複合ポアソン分布

確率論において、複合ポアソン分布は、多数の独立した同一分布のランダム変数の合計の確率分布であり、追加される項の数自体がポアソン分布の変数です。結果は連続分布または離散分布のいずれかになります。

仮に

${\displaystyle N\sim \operatorname {ポアソン} (\lambda ),}$

すなわち、Nは確率変数であり、その分布は期待値λのポアソン分布であり、

${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$

は互いに独立で、 Nからも独立な同一分布の確率変数である。したがって、 iid確率変数 の和の確率分布は${\displaystyle N}$

${\displaystyle Y=\sum _{n=1}^{N}X_{n}}$

複合ポアソン分布です。

N = 0の場合、これは 0 項の合計なので、Yの値は 0 になります。したがって、 N  = 0を与えられたYの条件付き分布は退化した分布です。

複合ポアソン分布は、 ( Y、N )の結合分布をN上で周辺化することによって得られ、この結合分布は、条件付き分布Y  |  NとNの周辺分布を組み合わせることによって得られます。

複合分布の期待値と分散は、総期待値の法則と総分散の法則から簡単に導くことができます。

${\displaystyle \operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} \left[\operatorname {E} (Y\mid N)\right]=\operatorname {E} \left[N\operatorname {E} (X)\right]=\operatorname {E} (N)\operatorname {E} (X),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (Y)&=\operatorname {E} \left[\operatorname {Var} (Y\mid N)\right]+\operatorname {Var} \left[\operatorname {E} (Y\mid N)\right]=\operatorname {E} \left[N\operatorname {Var} (X)\right]+\operatorname {Var} \left[N\operatorname {E} (X)\right],\\[6pt]&=\operatorname {E} (N)\operatorname {Var} (X)+\left(\operatorname {E} (X)\right)^{2}\operatorname {Var} (N).\end{aligned}}}$

そして、Nがポアソン分布に従う 場合、E( N ) = Var( N )となるので、これらの式は次のように簡約できる。

${\displaystyle \operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} (N)\operatorname {E} (X)=\lambda \operatorname {E} (X),}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\operatorname {E} (N)(\operatorname {Var} (X)+(\operatorname {E} (X))^{2})=\operatorname {E } (N){\演算子名 {E} (X^{2})}=\lambda {\演算子名 {E} (X^{2})}。$

Yの確率分布は特性関数によって決定できる。

${\displaystyle \varphi _{Y}(t)=\operatorname {E} (e^{itY})=\operatorname {E} \left(\left(\operatorname {E} (e^{itX}\mid N)\right)^{N}\right)=\operatorname {E} \left((\varphi _{X}(t))^{N}\right),\,}$

したがって、ポアソン分布の 確率生成関数を用いると、

${\displaystyle \varphi _{Y}(t)={\textrm {e}}^{\lambda (\varphi _{X}(t)-1)}.\,}$

別のアプローチとしては、キュムラント生成関数を使用する方法があります。

${\displaystyle K_{Y}(t)=\ln \operatorname {E} [e^{tY}]=\ln \operatorname {E} [\operatorname {E} [e^{tY}\mid N]]=\ln \operatorname {E} [e^{NK_{X}(t)}]=K_{N}(K_{X}(t)).\,}$

全キュムラントの法則により、ポアソン分布の平均λ  = 1 の場合、YのキュムラントはX ₁のモーメントと同じであることが示されます。^{[引用が必要]}

すべての無限に割り切れる確率分布は、複合ポアソン分布の極限です。^[1]そして、複合ポアソン分布は定義により無限に割り切れます。

が正の整数値iid確率変数で、を満たす場合、この複合ポアソン分布は 離散複合ポアソン分布^{[2] [3] [4]}（またはスタッターリングポアソン分布^{[5] ）と呼ばれます。}確率生成関数の特徴 を満たす離散確率変数を${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$${\displaystyle P(X_{1}=k)=\alpha _{k},\ (k=1,2,\ldots )}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle P_{Y}(z)=\sum \limits _{i=0}^{\infty }P(Y=i)z^{i}=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }\alpha _{k}\lambda (z^{k}-1)\right),\quad (|z|\leq 1)}$

は離散複合ポアソン分布（DCP）を持ち、パラメータは（ただし、）であり、次のように表される。 ${\displaystyle (\alpha _{1}\lambda ,\alpha _{2}\lambda ,\ldots )\in \mathbb {R} ^{\infty }}$${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}=1}$${\textstyle \alpha _{i}\geq 0,\lambda >0}$

${\displaystyle X\sim {\text{DCP}}(\lambda {\alpha _{1}},\lambda {\alpha _{2}},\ldots )}$

さらに、 の場合、 はオーダーの離散複合ポアソン分布を持つと言えます。 の とき、 DCP はそれぞれポアソン分布とエルミート分布になります。のとき 、DCP はそれぞれ三重スタッタリングポアソン分布と四重スタッタリングポアソン分布になります。^{[6]その他の特殊なケースには、シフト}幾何分布、負の二項分布、幾何ポアソン分布、ネイマン A 型分布、ルリア–デルブリュック実験におけるルリア–デルブリュック分布があります。 DCP のより特殊なケースについては、レビュー論文^[7]とその中の参考文献を参照してください。 ${\displaystyle X\sim {\operatorname {DCP} }(\lambda {\alpha _{1}},\ldots ,\lambda {\alpha _{r}})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r=1,2}$${\displaystyle r=3,4}$

フェラーによる複合ポアソン分布の特徴付けによれば、非負の整数値 rv は、その分布が離散複合ポアソン分布である場合に限り、無限に割り切れます。^[8]負の二項分布は離散無限に割り切れます。つまり、X が負の二項分布を持つ場合、任意の正の整数nに対して、合計がXと同じ分布を持つ離散 iid ランダム変数X ₁、...、  X _{n が}存在します。シフト幾何分布は、負の二項分布の自明なケースであるため、離散複合ポアソン分布です。 ${\displaystyle X}$

この分布は、バッチ到着（バルクキュー^{[5] [9]}など）をモデル化することができます。離散複合ポアソン分布は、保険数理科学において総請求額の分布をモデル化するために広く使用されています。 ^[3]

いくつかが負の場合には、離散擬似複合ポアソン分布となる。^[3]確率生成関数の特性 を満たす任意の離散確率変数を次のように定義する。${\displaystyle \alpha _{k}}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle G_{Y}(z)=\sum \limits _{i=0}^{\infty }P(Y=i)z^{i}=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }\alpha _{k}\lambda (z^{k}-1)\right),\quad (|z|\leq 1)}$

は、およびのパラメータを持つ離散擬合成ポアソン分布を持ち、となります。 ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots )=:(\alpha _{1}\lambda ,\alpha _{2}\lambda ,\ldots )\in \mathbb {R} ^{\infty }}$${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }{\alpha _{i}}=1}$${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }{\left|{\alpha _{i}}\right|}<\infty }$${\displaystyle {\alpha _{i}}\in \mathbb {R} ,\lambda >0}$

Xがガンマ分布（指数分布はその特別なケース）に従う場合、 Y  |  Nの条件付き分布は再びガンマ分布になります。Yの周辺分布は分散指数1 <  p < 2のTweedie分布^[10]です（特性関数（確率論） の比較による証明）。より明確に言えば、

${\displaystyle N\sim \operatorname {Poisson} (\lambda ),}$

そして

${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {\Gamma } (\alpha ,\beta )}$

iidの場合、

${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$

は、再生指数分散モデル で あり、${\displaystyle ED(\mu ,\sigma ^{2})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [Y]&=\lambda {\frac {\alpha }{\beta }}=:\mu ,\\[4pt]\operatorname {Var} [Y]&=\lambda {\frac {\alpha (1+\alpha )}{\beta ^{2}}}=:\sigma ^{2}\mu ^{p}.\end{aligned}}}$

Tweedie パラメータとポアソン パラメータおよびガンマ パラメータのマッピングは次のとおりです。 ${\displaystyle \mu ,\sigma ^{2},p}$${\displaystyle \lambda ,\alpha ,\beta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &={\frac {\mu ^{2-p}}{(2-p)\sigma ^{2}}},\\[4pt]\alpha &={\frac {2-p}{p-1}},\\[4pt]\beta &={\frac {\mu ^{1-p}}{(p-1)\sigma ^{2}}}.\end{aligned}}}$

速度分布とジャンプサイズ分布Gを持つ複合ポアソン過程は、次式で表される 連続時間確率過程である。${\displaystyle \lambda >0}$ ${\displaystyle \{\,Y(t):t\geq 0\,\}}$

${\displaystyle Y(t)=\sum _{i=1}^{N(t)}D_{i},}$

ここで、 N ( t ) = 0である限り、和は慣例的にゼロに等しい。ここで、は速度 のポアソン過程であり、は分布関数Gを持つ独立した同一分布のランダム変数であり、 ^[11]からも独立している。${\displaystyle \{\,N(t):t\geq 0\,\}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \{\,D_{i}:i\geq 1\,\}}$${\displaystyle \{\,N(t):t\geq 0\,\}.\,}$

複合ポアソン過程の離散バージョンは、脆弱性モデルの生存分析に使用できます。 ^[12]

Revfeimは、指数分布に従う複合ポアソン分布を使用して、1日の総降雨量の分布をモデル化しました。各日には、指数分布に従う降雨量をもたらすポアソン分布の数のイベントが含まれます。^[13] Thompsonは、同じモデルを月間総降雨量に適用しました。^[14]

保険金請求^{[15] [16]}やX線コンピュータ断層撮影^{[17] [18] [19]}への応用もある。