ラフリン波動関数

凝縮系物理学において、ラフリンの波動関数[ ^{1] [2]}は、ロバート・ラフリンが、均一なジェリウム背景の存在下で均一な背景磁場の中に置かれた2次元電子ガスの基底状態に対して提唱した仮説である。このとき、最低ランダウ準位の充填率は であり、は奇数の正の整数である。これは、分数量子ホール効果(FQHE)の観測を説明するために構築され、分数電荷を持つ準粒子励起だけでなく追加の状態の存在を予測し、どちらも後に実験的に観測された。ラフリンはこの発見により、1998年のノーベル物理学賞の3分の1を受賞した。 ${\displaystyle \nu =1/n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \nu =1/3}$ ${\displaystyle \nu =1/n}$${\displaystyle e/n}$

ゼロ次近似として電子間のジェリウムと相互クーロン反発を無視すると、無限に縮退した最低ランダウ準位（LLL）となり、充填係数が1/ nであれば、すべての電子がLLLにあることが予想されます。相互作用をオンにすると、すべての電子がLLLにあるという近似を行うことができます。 が最低軌道角運動量を持つLLL状態の単一粒子波動関数である場合、多粒子波動関数のラフリン仮説は ${\displaystyle \psi_{0}}$

${\displaystyle \langle z_{1},z_{2},z_{3},\ldots ,z_{N}\mid n,N\rangle =\psi _{n,N}(z_{1},z_{2},z_{3},\ldots ,z_{N})=D\left[\prod _{N\geqslant i>j\geqslant 1}\left(z_{i}-z_{j}\right)^{n}\right]\prod _{k=1}^{N}\exp \left(-\mid z_{k}\mid ^{2}\right)}$

ここで位置は

${\displaystyle z={1 \over 2{\mathit {l}}_{B}}\left(x+iy\right)}$

in (ガウス単位)

${\displaystyle {\mathit {l}}_{B}={\sqrt {\hbar c \over eB}}}$

およびおよび は、x-y 平面の座標です。ここで、 は換算プランク定数、は電子の電荷、は粒子の総数、 はxy 平面に垂直な磁場です。 z の添え字は粒子を識別します。 波動関数がフェルミオンを表すためには、n は奇数の整数でなければなりません。これにより、波動関数は粒子交換に対して反対称になります。この状態の角運動量は です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \hbar}$${\displaystyle e}$${\displaystyle N}$${\displaystyle B}$${\displaystyle n\hbar }$

上記について考えてみましょう。結果は試行波動関数です。正確ではありませんが、定性的には厳密解の多くの特徴を再現し、定量的には、小さなシステムの正確な基底状態と非常に高い重なりを持っています。任意の2つの電子間のクーロン反発を想定すると、その基底状態は正確な対角化を使用して決定でき、 ^[3 ]重なりは1に近くなるように計算されています。さらに、短距離相互作用（のハルデン擬ポテンシャルをゼロに設定）により、ラフリン波動関数は正確になります。 ^[4] つまり、${\displaystyle n=3}$${\displaystyle \Psi _{L}(z_{1},z_{2},z_{3},\ldots ,z_{N})\propto \Pi _{i<j}(z_{i}-z_ {j})^{3}}$${\displaystyle \Psi_{ED}}$${\displaystyle m>3}$${\displaystyle \langle \Psi _{ED}|\Psi _{L}\rangle =1}$

ラフリン波動関数は準粒子の多粒子波動関数である。準粒子対の相互作用エネルギーの 期待値は

${\displaystyle \langle V\rangle =\langle n,N\mid V\mid n,N\rangle ,\;\;\;N=2}$

ここで遮蔽電位は（静的力と仮想粒子交換§磁場内に埋め込まれた2つの電流ループ間のクーロン電位を参照）

${\displaystyle V\left(r_{12}\right)=\left({2e^{2} \over L_{B}}\right)\int _{0}^{\infty }{{k\;dk\;} \over k^{2}+k_{B}^{2}r_{B}^{2}}\;M\left({\mathit {l}}+1,1,-{k^{2} \over 4}\right)\;M\left({\mathit {l}}^{\prime }+1,1,-{k^{2} \over 4}\right)\;{\mathcal {J}}_{0}\left(k{r_{12} \over r_{B}}\right)}$

ここで、 は合流型超幾何関数であり、は第 1 種のベッセル関数です。ここで、は 2 つの電流ループの中心間の距離、は電子電荷の大きさ、はラーモア半径の量子バージョン、 は磁場方向の電子ガスの厚さです。2つの個別の電流ループの角運動量は、 であり、です。逆遮蔽長は (ガウス単位) で与えられます。${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {J}}_{0}}$${\displaystyle r_{12}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle r_{B}={\sqrt {2}}{\mathit {l}}_{B}}$${\displaystyle L_{B}}$${\displaystyle {\mathit {l}}\hbar }$${\displaystyle {\mathit {l}}^{\prime }\hbar }$${\displaystyle {\mathit {l}}+{\mathit {l}}^{\prime }=n}$

${\displaystyle k_{B}^{2}={4\pi e^{2} \over \hbar \omega _{c}AL_{B}}}$

ここではサイクロトロン周波数、 はxy 平面における電子ガスの面積です。 ${\displaystyle \omega _{c}}$${\displaystyle A}$

相互作用エネルギーは次のように評価されます。

この結果を得るために、積分変数を変更した。

${\displaystyle u_{12}={z_{1}-z_{2} \over {\sqrt {2}}}}$

そして

${\displaystyle v_{12}={z_{1}+z_{2} \over {\sqrt {2}}}}$

と記されている（場の量子論における共通積分を参照）

${\displaystyle {1 \over \left(2\pi \right)^{2}\;2^{2n}\;n!}\int d^{2}z_{1}\;d^{2}z_{2}\;\mid z_{1}-z_{2}\mid ^{2n}\;\exp \left[-2\left(\mid z_{1}\mid ^{2}+\mid z_{2}\mid ^{2}\right)\right]\;{\mathcal {J}}_{0}\left({\sqrt {2}}\;{k\mid z_{1}-z_{2}\mid }\right)=}$

${\displaystyle {1 \over \left(2\pi \right)^{2}\;2^{n}\;n!}\int d^{2}u_{12}\;d^{2}v_{12}\;\mid u_{12}\mid ^{2n}\;\exp \left[-2\left(\mid u_{12}\mid ^{2}+\mid v_{12}\mid ^{2}\right)\right]\;{\mathcal {J}}_{0}\left({2}k\mid u_{12}\mid \right)=}$

${\displaystyle M\left(n+1,1,-{k^{2} \over 2}\right).}$

相互作用エネルギーは（図1）で最小値を示す。

${\displaystyle {{\mathit {l}} \over n}={1 \over 3},{2 \over 5},{3 \over 7},{\mbox{etc.,}}}$

そして

${\displaystyle {{\mathit {l}} \over n}={2 \over 3},{3 \over 5},{4 \over 7},{\mbox{etc.}}}$

角運動量比のこれらの値に対して、エネルギーは の関数として図 2 にプロットされています。 ${\displaystyle n}$

• ランダウ準位
• 分数量子ホール効果
• 磁場に埋め込まれた2つの電流ループ間のクーロン電位