調和振動子

古典力学において、調和振動子とは、平衡位置から変位したときに、変位xに比例する復元力F を受ける系のことである。 $${\displaystyle {\vec {F}}=-k{\vec {x}},}$$ ここでkは正の定数である。

調和振動子モデルは物理学において重要である。なぜなら、安定した平衡状態にある力を受けるあらゆる質量は、小さな振動に関しては調和振動子として振る舞うからである。調和振動子は自然界に広く存在し、時計や無線回路など、多くの人工装置にも利用されている。

Fがシステムに作用する唯一の力である場合、そのシステムは単振動子と呼ばれ、一定の振幅と一定の周波数（振幅に依存しない）で平衡点の周りを正弦波状に振動する単振動運動を行います。

速度に比例する摩擦力（減衰）も存在する場合、調和振動子は減衰振動子と呼ばれます。摩擦係数に応じて、システムは以下のようになります。

• 減衰がない場合よりも低い周波数で振動し、振幅は時間とともに減少する（減衰振動子）。
• 振動することなく平衡位置まで減衰する（過減衰振動子）。

減衰不足振動子と過減衰振動子の間の境界解は、摩擦係数の特定の値で発生し、臨界減衰と呼ばれます。

外部の時間依存力が存在する場合、調和振動子は強制振動子と呼ばれます。

機械的な例としては、振り子（変位角が小さいもの）、ばねに接続された質量、音響システムなどが挙げられる。その他の類似システムとしては、 RLC回路などの電気的な調和振動子がある。これらは、事実上すべての正弦波振動と波の発生源となっている。

質量-ばね調和振動子

単振動

単純調和振動子は、駆動も減衰も受けない振動子です。質量から構成されています。${\displaystyle m}$単一の力を受ける${\displaystyle F}$質量をその点の方向に引っ張る${\displaystyle x=0}$そして位置のみに依存する${\displaystyle x}$質量と定数${\displaystyle k}$システムの 力の平衡（ニュートンの第二法則）は$${\displaystyle F=ma=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=m{\ddot {x}}=-kx.}$$

この微分方程式を解くと、運動は次の関数で表されることがわかります。 $${\displaystyle x(t)=A\sin(\omega t+\varphi ),}$$ どこ $${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}.}$$

この運動は周期的であり、一定の振幅Aで正弦波状に繰り返される。単振動子の運動は、振幅に加えて周期によっても特徴づけられる。${\displaystyle T=2\pi /\omega }$1回の振動にかかる時間、またはその周波数${\displaystyle f=1/T}$単位時間あたりのサイクル数。特定の時刻tにおける位置も位相に依存します。${\displaystyle \varphi }$は正弦波の開始点を決定します。周期と周波数は質量mと力定数kによって決定され、振幅と位相は開始位置と速度によって決定されます。

単振動子の速度と加速度は、位置と同じ周波数で振動するが、位相はずれている。速度は変位がゼロのときに最大となり、加速度は変位とは逆方向になる。

変位xにおける単振動子に蓄えられる位置エネルギーは $${\displaystyle U={\tfrac {1}{2}}kx^{2}.}$$

実際の振動子では、摩擦または減衰によってシステムの運動が遅くなります。摩擦力により、速度は作用する摩擦力に比例して減少します。単純な非駆動調和振動子では、質量に作用する力は復元力のみですが、減衰調和振動子では、それに加えて、常に運動に抵抗する方向の摩擦力が存在します。多くの振動システムでは、摩擦力F _fは物体の速度vに比例するとモデル化できます。F f ₌ − cv、ここでcは粘性減衰係数と呼ばれます。

減衰調和振動子の力の平衡（ニュートンの第2法則）は次のようになります^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}$${\displaystyle F=-kx-c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}},}$$ これは次の形式に書き換えることができます $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x=0,}$$ どこ

• $\omega_0 = √k/m$これは「発振器の減衰のない角周波数」と呼ばれ、
• ${\textstyle \zeta ={\frac {c}{2{\sqrt {mk}}}}}$これは「減衰比」と呼ばれます。

減衰比ζの値は、システムの挙動を決定的に左右する。減衰調和振動子は、以下のようになる。

• 過減衰（ζ > 1）：システムは振動することなく定常状態に戻ります（指数関数的に減衰します）。減衰比ζの値が大きいほど、平衡状態に戻る速度は遅くなります。
• 臨界減衰（ζ = 1）：システムは振動することなく、可能な限り速やかに定常状態に戻ります（ただし、初期速度がゼロでない場合はオーバーシュートが発生する可能性があります）。これは、ドアなどのシステムの減衰によく求められます。
• 減衰振動（ζ < 1）：システムは（減衰振動の場合とはわずかに異なる周波数で）振幅が徐々にゼロに減少しながら振動します。減衰振動する調和振動子の角周波数は次式で与えられます。${\textstyle \omega _{1}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}},}$減衰振動子の指数関数的減衰は次のように表される。${\displaystyle \lambda =\omega _{0}\zeta .}$

減衰振動子のQ値は次のように定義される。

$${\displaystyle Q=2\pi \times {\frac {\text{蓄積エネルギー}}{\text{1サイクルあたりの損失エネルギー}}}.}$$

Qは減衰比と次の関係にある。${\textstyle Q={\frac {1}{2\zeta }}.}$

駆動調和振動子（強制調和振動子とも呼ばれる）は、外部から加えられた力F ( t ) によってさらに影響を受ける減衰振動子である。

ニュートンの第二法則は次の形をとる。 $${\displaystyle F(t)-kx-c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}.}$$

通常は次の形式に書き換えられます。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {F(t)}{m}}.}$$

この方程式は、無負荷方程式を満たす解z ( t ) を用いることで、任意の駆動力に対して厳密に解くことができる。$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}z=0,}$$

そしてそれは減衰正弦波振動として表現できる。 $${\displaystyle z(t)=Ae^{-\zeta \omega _{0}t}\sin \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{0}t+\varphi \right),}$$ζ ≤ 1 の場合。振幅Aと位相φ は、初期条件に一致させるために必要な挙動を決定します。

正弦波駆動力

正弦波状の駆動力の場合： $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {1}{m}}F_{0}\sin(\omega t),}$$ どこ${\displaystyle F_{0}}$は駆動振幅であり、${\displaystyle \omega }$は、正弦波駆動機構の駆動周波数です。このタイプのシステムは、交流駆動RLC回路（抵抗器-インダクタンス-コンデンサ）や、内部機械抵抗または外部空気抵抗を有する駆動バネシステムに見られます。

一般解は、初期条件に依存する過渡解と、初期条件に依存せず駆動振幅のみに依存する定常状態との和である。${\displaystyle F_{0}}$駆動周波数${\displaystyle \omega }$減衰のない角周波数$\displaystyle \omega _{0}}$減衰比${\displaystyle \zeta }$。

定常状態解は駆動力に比例し、位相変化が誘発される。${\displaystyle \varphi }$: $${\displaystyle x(t)={\frac {F_{0}}{mZ_{m}\omega }}\sin(\omega t+\varphi ),}$$ どこ $$${\displaystyle Z_{m}={\sqrt {\left(2\omega _{0}\zeta \right)^{2}+{\frac {1}{\omega ^{2}}}(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}}$$$はインピーダンスまたは線形応答関数の絶対値 であり、 $${\displaystyle \varphi =\arctan \left({\frac {2\omega \omega _{0}\zeta }{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}\right)+n\pi }$$

は、駆動力に対する振動の位相です。位相の値は通常、-180°から0の間とされます（つまり、arctan引数の正負両方の値に対して位相遅れを表します）。

共振周波数と呼ばれる特定の駆動周波数に対して${\textstyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}}$振幅（与えられた場合）${\displaystyle F_{0}}$）が最大となる。この共鳴効果は、${\displaystyle \zeta <1/{\sqrt {2}}}$つまり、著しく減衰不足なシステムの場合です。強く減衰不足なシステムの場合、共振周波数付近で振幅の値が非常に大きくなることがあります。

過渡解は強制のない解と同じである（${\displaystyle F_{0}=0}$減衰調和振動子であり、以前に発生した他のイベントに対するシステムの応答を表します。

パラメトリック発振器とは、減衰力や復元力などの発振器のパラメータを変化させることで駆動エネルギーが供給される、駆動型調和発振器のことです。パラメトリック発振の身近な例としては、遊具のブランコでの「ポンピング」が挙げられます。^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} 動いているブランコに乗っている人は、ブランコの振動に合わせて前後に揺れる（「ポンピング」）か、立ったりしゃがんだりを交互に繰り返すことでブランコの慣性モーメントを変化させ、外部からの駆動力（押す力）を加えなくてもブランコの振動振幅を大きくすることができます。パラメータを変化させることでシステムが駆動されます。変化させることができるパラメータの例としては、共振周波数などがあります。${\displaystyle \omega }$減衰${\displaystyle \beta }$。

パラメトリック発振器は多くの用途で使用されています。古典的なバラクタ型パラメトリック発振器は、ダイオードの静電容量を周期的に変化させることで発振します。ダイオードの静電容量を変化させる回路は「ポンプ」または「ドライバ」と呼ばれます。マイクロ波エレクトロニクスでは、導波管／YAGを用いたパラメトリック発振器も同様の原理で動作します。設計者は、発振を誘起するためにパラメータを周期的に変化させます。

パラメトリック発振器は、特に無線周波数帯およびマイクロ波周波数帯において、低雑音増幅器として開発されました。リアクタンス（抵抗ではなく）が変化するため、熱雑音は最小限です。もう1つの一般的な用途は周波数変換、例えば音声周波数から無線周波数への変換です。例えば、光パラメトリック発振器は、入力レーザー波を2つの低周波数（${\displaystyle \omega _{s},\omega _{i}}$)

パラメトリック共振は、機械システムがパラメトリック励起を受け、その共振周波数のいずれかで振動するときに発生する現象です。パラメトリック励起は、システムパラメータに対する時間的に変化する変化として作用するため、強制とは異なります。この現象は不安定性を示すため、通常の共振とは異なります。

方程式 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} \tau }}+q=0}$$これは普遍振動子方程式 として知られており、すべての2次線形振動系はこの形式に還元できます。これは無次元化によって行われます。

強制関数がf ( t ) = cos( ωt ) = cos( ωt _c τ ) = cos( ωτ )で、ω = ωt _cの場合、方程式は次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} \tau }}+q=\cos(\omega \tau ).}$$

この微分方程式の解は、「過渡状態」と「定常状態」の2つの部分から構成される。

定常状態解

以下の補助方程式を解き、その解の実部を求めることで、 「複素変数法」を適用してください。$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} \tau }}+q=\cos(\omega \tau )+i\sin(\omega \tau )=e^{i\omega \tau }.}$$

解が次の形式であると仮定する $${\displaystyle q_{s}(\tau )=Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}.}$$

その0次から2次までの導関数は $${\displaystyle q_{s}=Ae^{i(\omega \tau +\varphi )},\quad {\frac {\mathrm {d} q_{s}}{\mathrm {d} \tau }}=i\omega Ae^{i(\omega \tau +\varphi )},\quad {\frac {\mathrm {d} ^{2}q_{s}}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}=-\omega ^{2}Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}.}$$

これらの量を微分方程式に代入すると、 $${\displaystyle -\omega ^{2}Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}+2\zeta i\omega Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}+Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}=(-\omega ^{2}A+2\zeta i\omega A+A)e^{i(\omega \tau +\varphi )}=e^{i\omega \tau }.}$$

左辺の指数項で割ると、 $${\displaystyle -\omega ^{2}A+2\zeta i\omega A+A=e^{-i\varphi }=\cos \varphi -i\sin \varphi .}$$

実部と虚部を等しくすると、2つの独立した方程式が得られる。 $${\displaystyle A(1-\omega ^{2})=\cos \varphi ,\quad 2\zeta \omega A=-\sin \varphi .}$$

振幅部分

両方の式を二乗して足し合わせると、 $${\displaystyle \left.{\begin{aligned}A^{2}(1-\omega ^{2})^{2}&=\cos ^{2}\varphi \\(2\zeta \omega A)^{2}&=\sin ^{2}\varphi \end{aligned}}\right\}\Rightarrow A^{2}[(1-\omega ^{2})^{2}+(2\zeta \omega )^{2}]=1.}$$

したがって、 $${\displaystyle A=A(\zeta ,\omega )=\operatorname {sgn} \left({\frac {-\sin \varphi }{2\zeta \omega }}\right){\frac {1}{\sqrt {(1-\omega ^{2})^{2}+(2\zeta \omega )^{2}}}}.}$$

この結果を、共振に関する理論のセクション、およびRLC回路の「振幅部分」と比較してください。この振幅関数は、2次システムの周波数応答の解析と理解において特に重要です。

位相部分

φを求めるには、両方の式を割って、 $${\displaystyle \tan \varphi =-{\frac {2\zeta \omega }{1-\omega ^{2}}}={\frac {2\zeta \omega }{\omega ^{2}-1}}~~\implies ~~\varphi \equiv \varphi (\zeta ,\omega )=\arctan \left({\frac {2\zeta \omega }{\omega ^{2}-1}}\right)+n\pi .}$$

この位相関数は、二次システムの周波数応答の解析と理解において特に重要である。

工学の様々な分野で発生する調和振動子は、その数学モデルが同一であるという意味で等価です（上記の普遍振動子方程式を参照）。以下は、力学および電子工学における4つの調和振動子システムにおける類似の量を示す表です。表の同じ行にある類似のパラメータに数値的に等しい値を与えると、振動子の挙動（出力波形、共振周波数、減衰係数など）は同じになります。  

単振動の問題は物理学において頻繁に現れる。なぜなら、あらゆる保存力の影響下にある平衡状態の質量は、微小運動の極限において、単振動のように振る舞うからである。

保存力とは、位置エネルギーと関連付けられる力のことである。調和振動子の位置エネルギー関数は次のようになる。 $${\displaystyle V(x)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}.}$$

任意のポテンシャルエネルギー関数が与えられた場合${\displaystyle V(x)}$テイラー展開は、${\displaystyle x}$エネルギー最小値の周り（${\displaystyle x=x_{0}}$平衡状態からの小さな摂動の挙動をモデル化する。

$${\displaystyle V(x)=V(x_{0})+V'(x_{0})\cdot (x-x_{0})+{\tfrac {1}{2}}V''(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{2}+O(x-x_{0})^{3}.}$$

なぜなら${\displaystyle V(x_{0})}$最小値であり、1 階微分は${\displaystyle x_{0}}$はゼロでなければならないので、線形項は消える。 $${\displaystyle V(x)=V(x_{0})+{\tfrac {1}{2}}V''(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{2}+O(x-x_{0})^{3}.}$$

定数項V ( x ₀ )は任意であるため省略でき、座標変換によって単純調和振動子の形を再現することができる。 $${\displaystyle V(x)\approx {\tfrac {1}{2}}V''(0)\cdot x^{2}={\tfrac {1}{2}}kx^{2}.}$$

したがって、任意のポテンシャルエネルギー関数が与えられた場合${\displaystyle V(x)}$2階微分がゼロでない場合、単純調和振動子の解を用いて、平衡点付近の小さな摂動に対する近似解を求めることができる。

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• ファインマン物理学講義より「調和振動子」