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数学において、内積（内微分、内乗算、内乗算、内微分、挿入演算子、縮約、または内微分とも呼ばれる）は、滑らかな多様体上の微分形式の外積代数上の次数-1の（反）微分である。外積と対比して名付けられた内積は、内積と混同してはならない。内積${\displaystyle \iota _{X}\omega }$時々次のように書かれる${\displaystyle \omega \mathbin {\lfloor } X}$これは右縮退と呼ばれ、${\displaystyle \omega }$Xと共に。

内積は、微分形式とベクトル場の縮約として定義される。したがって、${\displaystyle X}$は多様体上のベクトル場である${\displaystyle M,}$それから $${\displaystyle \iota _{X}:\Omega ^{p}(M)\to \Omega ^{p-1}(M)}$$送信するマップ は${\displaystyle p}$-形状${\displaystyle \omega }$へ${\displaystyle (p-1)}$-形状${\displaystyle \iota _{X}\omega }$特性によって定義される $${\displaystyle (\iota _{X}\omega )\left(X_{1},\ldots ,X_{p-1}\right)=\omega \left(X,X_{1},\ldots ,X_{p-1}\right)}$$ 任意のベクトル場に対して${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{p-1}.}$

いつ${\displaystyle \omega }$はスカラー場（0形式）であり、${\displaystyle \iota _{X}\omega =0}$慣例により。

内積は、外積代数上の次数− 1の唯一の反微分であり、1 形式上で${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle \displaystyle \iota _{X}\alpha =\alpha (X)=\langle \alpha ,X\rangle ,}$$ どこ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$双対性ペアリングは${\displaystyle \alpha }$そしてベクトル${\displaystyle X.}$ 具体的には、${\displaystyle \alpha }$は${\displaystyle p}$-形式と${\displaystyle \beta }$は${\displaystyle q}$-形式、次に $${\displaystyle \iota _{X}(\alpha \wedge \beta )=\left(\iota _{X}\alpha \right)\wedge \beta +(-1)^{p}\alpha \wedge \left(\iota _{X}\beta \right).}$$ 上記の関係式は、内積が段階的なライプニッツの法則に従うことを示している。線形性とライプニッツの法則を満たす演算を微分と呼ぶ。

ローカル座標の場合${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ベクトル場${\displaystyle X}$は

${\displaystyle X=f_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+\cdots +f_{n}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

すると、内積は次のように表される。 $${\displaystyle \iota _{X}(dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n})=\sum _{r=1}^{n}(-1)^{r-1}f_{r}dx_{1}\wedge \cdots \wedge {\widehat {dx_{r}}}\wedge \cdots \wedge dx_{n},}$$ どこ$\displaystyle dx_{1}\wedge \cdots \wedge {\widehat {dx_{r}}}\wedge \cdots \wedge dx_{n}}$は省略して得られる形式です$dx_r$から$\displaystyle dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n}}$。

形の反対称性により、 $${\displaystyle \iota _{X}\iota _{Y}\omega =-\iota _{Y}\iota _{X}\omega ,}$$ など${\displaystyle \iota _{X}\circ \iota _{X}=0.}$これは外部派生型と比較できる。${\displaystyle d,}$その特性を持つ${\displaystyle d\circ d=0.}$

2つのベクトル場の交換子に関する内積${\displaystyle X,}$${\displaystyle Y}$同一性を満たす $${\displaystyle \iota _{[X,Y]}=\left[{\mathcal {L}}_{X},\iota _{Y}\right]=\left[\iota _{X},{\mathcal {L}}_{Y}\right].}$$証明。任意のk形式に対して${\displaystyle \Omega }$、$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\iota _{Y}\Omega )-\iota _{Y}({\mathcal {L}}_{X}\Omega )=({\mathcal {L}}_{X}\Omega )(Y,-)+\Omega ({\mathcal {L}}_{X}Y,-)-({\mathcal {L}}_{X}\Omega )(Y,-)=\iota _{{\mathcal {L}}_{X}Y}\Omega =\iota _{[X,Y]}\Omega }$$そして、もう一方の結果についても同様である。

内積は、微分形式の外微分とリー微分をカルタンの公式（カルタン恒等式、カルタンホモトピー公式^{[ 1 ]}、またはカルタン魔法公式とも呼ばれる）で関連付けます。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =d(\iota _{X}\omega )+\iota _{X}d\omega =\left\{d,\iota _{X}\right\}\omega .}$$

反交換子が使用された。この恒等式は、外微分と内微分の間の双対性を定義する。カルタンの恒等式は、シンプレクティック幾何学と一般相対性理論において重要である。運動量マップを参照。^{[ 2 ]}カルタンのホモトピー公式は、エリー・カルタンにちなんで名付けられた。^{[ 3 ]}

ベクトル空間V上の外積代数では、内積は任意の多重ベクトルaとbに対して一般化されます。右内積、または右縮約、${\displaystyle \textstyle \mathbin {\lfloor }$ :\bigwedge V\times \bigwedge V\to \bigwedge V} は^{[ 5 ]}と定義される

${\displaystyle a\mathbin {\lfloor } b=a\vee b^{\bigstar },}$

どこ${\displaystyle \vee }$は外部の反積（退行積とも呼ばれる）であり、上付き文字は${\displaystyle \bigstar }$ホッジ双対を表す。同様に、左内積、または左縮約、${\displaystyle \rfloor }$は次のように定義される。

${\displaystyle a\mathbin {\rfloor } b=a_{\bigstar }\vee b,}$

添え字は${\displaystyle \bigstar }$これは、ホッジ双対の左バージョンを表します。

aとbが同じ次数を持つ同次多重ベクトルである場合、左内積と右内積はそれぞれ次の内積に縮小されます。

${\displaystyle a\mathbin {\lfloor } b=a\mathbin {\rfloor } b=a\cdot b.}$

次数が 1 のベクトルX 、次数がpの同次多重ベクトルa、および任意の多重ベクトルbに対して、右内積は次の規則を満たす。

${\displaystyle (a\wedge b)\mathbin {\lfloor } X=(a\mathbin {\lfloor } X)\wedge b+(-1)^{p}a\wedge (b\mathbin {\lfloor } X).}$

これは、演算子に対して与えられたライプニッツの積の法則と全く同じである。${\displaystyle \iota _{X}}$その上。

• キャップ積– 代数トポロジーにおける手法 
• 内積– 一般化ドット積を用いたベクトル空間 リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• テンソル縮約– 数学における演算 

• セオドア・フランケル著『物理学の幾何学：入門』ケンブリッジ大学出版局、第3版、2011年
• Loring W. Tu、『多様体入門』第2版、Springer、2011年。doi : 10.1007 /978-1-4419-7400-6