ガロア表現

数学において、ガロア加群はG加群であり、G は何らかの体の拡大のガロア群である。ガロア表現という用語は、表現論においてG加群が体上のベクトル空間または環上の自由加群であるときによく使用されるが、 G加群の同義語としても使用できる。局所体または大域体の拡大に対するガロア加群とその群コホモロジーの研究は、数論における重要なツールである。

• 体Kが与えられると、Kの可分閉包の乗法群( K ^s ) ^{× は}絶対ガロア群のガロア加群となる。その第 2コホモロジー群はKのブラウアー群と同型である(ヒルベルトの定理 90により、その第 1 コホモロジー群はゼロである)。
• X が体K上の滑らかな 適切な スキームである場合、その幾何ファイバーのℓ 進コホモロジー群はKの絶対ガロア群のガロア加群です。

K を値体（付値はvで表記）とし、 L / K をガロア群Gを持つ有限 ガロア拡大とする。 vのLへの拡大wについて、I _{w で}その慣性群を表す。ガロア加群 ρ : G → Aut( V ) は、 ρ( I _w ) = {1} のとき不分岐であると言われる。

古典的な代数的整数論において、L を体Kのガロア拡大とし、G を対応するガロア群とする。すると、Lの代数的整数の環O _LはO _K [ G ]-加群とみなすことができ、その構造はどのようなものか尋ねることができる。これは算術的な質問であり、正規基底定理により、 Lは階数1 の自由K [ G ]-加群であることがわかっている。同じことが整数についても当てはまる場合、それは正規の整数基底、つまりO _L内の α が存在し、 Gによるその共役元がO _K上のO _Lの自由基底を与えることと同等である。これは、 Kが有理数体Qの場合でも (おそらく特にその場合) 興味深い質問である。

例えば、L  =  Q ( √ −3 ) の場合、正規積分基底は存在するでしょうか? 答えは、Q ( ζ ) と同一視すればわかるように、存在しています。ここで、

ζ = exp(2πi / 3 )。

実際、p が素数であるときのp乗 1の根に対する円分体のすべての部分体は、ガウス周期の理論(ヒルベルト–スパイザーの定理) から演繹できるように、 ( Z上の) 正規整基底を持ちます。一方、ガウス体はそうではありません。これは、エミー・ノイマン(おそらくもっと前から知られていた? )が見つけた必要条件の例です。ここで重要なのは、tame分岐です。 Lの判別式Dに関して、 K  =  Qのままで、どの素数pもD をp乗で割り切れません。すると、ノイマンの定理によれば、 tame 分岐は、 O _{L が}Z [ G ]上の射影加群となるために必要かつ十分です。したがって、それが自由加群であることは確かに必要です。自由と射影の間のギャップの問題が残りますが、これについては現在大きな理論が構築されています。

デイヴィッド・ヒルベルトの結果に基づく古典的な結果は、従順な分岐アーベル数体は正規積分基底を持つというものである。これはクロネッカー・ウェーバーの定理を用いてアーベル体を円分体に埋め込むことで確認できる。^[1]

数論で生じる多くの対象は、自然にガロア表現である。たとえば、L が数体 Kのガロア拡大である場合、Lの整数環 O _Lは、 L / Kのガロア群に対するO _K上のガロア加群である（ヒルベルト-スパイザーの定理を参照）。K が局所体である場合、その可分閉包の乗法群はKの絶対ガロア群に対する加群であり、その研究は局所類体理論につながる。全体類体理論では、代わりにKのすべての有限可分拡大のイデアル類群の和集合が使用される。

補助オブジェクトから生じ、ガロア群の研究に使用できるガロア表現もあります。重要な例としては、アーベル多様体のℓ 進 Tate 加群があります。

K を数体とする。エミール・アルティンは、Kの絶対ガロア群G _Kのガロア表現のクラスを導入した。これは現在アルティン表現と呼ばれている。これらは、複素ベクトル空間上のG _Kの連続有限次元線型表現である。アルティンはこれらの表現の研究から、アルティンの相互法則を定式化し、アルティンL関数の正則性に関する現在アルティン予想と呼ばれる予想を立てた。

G _K上のprofinite 位相と複素ベクトル空間上の通常の (ユークリッド) 位相には互換性がないため、アルティン表現の 像は常に有限です。

ℓ を素数とする。G _Kのℓ 進表現は連続群準同型ρ : G _K → Aut( M )であり、ここでMはQ _ℓ上の有限次元ベクトル空間( ℓ 進数Q _ℓの代数閉包) か有限生成Z _ℓ加群 (ここでZ _ℓはQ _ℓにおけるZ _ℓの整閉包) のいずれかである。最初に現れた例は、K上のアーベル多様体のℓ 進円分特性と ℓ 進 Tate 加群であった。他の例は、モジュラー形式と保型形式のガロア表現、および代数多様体の ℓ 進コホモロジー群上のガロア表現から来ている。

アルティン表現とは異なり、ℓ 進表現は無限像を持つことができます。たとえば、ℓ 進円分特性によるG _{Qの像は です。有限像を持つ ℓ 進表現は、しばしばアルティン表現と呼ばれます。Q ℓ}とCの同型性により、それらは真のアルティン表現 と同一視できます。${\displaystyle \mathbf {Z} _{\ell}^{\times}}$

これらは特性 ℓ の有限体上の表現です。これらは ℓ 進表現の ℓ を法とする縮約として現れることが多いです。

表現には、ある素数の分解群に制限された表現の何らかの特性によって与えられる条件が多数あります。これらの条件の用語はいくぶん混乱しており、異なる著者が同じ条件に異なる名前をつけたり、同じ名前を異なる意味で使用したりしています。これらの条件には次のようなものがあります。

• アーベル表現。これは、表現におけるガロア群の像がアーベルであることを意味します。
• 絶対的に既約な表現。これらは体の代数的閉包に対して既約のままです。
• バルソッティ・テイト表現。これは有限平坦表現に似ています。
• 結晶の表現
• 結晶の表現。
• de Rham の表現。
• 有限平坦表現。(この名前は少し誤解を招きやすいですが、実際には有限ではなく有限です。) これらは、有限平坦群スキーム上のガロア群の表現の射影極限として構築できます。
• 優れた表現。これらは、優れた縮小を伴う楕円曲線の表現に関連しています。
• ホッジ・テイト表現。
• 既約表現。これらは、唯一の部分表現が空間全体またはゼロであるという意味において既約です。
• 最小限に分岐した表現。
• モジュラー表現。これらはモジュラー形式から得られる表現ですが、正の特性 の体上の表現を指す場合もあります。
• 通常表現。これらは、通常の (超特異でない) 簡約による楕円曲線の表現に関連しています。より正確には、これらは 1 次元の部分表現で簡約可能な 2 次元表現であり、慣性群がサブモジュールと商に特定の方法で作用します。正確な条件は著者によって異なります。たとえば、商には自明に作用し、サブモジュールにはキャラクタ ε によって作用する場合があります。
• 潜在的に何かの表現。これは、有限インデックスの開部分群に制限された表現が、何らかの指定されたプロパティを持つことを意味します。
• 還元可能な表現。これらには適切な非ゼロのサブ表現があります。
• 半安定表現。これらは半安定楕円曲線から得られる表現に関連する 2 次元表現です。
• 従順に分岐した表現。これらは（最初の）分岐群上では自明です。
• 三角形の表現。
• 非分岐表現。これらは慣性群では自明です。
• 極端に分岐した表現。これらは (最初の) 分岐群では自明ではありません。

Kが局所体または大域体である場合、類形成理論はKにそのヴェイユ群 W _K、連続群準同型φ: W _K → G _K、および位相群の同型を付与する。

${\displaystyle r_{K}:C_{K}{\tilde {\rightarrow }}W_{K}^{\text{ab}}}$

ここで、C _KはK ^×またはイデアルクラス群I _K / K ^{× （} Kがローカルかグローバルかによって異なる）であり、W アブ
K はKのヴェイユ群のアーベル化です。 φ により、G _Kの任意の表現はW _Kの表現と見なすことができます。ただし、W _KはG _Kよりも厳密に多くの表現を持つことができます。たとえば、r _Kにより、 W _Kの連続複素指標はC _Kの連続複素指標と一対一です。したがって、 C _K上の絶対値指標はW _Kの指標をもたらし、その像は無限であり、したがってG _Kの指標ではありません(そのような指標はすべて有限の像を持つため)。

W _Kの ℓ 進表現はG _Kの場合と同じ方法で定義されます。これらは幾何学から自然に生じます。XがK上の滑らかな射影多様体である場合、 Xの幾何学ファイバーの ℓ 進コホモロジーはG _Kの ℓ 進表現であり、φ を介してW _Kの ℓ 進表現を誘導します。Kが留数特性p ≠ ℓの局所体である場合、 W _K のいわゆる Weil-Deligne 表現を調べる方が簡単です。

K を局所体とする。Eを標数 0 の体とする。W _K (または単にK )のE上のWeil-Deligne 表現は、次のペア ( r ,  N ) である。

• 連続群準同型r  : W _K → Aut _E ( V )、ここでVは離散位相を備えたE上の有限次元ベクトル空間、
• べき零自己 同型 N  : V → Vで、w∈W K の すべてに対してr ( w )N r ( w ) ⁻¹ = || w || Nが_成り立つ。^[2]

これらの表現は、 KのWeil–Deligne 群のE上の表現と同じです。

Kの留数特性が ℓ と異なる場合、グロタンディークの ℓ 進モノドロミー定理は、 W _Kの ℓ 進表現( Q _{ℓ上) と}W _KのQ _ℓ上(または同等のC上)のヴェイユ・ドリーニュ表現の間の一対一関係を確立します。後者は、 rの連続性がV上の離散位相に関してのみであるという優れた特徴があり、そのため、状況はより代数的な雰囲気になります。

• ℓ進表現の互換システム
• 樹上ガロア表現

• Kudla, Stephen S. (1994)、「局所ラングランズ対応: 非アルキメデスの場合」、Motives、第 2 部、Proc. Sympos. Pure Math.、第 55 巻、プロビデンス、ロードアイランド州: Amer. Math. Soc.、pp. 365–392、ISBN 978-0-8218-1635-6
• Neukirch, ユルゲン;シュミット、アレクサンダー。 Wingberg, Kay (2000)、数体のコホモロジー、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、vol. 323、ベルリン: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-66671-4、MR  1737196、Zbl  0948.11001
• テイト、ジョン(1979)、「数論的背景」、保型形式、表現、および L 関数、第 2 部、Proc. Sympos. Pure Math.、第 33 巻、プロビデンス、ロードアイランド州: Amer. Math. Soc.、pp. 3–26、ISBN 978-0-8218-1437-6

• スネイス、ビクター P. (1994)、「ガロア加群構造」、フィールズ研究所モノグラフ、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 0-8218-0264-X、ZBL  0830.11042
• Fröhlich、Albrecht (1983)、代数整数のガロア加群構造、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete。 3. フォルゲ、vol. 1、ベルリン-ハイデルベルク-ニューヨーク-東京: Springer-Verlag、ISBN 3-540-11920-5、Zbl  0501.12012