ヤン＝ミルズ理論

ヤン＝ミルズ理論は、 1953年にチェン・ニン・ヤンとロバート・ミルズによって考案された原子核結合の量子場理論であり、同様の理論のクラスの総称でもある。ヤン＝ミルズ理論は、特殊ユニタリ群SU( n )、またはより一般的には任意のコンパクトリー群に基づくゲージ理論である。ヤン＝ミルズ理論は、これらの非可換リー群を使用して素粒子の挙動を記述しようとし、電磁力と弱い力の統一（すなわち、U(1) × SU(2)）および強い力の理論である量子色力学（ SU(3)に基づく）の中核となっている。したがって、それは素粒子物理学の 標準モデルの理解の基礎を形成している。

既知の基本的な相互作用はすべてゲージ理論で記述できるが、これを解明するには数十年を要した。^[2] ヘルマン・ワイルのこのプロジェクトにおける先駆的な研究は、同僚のエミー・ネーターがすべての保存される物理量には対応する対称性があることを証明した1915年に始まり、1928年に彼が対称性の幾何学理論（群論）を量子力学に適用した本を出版して最高潮に達した。^{[  3]ワイルは、}鉄道のゲージにおける距離の標準化に倣って、ネーターの定理の関連する対称性を「ゲージ対称性」と名付けた。

エルヴィン・シュレーディンガーは、1922年、つまり方程式に取り組む3年前に、ワイルの群の概念を電子の電荷に結び付けました。シュレーディンガーは、群が電荷保存則に一致する電磁場の位相シフトを生み出すことを示し^{[3]ました。198} 1930年代と1940年代に量子電気力学の理論が発展するにつれて、群の変換が中心的な役割を果たしました。多くの物理学者は、核子の力学に類似物があるはずだと考えました。 特に 陳寧楊はこの可能性に夢中になりました。${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle e^{i\theta }}$${\displaystyle U(1)}$

ヤンの中心的なアイデアは、電荷に相当する原子物理学の保存量を探し、それを使って電気力学に相当するゲージ理論を開発することだった。彼は中性子と陽子を区別する量子数であるアイソスピンの保存に落ち着いたが、理論は進展しなかった。 ^{[3] : 200} 1953年の夏、プリンストンを休学していたヤンは、協力できそうな協力者、ロバート・ミルズに出会った。ミルズ自身は次のように述べている。

「1953年から1954年にかけて、ヤンはブルックヘブン国立研究所を訪問しました。私もブルックヘブンにいました。ヤンと同じオフィスに配属されました。物理学者のキャリアをスタートさせたばかりの人たちに何度も寛大な心を示してきたヤンは、ゲージ不変性を一般化するというアイデアを私に話し、私たちはそれについてかなり長い時間議論しました。私は、特に量子化手順に関して、また形式論の解明に少し貢献することができました。しかし、主要なアイデアはヤンのものでした。」^[4]

1953 年夏、ヤンとミルズは、量子電磁力学などのアーベル群に対するゲージ理論の概念を非アーベル群に拡張し、SU(2)群を選択して、強い相互作用を伴う衝突におけるアイソスピンの保存を説明した。1954 年 2 月にプリンストンで行われたヤンの研究発表に対して、パウリはゲージ不変性の考え方で展開された場の質量について質問し、異議を唱えた。^{[3] : 202}パウリは、ゲージ不変性の適用に取り組んでいたため、これが問題になる可能性があることを知っていたものの、理論の質量のない励起を「非物理的な「影の粒子」」と見なし、それを発表しないことにした。^{[2] : 13}ヤンとミルズは 1954 年 10 月に発表した。論文の終わり近くで、彼らは次のように認めている。

次に量子の質量の問題に移りますが、これには満足のいく答えがありません。^[5]${\displaystyle b}$

この非物理的な質量ゼロ励起の問題はさらなる進歩を妨げた。^[3]

この考えは、1960年にジェフリー・ゴールドストーン、南部陽一郎、ジョバンニ・ジョナ・ラシニオによって、質量のない理論で対称性の破れを通じて粒子が質量を獲得するという概念が提唱されるまで放置されていました。これにより、ヤン・ミルズ理論の研究が大幅に再開され、電弱統一理論と量子色力学（QCD）の両方の定式化に成功したことが証明されました。電弱相互作用はゲージ群SU(2) × U(1)によって記述され、QCDはSU(3)ヤン・ミルズ理論です。電弱SU(2) × U(1)の質量のないゲージボソンは、自発的な対称性の破れの後に混合され、弱い相互作用の3つの質量のあるボソンを生成します（
わ⁺
、
わ⁻
、 そして
ず⁰
) と、まだ質量のない光子場の両方が存在する。光子場のダイナミクスと物質との相互作用は、量子電磁力学のU(1)ゲージ理論によって支配される。標準モデルは、対称群SU(3) × SU(2) × U(1)を介して、強い相互作用と統一電弱相互作用 (弱い相互作用と電磁相互作用を統一)を組み合わせます。現在の時代では、強い相互作用は電弱相互作用と統一されていませんが、観測された結合定数の変化から、非常に高いエネルギーではすべて単一の値に収束すると 考えられています^{[要出典] 。}

量子色力学における低エネルギーでの現象論は、強い結合を伴う理論を扱うことが難しいため、完全には理解されていません。これが、閉じ込めが一貫した実験的観察であるにもかかわらず、理論的に証明されていない理由かもしれません。これは、低エネルギーでの QCD 閉じ込めが非常に重要な数学的問題である理由と、ヤン・ミルズの存在と質量ギャップの問題がミレニアム賞問題である理由を示しています。

1953年、ヴォルフガング・パウリは私信の中で、カルツァ、クライン、フォックらの5次元理論を高次元内部空間に拡張し、アインシュタインの一般相対性理論の場の方程式の6次元理論を定式化した。 ^{[6]しかし、パウリが}ゲージ場のラグランジアンやその量子化を開発したという証拠はない。パウリは自分の理論が「かなり非物理的な影の粒子につながる」と感じたため、結果を正式に発表することを控えた。^[6]パウリは6次元理論を公表しなかったが、1953年11月にチューリッヒでそれに関するセミナー講義を2回行った。^[6]

1954年1月、ケンブリッジ大学の大学院生ロナルド・ショーも核力の非アーベルゲージ理論を開発した。^{[7]しかし、この理論は}ゲージ不変性 を維持するために質量のない粒子を必要とした。当時そのような質量のない粒子は知られていなかったため、ショーと指導教官のアブドゥス・サラムは研究成果を公表しないことにした。^[7] ヤンとミルズが1954年10月に論文を発表した直後、サラムはショーに彼の貢献を記念して研究成果を公表するよう勧めた。ショーは断り、代わりに1956年に発表された博士論文の1章となった。^{[8] [9]}

ヤン＝ミルズ理論は、ラグランジアンによって与えられる非可換対称群を持つゲージ理論の特別な例である。

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {gf} }=-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} (F^{2})=-{\tfrac {1}{4}}F^{a\mu \nu }F_{\mu \nu }^{a}\ }$

リー代数の生成元はaで添え字が付けられ、 F量（曲率または場の強度形式） が次を満たす。${\displaystyle \ T^{a}\ }$

${\displaystyle \ \operatorname {tr} \left(T^{a}\ T^{b}\right)={\tfrac {1}{2}}\delta ^{ab}\ ,\qquad \left[T^{a},\ T^{b}\right]=i\ f^{abc}\ T^{c}~.}$

ここで、f  ^abcはリー代数の構造定数（リー代数の生成元がに比例するように正規化されている場合は完全に反対称）であり、共変微分は次のように定義される。 ${\displaystyle \ \operatorname {tr} (T^{a}\ T^{b})\ }$${\displaystyle \ \delta ^{ab}\ }$

${\displaystyle \ D_{\mu }=I\ \partial _{\mu }-i\ g\ T^{a}\ A_{\mu }^{a}\ ,}$

Iは単位行列（生成子のサイズに一致）、はベクトルポテンシャル、gは結合定数です。4次元では、結合定数gは純粋な数であり、SU( n )群では次のようになります。${\displaystyle \ A_{\mu }^{a}\ }$${\displaystyle \ a,b,c=1\ldots n^{2}-1~.}$

関係

${\displaystyle \ F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+g\ f^{abc}\ A_{\mu }^{b}\ A_{\nu }^{c}\ }$

交換子によって導かれる

${\displaystyle \ \left[D_{\mu },D_{\nu }\right]=-i\ g\ T^{a}\ F_{\mu \nu }^{a}~.}$

この場は自己相互作用する性質を持ち、得られる運動方程式は半線形であると言われます。これは、非線形性が微分の有無の両方であるためです。これは、この理論を小さな非線形性を持つ摂動論によってのみ扱うことができることを意味します。^{[引用が必要]}

「上側」（「反変」）と「下側」（「共変」）のベクトルまたはテンソル成分間の遷移は、インデックス（例）については自明であるが、 μとνについては、例えば通常のローレンツシグネチャに対応して、非自明であることに注意する。${\displaystyle \ f^{abc}=f_{abc}\ }$${\displaystyle \ \eta _{\mu \nu }={\rm {diag}}(+---)~.}$

与えられたラグランジアンから、次に示す運動方程式を導くことができる。

${\displaystyle \ \partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+g\ f^{abc}\ A^{\mu b}\ F_{\mu \nu }^{c}=0~.}$

これらを次のように 書き直すと、${\displaystyle \ F_{\mu \nu }=T^{a}F_{\mu \nu }^{a}\ ,}$

${\displaystyle \ \left(D^{\mu }F_{\mu \nu }\right)^{a}=0~.}$

ビアンキのアイデンティティは

${\displaystyle \ \left(D_{\mu }\ F_{\nu \kappa }\right)^{a}+\left(D_{\kappa }\ F_{\mu \nu }\right)^{a}+\left(D_{\nu }\ F_{\kappa \mu }\right)^{a}=0\ }$

これはヤコビ恒等式と同等である

${\displaystyle \ \left[D_{\mu },\left[D_{\nu },D_{\kappa }\right]\right]+\left[D_{\kappa },\left[D_{\mu },D_{\nu }\right]\right]+\left[D_{\nu },\left[D_{\kappa },D_{\mu }\right]\right]=0\ }$

双対強度テンソルを 定義すると、ビアンキ恒等式は次のように書き直すことができる。 ${\displaystyle \ \left[D_{\mu },F_{\nu \kappa }^{a}\right]=D_{\mu }\ F_{\nu \kappa }^{a}~.}$${\displaystyle \ {\tilde {F}}^{\mu \nu }={\tfrac {1}{2}}\varepsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }\ ,}$

${\displaystyle \ D_{\mu }{\tilde {F}}^{\mu \nu }=0~.}$

源は運動方程式に次のように入ります。 ${\displaystyle \ J_{\mu }^{a}\ }$

${\displaystyle \ \partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+g\ f^{abc}\ A^{b\mu }\ F_{\mu \nu }^{c}=-J_{\nu }^{a}~.}$

ゲージ群変換により電流が適切に変化する必要があることに注意してください。

ここでは、結合の物理的次元についていくつかコメントします。D次元では、場は のようにスケールし、したがって結合は のようにスケールする必要があります。これは、ヤン・ミルズ理論が4 より大きい次元では繰り込み不可能であることを意味します。さらに、 D = 4の場合、結合は無次元であり、場と結合の 2 乗はどちらも場の次元と質量のない 4 次スカラー場理論の結合と同じです。したがって、これらの理論は古典レベルで スケール不変性を共有しています。${\displaystyle \ \left[A\right]=\left[L^{\left({\tfrac {2-D}{2}}\right)}\right]\ }$${\displaystyle \ \left[g^{2}\right]=\left[L^{\left(D-4\right)}\right]~.}$

ヤン＝ミルズ理論を量子化する方法として、関数法、すなわち経路積分がある。n点関数 の生成関数を次のように導入する。

${\displaystyle \ Z[j]=\int [\mathrm {d} A]\ \exp \left[-{\tfrac {i}{2}}\int \mathrm {d} ^{4}x\ \operatorname {tr} \left(F^{\mu \nu }\ F_{\mu \nu }\right)+i\ \int \mathrm {d} ^{4}x\ j_{\mu }^{a}(x)\ A^{a\mu }(x)\right]\ ,}$

しかし、この積分は、ゲージ自由度によりポテンシャルベクトルを任意に選択できるため、そのままでは意味がありません。この問題は量子電磁力学ではすでに知られていましたが、ゲージ群の非可換特性により、より深刻になります。ルドヴィグ・ファデーエフとヴィクター・ポポフは、ゴースト場（ファデーエフ・ポポフゴーストを参照）の導入により、この問題の解決法を示しました。ゴースト場は、フェルミ・ディラック統計とは一致するものの、スピン統計定理に反する複素スカラー場であるため、非物理的であるという性質があります。したがって、生成関数は次のように書くことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}Z[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]&=\int [\mathrm {d} \ A][\mathrm {d} \ {\bar {c}}][\mathrm {d} \ c]\ \exp {\Bigl \{}i\ S_{F}\ \left[\partial A,A\right]+i\ S_{gf}\left[\partial A\right]+i\ S_{g}\left[\partial c,\partial {\bar {c}},c,{\bar {c}},A\right]{\Bigr \}}\\&\exp \left\{i\int \mathrm {d} ^{4}x\ j_{\mu }^{a}(x)A^{a\mu }(x)+i\int \mathrm {d} ^{4}x\ \left[{\bar {c}}^{a}(x)\ \varepsilon ^{a}(x)+{\bar {\varepsilon }}^{a}(x)\ c^{a}(x)\right]\right\}\end{aligned}}}$

いる

${\displaystyle S_{F}=-{\tfrac {1}{2}}\int \mathrm {d} ^{4}x\ \operatorname {tr} \left(F^{\mu \nu }\ F_{\mu \nu }\right)\ }$

フィールドでは、

${\displaystyle S_{gf}=-{\frac {1}{2\xi }}\int \mathrm {d} ^{4}x\ (\partial \cdot A)^{2}\ }$

ゲージ固定用と

${\displaystyle \ S_{g}=-\int \mathrm {d} ^{4}x\ \left({\bar {c}}^{a}\ \partial _{\mu }\partial ^{\mu }c^{a}+g\ {\bar {c}}^{a}\ f^{abc}\ \partial _{\mu }\ A^{b\mu }\ c^{c}\right)\ }$

ゴーストの場合。これはファインマンの規則を導くためによく使われる表現です（ファインマン図を参照）。ここで、ゴースト場はc ^aで、量子化のためのゲージの選択はξ で決まります。この関数から得られるファインマンの規則は以下のとおりです。

ファインマン図のこれらの規則は、上記の生成関数を次のように書き直すことで得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}Z[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]&=\exp \left(-i\ g\int \mathrm {d} ^{4}x\ {\frac {\delta }{i\ \delta \ {\bar {\varepsilon }}^{a}(x)}}\ f^{abc}\partial _{\mu }\ {\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\mu }^{b}(x)}}\ {\frac {i\ \delta }{\delta \ \varepsilon ^{c}(x)}}\right)\\&\qquad \times \exp \left(-i\ g\int \mathrm {d} ^{4}x\ f^{abc}\partial _{\mu }{\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\nu }^{a}(x)}}{\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\mu }^{b}(x)}}\ {\frac {i\ \delta }{\delta \ j^{c\nu }(x)}}\right)\\&\qquad \qquad \times \exp \left(-i\ {\frac {g^{2}}{4}}\int \mathrm {d} ^{4}x\ f^{abc}\ f^{ars}{\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\mu }^{b}(x)}}\ {\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\nu }^{c}(x)}}\ {\frac {\ i\delta }{\delta \ j^{r\mu }(x)}}{\frac {i\ \delta }{\delta \ j^{s\nu }(x)}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \times Z_{0}[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]\end{aligned}}}$

と

${\displaystyle Z_{0}[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]=\exp \left(-\int \mathrm {d} ^{4}x\ \mathrm {d} ^{4}y\ {\bar {\varepsilon }}^{a}(x)\ C^{ab}(x-y)\ \varepsilon ^{b}(y)\right)\exp \left({\tfrac {1}{2}}\int \mathrm {d} ^{4}x\ \mathrm {d} ^{4}y\ j_{\mu }^{a}(x)\ D^{ab\mu \nu }(x-y)\ j_{\nu }^{b}(y)\right)\ }$

は自由理論の生成関数です。gで展開し、関数導関数を計算すると、摂動論ですべてのn点関数を得ることができます。 LSZ 縮小公式を使用すると、 n点関数から対応するプロセス振幅、断面積、および減衰率が得られます。 この理論は繰り込み可能であり、摂動論のどの次数でも補正は有限です。

量子電気力学では、ゲージ群がアーベル群であるため、ゴースト場は分離します。これは、ゲージ場とゴースト場の間の結合からわかります。アーベル群の場合、すべての構造定数はゼロなので、結合はありません。非アーベル群の場合、ゴースト場は、断面積や崩壊率などの理論の観測量に物理的な影響を与えることなく、量子場理論を書き直す便利な方法として現れます。 ${\displaystyle \ {\bar {c}}^{a}\ f^{abc}\ \partial _{\mu }A^{b\mu }\ c^{c}~.}$${\displaystyle \ f^{abc}\ }$

ヤン＝ミルズ理論で得られた最も重要な結果の 1 つは、漸近的自由度です。この結果は、高エネルギーの場合と同様に、結合定数 gが小さい (したがって非線形性が小さい) と仮定し、摂動論を適用することで得られます。この結果の妥当性は、強い相互作用と漸近的自由度を記述するヤン＝ミルズ理論により、深非弾性散乱から得られる実験結果を適切に処理できるという事実によるものです。

高エネルギーでのヤン・ミルズ理論の挙動を得て漸近的自由性を証明するには、結合が小さいと仮定して摂動論を適用する。これは紫外線極限で事後的に検証される。反対の極限である赤外線極限では状況は逆で、結合が大きすぎて摂動論を信頼できない。研究が直面する困難のほとんどは、低エネルギーで理論を管理することだけである。これは興味深いケースであり、ハドロン物質の記述に固有のものであり、より一般的には、グルーオンとクォークの観測されたすべての束縛状態とその閉じ込めに固有のものである（ハドロンを参照）。この極限で理論を研究するために最もよく使用される方法は、それをコンピュータで解こうとすることである（格子ゲージ理論を参照）。この場合、無限体積の正しい極限（より小さな格子間隔）が得られるようにするためには、大量の計算リソースが必要である。これが結果を比較しなければならない極限である。より小さな間隔とより大きな結合は互いに独立しているわけではなく、それぞれに大きな計算リソースが必要です。今日では、ハドロンスペクトルとグルーオンおよびゴーストプロパゲーターの計算については状況はある程度満足のいくものと思われますが、グルーボールおよびハイブリッドスペクトルは、そのようなエキゾチックな状態の実験的観測を考慮すると、まだ疑問が残ります。実際、σ共鳴^{[10] [11]}は 、そのような格子計算のいずれにも見られず、対照的な解釈が提唱されています。これは熱く議論されている問題です。

ヤン＝ミルズ理論は、1972年にジェラルド・トホーフトが、彼の指導教官であるマルティヌス・フェルトマンが解決した問題の定式化に基づいてヤン＝ミルズ理論のくりこみを解明した後、物理学界で広く受け入れられるようになった。^{[12]この理論で記述されるゲージボソンが電弱理論のように質量を持っていても、その質量が}ヒッグス機構 によって生成された「獲得」質量にすぎない限り、くりこみ可能性は得られる。

ヤン＝ミルズ理論の数学は非常に活発な研究分野であり、例えば、サイモン・ドナルドソンの研究を通じて、4次元多様体上の微分可能構造の不変量などを生み出している。さらに、ヤン＝ミルズ理論の分野は、クレイ数学研究所の「ミレニアム懸賞問題」のリストに含まれていた。ここで懸賞問題は、特に、純粋なヤン＝ミルズ理論（つまり、物質場がない）の最低励起は、真空状態に関して有限の質量ギャップを持つという予想の証明である。この予想に関連する別の未解決問題は、追加のフェルミオンが存在する場合の 閉じ込め特性の証明である。

物理学において、ヤン＝ミルズ理論の調査は、通常、摂動解析や解析的手法から始まるのではなく、最近では、格子ゲージ理論への数値手法の体系的な適用から始まります。

Wikiquoteにはヤン＝ミルズ理論に関連する引用があります。

• 「ヤン・ミルズ場」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 「ヤン・ミルズ理論」。DispersiveWiki 。 2021年6月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。2018年8月30日閲覧。
• 「ミレニアム懸賞問題」。クレイ数学研究所。2009年1月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。2008年11月24日閲覧。