呼ばれる）に対応する力です。一般的には、次のように省略して表します。${\displaystyle Y_{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial \beta }}=Y_{\beta }}$

状態変数の増加による力とモーメントの増加を特徴付ける偏微分および類似の項はすべて、安定性微分と呼ばれます。通常、ミサイルの 構成では は重要ではないため、運動方程式は次のように簡略化されます。 ${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial \beta }}}$${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial r}}}$

${\displaystyle {\frac {d\beta }{dt}}={\frac {Y_{\beta }}{mU}}\beta -r}$

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}={\frac {N_{\beta }}{C}}\beta +{\frac {N_{r}}{C}}r}$

各安定性導関数は、ミサイル部品の位置、サイズ、形状、方向によって決まります。航空機では、方向安定性によって主翼の上反り角、垂直尾翼のサイズ、尾翼の面積などの特徴が決まりますが、重要な安定性導関数が多数含まれるため、この記事では詳細に説明できません。ミサイルは 3 つの安定性導関数のみで特徴付けられるため、より複雑な航空機の力学を理解する上で役立ちます。

まず、迎え角にある物体は、物体の運動と反対方向に揚力を発生させます。このため、は常に負になります。 ${\displaystyle Y_{\beta}}$ ${\displaystyle \beta}$${\displaystyle Y_{\beta}}$

低い迎え角では、揚力は主に翼、安定板、機体先端部によって生成される。全揚力は重心の前方の距離で作用し（図では負の値になっている）、ミサイル用語ではこれを圧力中心と呼ぶ。揚力が重心より前方に作用する場合、ヨーイング モーメントは負になり、迎え角を大きくする傾向があり、揚力とモーメントの両方がさらに増加する。したがって、静的安定性のためには圧力中心が重心の後方にある必要がある。 は静的マージンであり、縦 方向の静的安定性のためには負でなければならない。あるいは、正の迎え角は静的に安定したミサイル上で正のヨーイング モーメントを生成する必要がある、つまり は正でなければならない。操縦可能なミサイルを静的マージンがほぼゼロ（つまり静的安定性が中立）になるように設計するのが一般的な方法である。 ${\displaystyle x_{cp}}$${\displaystyle x_{cp}}$${\displaystyle N_{\beta}}$

ポジティブさの必要性は、矢やダーツに飛行部があり、誘導されていないロケットにフィンがある理由を説明しています。 ${\displaystyle N_{\beta}}$

角速度の影響は主に機首の揚力を減らし、尾部の揚力を増やすことであり、どちらもある意味では回転に対抗する働きをします。 したがって、は常に負です。翼からの寄与がありますが、ミサイルは静的余裕が小さい傾向があるため（通常、口径未満）、これは通常小さいです。また、フィンの寄与は機首の寄与よりも大きいため、正味の力 がありますが、これは通常 と比較すると重要ではなく、無視されることがよくあります。 ${\displaystyle N_{r}}$${\displaystyle Y_{r}}$${\displaystyle Y_{\beta}}$

運動方程式を操作すると、迎え角に関する2次同次線型微分方程式が得られます。 ${\displaystyle \beta}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}-\left({\frac {Y_{\beta }}{mU}}+{\frac {N_{r}}{C}}\right){\frac {d\beta }{dt}}+\left({\frac {N_{\beta }}{C}}+{\frac {Y_{\beta }}{mU}}{\frac {N_{r}}{C}}\right)\beta =0}$

この方程式の定性的な動作は、方向安定性に関する記事で考察されています。と は両方とも負なので、減衰は正です。剛性は静的安定性項 だけに依存するのではなく、機体の回転による迎え角を効果的に決定する項も含んでいます。この項を含む、重心より前方の揚力中心までの距離は、操縦余裕と呼ばれます。安定性のためには、操縦余裕は負でなければなりません。 ${\displaystyle Y_{\beta }}$${\displaystyle N_{r}}$${\displaystyle N_{\beta }}$

外乱に続く迎え角とヨーレートのこの減衰振動は、風見鶏が風に逆らって向く傾向にちなんで「風見鶏」モードと呼ばれます。

状態変数として迎え角とヨーレート r が選択され、速度摂動 u と、関連する導関数 eg は省略されています。これは恣意的に見えるかもしれません。しかし、速度変化の時間スケールは迎え角の変化の時間スケールよりもはるかに大きいため、車両の方向安定性に関する限り、その影響は無視できます。同様に、ロールがヨーイング運動に与える影響も無視されています。これは、ミサイルは一般にアスペクト比が低い構成であり、ロール慣性はヨー慣性よりもはるかに小さいため、ロールループはヨー応答よりもはるかに高速になると予想され、無視されるためです。事前の知識に基づく問題のこれらの単純化は、エンジニアのアプローチを表しています。数学者は、問題をできるだけ一般的なままにして、単純化するとしても、分析の最後にのみ単純化することを好みます。 ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle Y_{u}}$

航空機の力学はミサイルの力学よりも複雑です。主な理由は、高速モードと低速モードの分離やピッチとヨー運動の類似性などの単純化が運動方程式からは明らかではなく、結果的に分析の後の段階まで延期されるためです。亜音速輸送機はアスペクト比が高い構成であるため、ヨーとロールを切り離して扱うことはできません。ただし、これは程度の問題に過ぎません。航空機の力学を理解するために必要な基本的な考え方は、このより単純なミサイル運動の分析でカバーされています。

操縦翼面のたわみにより、機体にかかる圧力分布が変化しますが、これは操縦翼面のたわみによる力とモーメントの変動を考慮することで対処します。フィンのたわみは通常(ゼータ) で表されます。これらの項を含めると、運動方程式は次のようになります。 ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle {\frac {d\beta }{dt}}={\frac {Y_{\beta }}{mU}}\beta -r+{\frac {Y_{\zeta }}{mU}}\zeta }$

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}={\frac {N_{\beta }}{C}}\beta +{\frac {N_{r}}{C}}r+{\frac {N_{\zeta }}{C}}\zeta }$

制御導関数を含めると、車両の応答を研究し、自動操縦装置の設計に使用する運動方程式を研究できるようになります。

• C _{Lは${\displaystyle \beta }$}二面角効果と呼ばれ、横滑り角の変化に伴うローリングモーメントの変化を測定する安定性導関数です。「L」はローリングモーメントを示し、 は横滑り角を示します。${\displaystyle \beta }$

• 縦方向の静的安定性
• 中立点
• 空力センター
• 飛行力学
• 方向安定性

• バビスター AW:航空機の動的安定性と応答エルセバー 1980、ISBN 0-08-024768-7 
• フリードランド B:制御システム設計。McGraw-Hill Book Company 1987 年。ISBN 0-07-100420-3 
• Roskam Jan:飛行機の飛行力学と自動飛行制御。Roskam Aviation and Engineering Corporation 1979 年。第 2 刷 1982 年。米国議会図書館カタログ カード番号: 78-31382。