ネスト代数

数学の一分野である関数解析において、ネスト代数は、上三角行列代数をヒルベルト空間のコンテキストに一般化する作用素代数のクラスです。これは、Ringrose (1965)によって導入され 、多くの興味深い特性を持っています。これらは、非自己随伴代数であり、弱作用素位相で閉じており、反射的です。

ネスト代数は、可換部分空間格子代数の最も単純な例の 1 つです。実際、ネスト代数は、部分空間ネストに含まれる各部分空間を不変にする有界演算子の代数として正式に定義されます。ネストとは、包含によって完全に順序付けられ、完全な格子でもある部分空間の集合です。ネスト内の部分空間に対応する直交射影は可換であるため、ネストは可換部分空間格子です。

例として、この定義を有限次元上三角行列の復元に適用してみましょう。次元複素ベクトル空間 で作業し、を標準基底とします。に対して、を第 1基底ベクトルによって張られるの次元部分空間とします。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}}$${\displaystyle j=0,1,2,\dots ,n}$${\displaystyle S_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle j}$${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{j}}$

${\displaystyle N=\{(0)=S_{0},S_{1},S_{2},\dots ,S_{n-1},S_{n}=\mathbb {C} ^{n}\};}$

すると、N は部分空間のネストとなり、N内の各部分空間を不変にするn  ×  n複素行列Mの対応するネスト代数は、N内の各Sに対して– を満たす上三角行列の集合になります。 ${\displaystyle MS\subseteq S}$

Nから1 つ以上の部分空間S _{j を}省略すると、対応するネスト代数はブロック上三角行列で構成されます。

• ネスト代数は距離定数 1 で超反射的です。

• フラグマニホールド

• リングローズ、ジョン R. (1965)、「作用素のいくつかの代数について」、ロンドン数学会紀要、第 3 シリーズ、15 : 61–83、doi :10.1112/plms/s3-15.1.61、ISSN  0024-6115、MR  0171174