プラズマ振動

電子の熱運動を無視すると、電荷密度はプラズマ周波数​​で振動する。

${\displaystyle \omega _{\mathrm {pe} }={\sqrt {\frac {n_{\mathrm {e} }e^{2}}{m^{*}\varepsilon _{0}}}},\quad {\text{[rad/s]}}\quad {\text{(SI 単位)}}}$

${\displaystyle \omega _{\mathrm {pe} }={\sqrt {\frac {4\pi n_{\mathrm {e} }e^{2}}{m^{*}}}},\quad {\text{[rad/s]}}\quad {\text{(cgs 単位)}}}$

どこ${\displaystyle n_{\mathrm {e} }}$は電子数密度であり、${\displaystyle e}$は基本電荷であり、${\displaystyle m^{*}}$は電子の有効質量であり、$\displaystyle \varepsilon _{0}}$は真空の誘電率です。これはイオンの質量が無限大であると仮定していますが、電子はイオンよりもはるかに軽いため、これは良い近似です。

マクスウェル方程式^{[ 2 ]}を用いた導出では、誘電条件を介して同じ結果が得られる。${\displaystyle \epsilon (\omega )=0}$これはプラズマの透明性と波動伝播の条件である。

天体物理学において重要な電子・陽電子プラズマにおいては、この式を修正する必要がある。プラズマ周波数​​は波長に依存しないため、ラングミュア波は無限の位相速度とゼロの群速度を持つ。

のために${\displaystyle m^{*}=m_{\mathrm {e} }}$周波数は電子密度と物理定数のみに依存する。線形プラズマ周波数​​は次のようになる。

${\displaystyle f_{\text{pe}}={\frac {\omega _{\text{pe}}}{2\pi }}\quad {\text{[Hz]}}}$

金属はプラズマ周波数​​以下の光（紫外線領域、約10²³電子/cm³）を反射する。そのため、可視光の下では光沢を帯びて見える。

電子の熱速度の影響を含めて${\displaystyle v_{\mathrm {e,th} }={\sqrt {k_{\mathrm {B} }T_{\mathrm {e} }/m_{\mathrm {e} }}}}$分散関係は次のようになる。

${\displaystyle \omega ^{2}=\omega _{\mathrm {pe} }^{2}+3k^{2}v_{\mathrm {e,th} }^{2}}$

これはボーム・グロス分散関係として知られています。長波長では圧力の影響は最小限ですが、短波長では分散が支配的です。これらの小さなスケールでは、波の位相速度は${\displaystyle v_{\mathrm {ph} }=\omega /k}$に匹敵する${\displaystyle v_{\mathrm {e,th} }}$ランダウ減衰につながる。

境界のあるプラズマでは、低温電子であっても、周辺場の影響によりプラズマ振動が伝播する可能性がある。

金属や半導体では、イオンの周期的な電位は有効質量を用いて考慮される。${\displaystyle m^{*}}$。

プラズマ振動は、有効な負の質量をもたらす可能性があります。図 1 の質量-ばねモデルを考えます。運動方程式を解き、システムを単一の有効質量に置き換えると、次のようになります。^{[ 3 ] [ 4 ]}

$${\displaystyle m_{\rm {eff}}=m_{1}+{\frac {m_{2}\omega _{0}^{2}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}}$$

どこ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {k_{2}/m_{2}}}}$。 として${\displaystyle \omega }$アプローチ${\displaystyle \omega _{0}}$上から見て、${\displaystyle m_{\rm {eff}}}$マイナスになる。

この類推はプラズモン系にも当てはまります（図2）。格子中の電子ガスのプラズマ振動はバネ系のように振る舞い、有効質量を与えます。

${\displaystyle m_{\rm {eff}}=m_{1}+{\frac {m_{2}\omega _{\rm {p}}^{2}}{\omega _{\rm {p}}^{2}-\omega ^{2}}}}$

近く${\displaystyle \omega _{\rm {p}}}$この実効質量は負になります。この挙動を利用したメタマテリアルが研究されています。^{[ 5 ] [ 6 ]}