旗（線形代数）

数学、特に線型代数において、旗とは有限次元ベクトル空間Vの部分空間の増加列である。ここで「増加」とは、それぞれが次の部分空間の真部分空間であることを意味する（フィルタリングを参照）。

${\displaystyle \{0\}=V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{k}=V.}$

「旗」という用語は、旗に似た特定の例に由来しています。ゼロ点、線、平面は、釘、棒、布のシートに対応します。^[1]

dim V _i = d _iと書くと、

${\displaystyle 0=d_{0}<d_{1}<d_{2}<\cdots <d_{k}=n,}$

ここで、n はVの次元です（有限であると仮定）。したがって、k ≤ nでなければなりません。すべてのiに対してd _i = iである場合、フラグは完全フラグと呼ばれ、そうでない場合は部分フラグと呼ばれます。

部分フラグは、完全なフラグからいくつかのサブスペースを削除することで取得できます。逆に、適切なサブスペースを挿入することで、任意の部分フラグを (さまざまな方法で) 完成させることができます。

フラグの署名はシーケンス ( d 1 、_...、d _k ) です。

Vの順序付き基底は、最初のd _{i 個}の基底ベクトルが 0 ≤ i ≤ kのそれぞれに対してV _iの基底を形成する場合、フラグV ₀ ⊂ V ₁ ⊂ ... ⊂ V _kに適合していると言われます。線形代数の標準的な議論により、どのフラグにも適合基底があることがわかります。

任意の順序基底は、 V _{i を}最初のi基底ベクトルのスパンとすることで完全な旗を生じます。たとえば、R ⁿの標準フラグは標準基底(e₁, ...,e _n )から誘導されますe _{i は}iの要素が 1 で、それ以外が 0 のベクトルを表します。具体的には、標準フラグは部分空間のシーケンスです。

${\displaystyle 0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.}$

適応基底が一意になることはほとんどありません (反例は自明です)。以下を参照してください。

内積空間上の完全旗は本質的に一意な正規直交基底を持ちます。つまり、各ベクトルに単位（単位長さのスカラー、たとえば 1, −1, i ）を乗じるまでは一意です。このような基底は、グラム・シュミット過程を使用して構築できます。単位までの一意性は、 1 次元空間 に存在することに留意することで帰納的に得られます。 ${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle V_{i-1}^{\perp }\cap V_{i}}$

より抽象的に言えば、最大トーラスの作用を除いて一意である。旗はボレル群に対応し、内積は最大コンパクト部分群に対応する。^[2]

標準旗の安定部分群は、可逆な上三角行列の群です。

より一般的には、旗の安定子（すべてのiに対してとなるV上の線型作用素 ）は、行列の用語で言えば、ブロックサイズが であるブロック上三角行列の代数（適応基底に関して）です。完全な旗の安定子部分群は、旗に適応された任意の基底に関して可逆な上三角行列の集合です。このような基底に関する下三角行列の部分群はその基底に依存するため、旗のみで特徴付けること はできません。${\displaystyle T}$${\displaystyle T(V_{i})<V_{i}}$${\displaystyle d_{i}-d_{i-1}}$

任意の完全旗の安定部分群は（一般線型群の）ボレル部分群であり、任意の部分旗の安定群は放物型部分群である。

旗の安定化サブグループは旗の適応基底に対して単純に推移的に作用するため、安定化サブグループは安定化サブグループが自明でない限り一意ではありません。これは非常に例外的な状況です。つまり、0 次元のベクトル空間、または1 次元のベクトル空間 (正確には旗とは無関係に 1 つの基底のみが存在する場合) に対してのみ発生します。 ${\displaystyle \mathbf {F} _{2}}$

関数解析で使用される無限次元空間Vでは、旗の考え方は部分空間ネスト、つまり包含の全順序であり、任意の交差と閉じた線形スパンに対して閉じているVの部分空間の集合に一般化されます。ネスト代数を参照してください。

1 つの元を持つ体の観点から見ると、集合は 1 つの元を持つ体上のベクトル空間として見ることができます。これにより、コクセター群と代数群の間のさまざまな類似性が形式化されます。

この対応関係では、集合上の順序付けは最大フラグに対応します。つまり、順序付けは集合の最大濾過に相当します。たとえば、濾過 (フラグ) は順序付けに対応します。 ${\displaystyle \{0\}\subset \{0,1\}\subset \{0,1,2\}}$${\displaystyle (0,1,2)}$

• 濾過（数学）
• フラグマニホールド
• グラスマン
• マトロイド

• Shafarevich, IR ; AO Remizov ( 2012 ). 線形代数と幾何学。Springer。ISBN 978-3-642-30993-9。