ダンピング

物理システムにおいて、減衰とは振動系のエネルギーが散逸によって失われることである。^{[1] [2]}減衰とは、振動系の内部または振動系への影響であり、振動を低減または防止する効果を持つ。^[3]減衰の例には、流体の粘性減衰（粘性抵抗を参照）、表面摩擦、放射、^{[1] 、}電子振動子の抵抗、光振動子の光の吸収と散乱などがある。エネルギー損失に基づかない減衰は、生物系や自転車^[4]（例：サスペンション（機械） ）で発生するものなど、他の振動系で重要になることがある。減衰を、システムに作用する散逸力の一種である摩擦と混同しないように注意する必要がある。摩擦は減衰を引き起こしたり、減衰の要因になったりする。

減衰比は、外乱後にシステム内の振動がどのように減衰するかを表す無次元の尺度です。多くのシステムは、静的平衡の位置から外乱を受けると振動挙動を示します。たとえば、バネで吊り下げられた質量を引っ張って放すと、上下に跳ね返ります。跳ね返るたびに、システムは平衡位置に戻ろうとしますが、それをオーバーシュートします。場合によっては、損失 (摩擦など) によってシステムが減衰し、振動の振幅が徐々にゼロに向かって減衰したり、減衰したりすることがあります。減衰比は、振動が 1 回の跳ね返りから次の跳ね返りまでにどれだけ速く減衰するかを表す尺度です。

減衰比は、 ζ（「ゼータ」）で表されるシステムパラメータであり、減衰なし（ζ = 0）、減衰不足（ζ < 1） 、臨界減衰（ζ = 1）、過剰減衰（ζ > 1）まで変化します。

振動システムの挙動は、制御工学、化学工学、機械工学、構造工学、電気工学など、さまざまな分野で関心を集めています。振動する物理量は大きく異なり、風で揺れる高層ビルや電気モーターの速度などが考えられますが、一般的な挙動の側面を説明するには、正規化または無次元化アプローチが便利です。

存在する減衰の量に応じて、システムは異なる振動動作と速度を示します。

• バネ-質量系が完全に損失なしの場合、質量は無限に振動し、各跳ね返りの高さは前回と同じになります。この仮説的なケースは、非減衰と呼ばれます。
• システムに高い損失がある場合、たとえばバネと質量の実験が粘性流体内で行われた場合、質量はオーバーシュートすることなくゆっくりと静止位置に戻る可能性があります。このケースは、過減衰と呼ばれます。
• 一般的に、質量は開始位置をオーバーシュートし、その後戻って再びオーバーシュートする傾向があります。オーバーシュートするたびに、システム内のエネルギーがいくらか消費され、振動はゼロに向かって減少します。このケースは、減衰不足と呼ばれます。
• 過剰減衰と不足減衰のケースの間には、システムがオーバーシュートせず、単一の振動も起こさない特定のレベルの減衰が存在します。このケースは臨界減衰と呼ばれます。臨界減衰と過剰減衰の主な違いは、臨界減衰ではシステムが最短時間で平衡状態に戻ることです。^[5]

減衰正弦波または減衰正弦曲線は、時間の経過とともに振幅がゼロに近づく正弦関数です。これは、減衰2次システムまたは減衰2次微分方程式の減衰不足の場合に対応します。 ^[6] 減衰正弦波は、調和振動子が供給されるよりも速くエネルギーを失う科学および工学の分野でよく見られます。時間 = 0 で始まる真の正弦波は、原点 (振幅 = 0) から始まります。余弦波は、正弦波との位相差により最大値で始まります。与えられた正弦波形は、正弦成分と余弦成分の両方を持つ中間位相の場合があります。「減衰正弦波」という用語は、初期位相に関係なく、このような減衰波形すべてを表します。

通常想定される最も一般的な減衰形式は、線形システムに見られる形式です。この形式は指数減衰であり、連続するピークの外側のエンベロープは指数減衰曲線です。つまり、連続する各曲線の最大点を接続すると、結果は指数減衰関数に似ています。指数減衰正弦波の一般的な方程式は次のように表すことができます 。ここで、 $${\displaystyle y(t)=Ae^{-\lambda t}\cos(\omega t-\varphi )}$$

• ${\displaystyle y(t)}$は時刻tにおける瞬間振幅である。
• ${\displaystyle A}$エンベロープの初期振幅です。
• ${\displaystyle \lambda }$は、独立変数tの時間単位の逆数で表される減衰率です。
• ${\displaystyle \varphi }$t = 0における位相角です。
• ${\displaystyle \omega }$は角周波数です。

その他の重要なパラメータは次のとおりです。

• 周波数:時間単位あたりのサイクル数。時間の逆数、つまりヘルツで表されます。${\displaystyle f=\omega /(2\pi )}$${\displaystyle t^{-1}}$
• 時定数:振幅がe倍に減少するのにかかる時間。${\displaystyle \tau =1/\lambda }$
• 半減期とは、指数関数的な振幅エンベロープが 2 倍に減少するのにかかる時間です。これは に等しく、およそです。${\displaystyle \ln(2)/\lambda }$${\displaystyle 0.693/\lambda }$
• 減衰比:は、周波数に対する減衰率の無次元特性であり、およそ、または正確にです。${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \zeta =\lambda /\omega }$${\displaystyle \zeta =\lambda /{\sqrt {\lambda ^{2}+\omega ^{2}}}<1}$
• Q 係数:減衰量を表す別の無次元特性です。Q 値が高いほど、振動に対する減衰が遅いことを示します。${\displaystyle Q=1/(2\zeta )}$

減衰比は、通常ζ（ギリシャ文字のゼータ）^{[7]で表され、} 2次常微分方程式の周波数応答を特徴付けるパラメータです。これは制御理論の研究では特に重要です。また、調和振動子でも重要です。一般に、減衰比が高い（1以上）システムは、より大きな減衰効果を示します。減衰不足のシステムの値は1未満です。臨界減衰システムの減衰比はちょうど1、または少なくともそれに非常に近い値です。

減衰比は、システムの減衰レベルを臨界減衰と比較して表現する数学的手段を提供します。質量m、減衰係数c、バネ定数kを持つ減衰調和振動子の場合、減衰比はシステムの微分方程式の減衰係数と臨界減衰係数の比として定義できます。

${\displaystyle \zeta ={\frac {c}{c_{c}}}={\frac {\text{actual damping}}{\text{critical damping}}},}$

ここで、システムの運動方程式は

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+c{\frac {dx}{dt}}+kx=0}$^[8 ]

そして対応する臨界減衰係数は

${\displaystyle c_{c}=2{\sqrt {km}}}$

または

${\displaystyle c_{c}=2m{\sqrt {\frac {k}{m}}}=2m\omega _{n}}$

どこ

${\displaystyle \omega _{n}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$システムの固有振動数です。

減衰比は無次元であり、同一単位の 2 つの係数の比です。

調和振動子 の固有振動数と上記の減衰比の定義を使用すると、これを次のように書き直すことができます。 ${\textstyle \omega _{n}={\sqrt {{k}/{m}}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\zeta \omega _{n}{\frac {dx}{dt}}+\omega _{n}^{2}x=0.}$

この方程式は、質量-バネ系だけではなく、電気回路や他の領域にも適用できます。この方程式は次のアプローチで解くことができます。

${\displaystyle x(t)=Ce^{st},}$

ここでCとsはともに複素定数であり、sは

${\displaystyle s=-\omega _{n}\left(\zeta \pm i{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\right).}$

方程式を満たすsの 2 つの値に対する 2 つの解を組み合わせると、いくつかの領域で振動および減衰特性を持つ一般的な実数解を作成できます。

減衰なし

は減衰のない単純な調和振動子に対応する場合であり、その場合、解は予想どおり のようになります。このケースは自然界では非常にまれであり、最も近い例は摩擦が意図的に最小値にまで低減された場合です。${\displaystyle \zeta =0}$${\displaystyle \exp(i\omega _{n}t)}$

減衰不足

s が複素数値のペアである場合、各複素解項は、 のような振動部分と組み合わされた減衰指数になります。 このケースは の場合に発生し、減衰不足(例: バンジー ケーブル)と呼ばれます。${\textstyle \exp \left(i\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}t\right)}$${\displaystyle \ 0\leq \zeta <1}$

過剰減衰

s が実数値のペアである場合、解は振動のない 2 つの減衰指数の単なる合計になります。このケースは の場合に発生し、過剰減衰と呼ばれます。過剰減衰が実用的な状況では、オーバーシュート (通常は機械的ではなく電気的) が発生すると悲惨な結果になる傾向があります。たとえば、自動操縦で飛行機を着陸させる場合、システムがオーバーシュートして着陸装置をリリースするのが遅すぎると、結果は悲惨なものになります。${\displaystyle \zeta >1}$

重大な減衰

は過剰減衰の場合と減衰不足の場合の境界であり、臨界減衰と呼ばれます。これは、減衰振動子の工学設計が必要とされる多くの場合（ドア閉鎖機構など）、望ましい結果となります。${\displaystyle \zeta =1}$

Q値、減衰率ζ、指数関数的減衰率αは次のように関係している[ ^9]

${\displaystyle \zeta ={\frac {1}{2Q}}={\alpha \over \omega _{n}}.}$

2次システムが を持つ場合（つまり、システムが減衰不足の場合）、それぞれがの実数部を持つ2つの複素共役極を持ちます。つまり、減衰率パラメータは振動の指数関数的減衰率を表します。減衰率が低いということは減衰率も低いことを意味し、そのため減衰不足のシステムでは長時間振動します。^[10] たとえば、減衰率が非常に低い高品質の音叉 の振動は長時間続き、ハンマーで叩かれた後は非常にゆっくりと減衰します。 ${\displaystyle \zeta <1}$${\displaystyle -\alpha }$${\displaystyle \alpha }$

減衰不足の振動の場合、減衰比は対数減衰率 とも関係があります。減衰比は、2つのピークが隣接していなくても求めることができます。^[11] 隣接するピークの場合: ^[12]${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \zeta ={\frac {\delta }{\sqrt {\delta ^{2}+\left(2\pi \right)^{2}}}}}$ どこ${\displaystyle \delta =\ln {\frac {x_{0}}{x_{1}}}}$

ここで、x ₀とx _{1 は、}連続する任意の 2 つのピークの振幅です。

右の図に示すように:

${\displaystyle \delta =\ln {\frac {x_{1}}{x_{3}}}=\ln {\frac {x_{2}}{x_{4}}}=\ln {\frac {x_{1}-x_{2}}{x_{3}-x_{4}}}}$

ここで、、は連続する 2 つの正のピークの振幅であり、、は連続する 2 つの負のピークの振幅です。 ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{3}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{4}}$

制御理論では、オーバーシュートとは出力が最終的な定常値を超えることを指します。^[13]ステップ入力 の場合、パーセンテージオーバーシュート（PO）は最大値からステップ値を引いた値をステップ値で割ったものです。単位ステップの場合、オーバーシュートはステップ応答の最大値から1を引いた値になります。

オーバーシュート率（PO）は減衰率（ζ）と次の式で関係します。

${\displaystyle \mathrm {PO} =100\exp \left({-{\frac {\zeta \pi }{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}\right)}$

逆に、与えられたパーセンテージのオーバーシュートをもたらす 減衰率（ζ ）は次のように表されます。

${\displaystyle \zeta ={\frac {-\ln \left({\frac {\rm {PO}}{100}}\right)}{\sqrt {\pi ^{2}+\ln ^{2}\left({\frac {\rm {PO}}{100}}\right)}}}}$

物体が空中を落下する場合、その自由落下に抵抗する唯一の力は空気抵抗です。水や油の中を落下する物体はより大きな速度で減速し、最終的には抗力が重力の力と平衡状態になり、定常速度に達します。これが粘性抗力の概念であり、例えば自動ドアやドアのバタンと閉まらないドアに応用されています。^[14]

交流（AC）で動作する電気システムでは、LC共振回路を減衰させるために抵抗器を使用します。^[14]

振動を引き起こす運動エネルギーは、コイルまたはアルミニウム板によって磁石の極を通過することで誘導される渦電流によって熱として消散されます。渦電流は電磁誘導の重要な構成要素であり、振動運動に直接反対する磁束を発生させ、抵抗力を生み出します。^{[15]言い換えれば、磁力によって引き起こされる抵抗はシステムを減速させます。この概念が応用されている例としては、ジェットコースターの}ブレーキがあります。^[16]

磁気粘性ダンパー（MRダンパー）は、磁場を受けると粘度が変化する磁気粘性流体を使用します。この場合、磁気粘性減衰は、粘性減衰機構と磁気減衰機構の両方を備えた学際的な減衰形式と考えることができます。 ^{[17] [18]}

• 「ダンピング」。ブリタニカ百科事典。
• OpenStax、カレッジ。「物理学」。ルーメン。