ランダウ準位

量子力学では、均一な磁場中の荷電粒子のサイクロトロン軌道のエネルギーは離散的な値に量子化され、ランダウ準位として知られています。これらの準位は縮退しており、準位あたりの電子数は印加磁場の強度に正比例します。ソビエトの物理学者レフ・ランダウにちなんで名付けられました。^[1]

ランダウ量子化は金属の磁化率に寄与し、ランダウ反磁性として知られています。強い磁場下では、ランダウ量子化により、印加磁場の関数として材料の電子特性が振動し、ド・ハース・ファン・アルフェン効果やシュブニコフ・ド・ハース効果として知られています。

ランダウ量子化は整数量子ホール効果を説明する上で重要な要素です。

xy平面の領域A = L _x L _yに閉じ込められた、電荷qとスピンS を持つ相互作用しない粒子のシステムを考えます。 z軸に沿って均一な磁場を適用します。 SI単位では、このシステムのハミルトニアン(ここでは、スピンの影響は無視されます) は次のようになります 。 ここで、は標準運動量演算子であり、 は電磁ベクトルポテンシャル(位置空間)の演算子です。 ${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left({\hat {\mathbf {p} }}-q{\hat {\mathbf {A} }}\right)^{2}.}$$${\textstyle {\hat {\mathbf {p} }}}$ ${\textstyle {\hat {\mathbf {A} }}}$ ${\textstyle \mathbf {A} }$ ${\textstyle {\hat {\mathbf {A} }}=\mathbf {A} }$

ベクトルポテンシャルは磁場と次のように関係している。${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} .}$

特定の磁場に対するベクトルポテンシャルの選択には、ある程度のゲージの自由度があります。ハミルトニアンはゲージ不変です。つまり、スカラー場の勾配をAに加えると、波動関数の全体的な位相がスカラー場に対応する量だけ変化します。しかし、物理的特性はゲージの特定の選択によって影響を受けません。

Aの可能な解から、レフ・ランダウによって導入されたゲージ固定法は、定常磁場中の荷電粒子に対してよく使用されます。^[2]

の とき、ランダウゲージにおける 可能な解^{[3]となる。}${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix}}}$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0\\B\cdot x\\0\end{pmatrix}}}$

このゲージでは、ハミルトニアンは です。 ゲージの選択により演算子ŷが存在しないため、 演算子はこのハミルトニアンと交換します。したがって、演算子はその固有値ħk _yに置き換えることができます。ハミルトニアンには現れず、運動エネルギーには z 運動量のみが現れるため、z 方向に沿ったこの運動は自由運動です。 $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2m}}\left({\hat {p}}_{y}-qB{\hat {x}}\right)^{2}+{\frac {{\hat {p}}_{z}^{2}}{2m}}.}$$${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$${\displaystyle {\hat {z}}}$

ハミルトニアンは、サイクロトロン周波数がω _c = qB / mであることに注目して、 次のようにもっと簡単に書くこともできます。これは、ポテンシャルの最小値が座標空間でx ₀ = ħk _y / mω _cだけシフトしていることを除けば、量子調和振動子のハミルトニアンとまったく同じです。 $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{\rm {c}}^{2}\left({\hat {x}}-{\frac {\hbar k_{y}}{m\omega _{\rm {c}}}}\right)^{2}+{\frac {{\hat {p}}_{z}^{2}}{2m}}.}$$

エネルギーを求めるには、調和振動子のポテンシャルを変換してもエネルギーに影響がないことに注意してください。したがって、このシステムのエネルギーは、標準的な量子調和振動子のエネルギーと同一です。^{[4]エネルギーは量子数} k _y に依存しないため、有限数の縮退が存在します（粒子が閉じ込められていない空間に配置されている場合、この縮退は の連続したシーケンスに対応します）。 の値は、粒子が z 方向に閉じ込められていない場合は連続であり、粒子が z 方向にも制限されている場合は離散的です。同じ値のnを持つ波動関数の各セットは、ランダウレベルと呼ばれます。 $${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}},\quad n\geq 0~.}$$${\displaystyle p_{y}}$${\displaystyle p_{z}}$

波動関数については、ハミルトニアンと交換することを思い出してください。すると、波動関数は、 y方向の運動量固有状態とx方向 にx ₀だけシフトした調和振動子固有状態の積になります。 ここで です。つまり、電子の状態は量子数n、k _y、k _zによって特徴付けられます。 ${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$${\displaystyle |\phi _{n}\rangle }$$${\displaystyle \Psi (x,y,z)=e^{i(k_{y}y+k_{z}z)}\phi _{n}(x-x_{0})}$$${\displaystyle k_{z}=p_{z}/\hbar }$

この導出ではxとy を非対称として扱いました。しかし、システムの対称性により、これらの座標を区別する物理量は存在しません。 xとy を適切に入れ替えることで、同じ結果が得られます。

より適切なゲージの選択は対称ゲージであり、これは選択を指します $${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}={\frac {1}{2}}\mathbf {B} \times {\hat {\mathbf {r} }}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-By\\Bx\\0\end{pmatrix}}.}$$

無次元の長さとエネルギーの観点から、ハミルトニアンは次のように表される。 $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2}}\left[\left(-i{\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {y}{2}}\right)^{2}+\left(-i{\frac {\partial }{\partial y}}+{\frac {x}{2}}\right)^{2}\right]}$$

およびの係数を導入することで正しい単位を復元できます。 ${\displaystyle q,\hbar ,\mathbf {B} }$${\displaystyle m}$

演算子を考慮する $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\\{\hat {a}}^{\dagger }&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\\{\hat {b}}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\\{\hat {b}}^{\dagger }&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\end{aligned}}}$$

これらの演算子は特定の交換関係に従う $${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }]=1.}$$

上記の演算子に関して、ハミルトニアンは 次のように記述できます。ここで単位を再導入します。 $${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right),}$$

ランダウ準位指数は演算子の固有値です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\hat {N}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}$

の適用はを維持しながら 1 単位増加しますが、 の適用は 1 単位増加と 1 単位減少を同時に行います。量子調和振動子との類似性により、 と の 解 が得られます 。${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$${\displaystyle m_{z}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m_{z}}$$${\displaystyle {\hat {H}}|n,m_{z}\rangle =E_{n}|n,m_{z}\rangle ,}$$$${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}$$$${\displaystyle |n,m_{z}\rangle ={\frac {({\hat {b}}^{\dagger })^{m_{z}+n}}{\sqrt {(m_{z}+n)!}}}{\frac {({\hat {a}}^{\dagger })^{n}}{\sqrt {n!}}}|0,0\rangle .}$$

上記の状態は、 に比例する波動関数を選択することに対応していることを確認でき ます。 $${\displaystyle \psi _{n,m_{z}}(x,y)=\left({\frac {\partial }{\partial w}}-{\frac {\bar {w}}{4}}\right)^{n}w^{n+m_{z}}e^{-|w|^{2}/4}}$$${\displaystyle w=x-iy}$

特に、最も低いランダウレベルは、ガウス分布を乗じた任意の解析関数で構成されます。 ${\displaystyle n=0}$${\displaystyle \psi (x,y)=f(w)e^{-|w|^{2}/4}}$

ランダウ準位の影響は、平均熱エネルギーkTがエネルギー準位間隔kT ≪ ħω _cよりも小さい場合にのみ観察されます。これは低温と強い磁場を意味します。

各ランダウ準位は、第2量子数k _yによって縮退しており、 Nは整数 である 。N の許容値は、振動子の力の中心x ₀が物理的にシステム内に存在しなければならないという条件によってさらに制限され、 0 ≤ x ₀ < L _xとなる。これにより、 Nの範囲は次のようになる。 $${\displaystyle k_{y}={\frac {2\pi N}{L_{y}}},}$$$${\displaystyle 0\leq N<{\frac {m\omega _{\rm {c}}L_{x}L_{y}}{2\pi \hbar }}.}$$

電荷q = Zeを持つ粒子の場合、 Nの上限は単純に磁束の比として表すことができます。 ここで、 Φ ₀ = h / eは基本磁束量子であり、Φ = BA はシステムを通過する磁束です (面積A = L _x L _y )。 $${\displaystyle {\frac {ZBL_{x}L_{y}}{(h/e)}}=Z{\frac {\Phi }{\Phi _{0}}},}$$

したがって、スピンSを持つ粒子の場合、ランダウ準位あたりの粒子の 最大数D は、 電子の場合 ( Z = 1、S = 1/2 ) 、 D = 2Φ/Φ ₀となり、システムを貫通する各磁束量子に対して 2 つの状態が利用可能になります。 $${\displaystyle D=Z(2S+1){\frac {\Phi }{\Phi _{0}}}~,}$$

上記は有限サイズの幾何学の効果について大まかな考えを示したに過ぎません。厳密に言えば、調和振動子の標準解の使用は、x方向に境界のないシステム（無限ストリップ）に対してのみ有効です。サイズL _xが有限の場合、その方向の境界条件により、磁場に対する非標準の量子化条件が生じ、（原理的には）エルミート方程式の両方の解が関係します。これらのレベルを多数の電子で満たすことは、現在でも活発な研究分野 です^{[5] 。}

一般的に、ランダウ準位は電子システムで観察されます。磁場が増加すると、より多くの電子が特定のランダウ準位に収まります。最も高いランダウ準位の占有率は、完全に満たされた状態から完全に空の状態までの範囲で変化し、さまざまな電子特性の振動を引き起こします (ド・ハース・ファン・アルフェン効果およびシュブニコフ・ド・ハース効果を参照)。

ゼーマン分裂を考慮すると、各ランダウ準位は、スピンアップ電子用とスピンダウン電子用のペアに分裂します。この場合、各スピンランダウ準位の占有率は、フラックス比D = Φ/Φ ₀になります。ランダウ準位のエネルギースケールは同じ ( 2 μ _B B = ħω _{c )}であるため、ゼーマン分裂はランダウ準位に大きな影響を与えます。ただし、多くの満たされた準位を持つシステムでは、フェルミエネルギーと基底状態エネルギーはほぼ同じままです。これは、分割されたエネルギー準位のペアが合計されると互いに打ち消し合うためです。

さらに、上記のランダウゲージの導出では、電子がz方向に閉じ込められていると仮定しましたが、これは、たとえば 2 次元電子ガスで見られるような、関連する実験状況です。それでも、この仮定は結果にとって重要ではありません。電子がz方向に沿って自由に移動できる場合、波動関数には追加の乗法項exp( ik _z z )が加わります。この自由運動に対応するエネルギー( ħ k _z ) ² /(2 m )が、説明したEに追加されます。この項は、異なるランダウ準位のエネルギーの分離を埋め、量子化の効果をぼかします。それでも、磁場に垂直な x - y平面内の運動は依然として量子化されています。

各ランダウ準位には、対称ゲージの量子数でラベル付けされた縮退軌道があります。単位面積あたりの縮退は各ランダウ準位で同じです。 ${\displaystyle m_{z}}$

角運動量の Z成分は$${\displaystyle {\hat {L}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}=-\hbar ({\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}-{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}})}$$

この特性を利用して、とを対角化する固有関数を選択しました。 の固有値は で表されます。ここで、 番目のランダウ レベルではであることは明らかです。ただし、この値は任意に大きくてもかまいません。これは、システムが示す無限の縮退 (または単位面積あたりの有限の縮退) を得るために必要です。 ${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {L}}_{z}]=0}$${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$${\displaystyle -m_{z}\hbar }$${\displaystyle m_{z}\geq -n}$${\displaystyle n}$

一定磁場下でのディラック方程式に従う電子は解析的に解くことができる。 ^{[6] [7]}エネルギーは次のように与えられる。 $${\displaystyle E_{\rm {rel}}=\pm {\sqrt {(mc^{2})^{2}+(c\hbar k_{z})^{2}+2\nu \hbar \omega _{\rm {c}}mc^{2}}}}$$

ここで、cは光速、符号は粒子-反粒子成分に依存し、ν は負でない整数です。スピンにより、ν = 0の基底状態を除いて、すべてのレベルは縮退しています。

質量のない2Dのケースは、ディラックコーンの近くのグラフェンのような単層材料でシミュレートすることができ、固有エネルギーは^[8]で与えられ、ここで光速は材料のフェルミ速度v _F に置き換えられ、マイナス記号は電子ホールに対応します。 $${\displaystyle E_{\rm {graphene}}=\pm {\sqrt {2\nu \hbar eBv_{\rm {F}}^{2}}}}$$

フェルミ気体（相互作用しないフェルミ粒子の集合）は、金属の熱力学的性質を理解するための基礎の一部です。1930年にランダウはフェルミ気体の磁化率の推定値を導きました。これはランダウ磁化率と呼ばれ、小さな磁場に対しては一定です。ランダウはまた、大きな磁場に対して磁化率が高周波で振動することにも気づきました。^[9]この物理現象はド・ハース・ファン・アルフェン効果として知られています。

2次元無限格子内の荷電粒子の緊密な結合エネルギースペクトルは、ホフスタッターの蝶で実証されているように、自己相似性がありフラクタルであることが知られています。磁束量子と格子セルを通過する磁束の比が整数の場合、大きな整数のランダウ準位が回復されます。^[10]

強い磁場中の半導体のエネルギースペクトルは、整数のインデックスでラベル付けできるランダウ準位を形成します。さらに、ホール抵抗率も整数νでラベル付けされた離散準位を示します。これら2つの量が関連しているという事実はさまざまな方法で示すことができますが、最も簡単にはドルーデモデルから見ることができます。ホール伝導率は、電子密度nに依存します。

${\displaystyle \rho _{xy}={\frac {B}{ne}}.}$

抵抗率プラトーは次のように表される。

${\displaystyle \rho _{xy}={\frac {2\pi \hbar }{e^{2}}}{\frac {1}{\nu }},}$

必要な密度は

${\displaystyle n={\frac {B}{\Phi _{0}}}\nu ,}$

これはまさにランダウ準位を満たすために必要な密度です。異なるランダウ準位間のギャップと各準位の大きな縮退により、抵抗率は量子化されます。

• ラフリン波動関数

• レブ・ランダウ (1930)。 「金属の反磁性」(PDF) (ドイツ語)。{{cite web}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)

• Landau, LD; および Lifschitz, EM; (1977)。量子力学: 非相対論的理論。理論物理学講座。第 3 巻 (第 3 版。ロンドン: Pergamon Press) 。ISBN 0750635398。