フラドキンテンソル

フラドキンテンソル、またはヤウチ・ヒル・フラドキンテンソルは、ヨゼフ・マリア・ヤウチとエドワード・リー・ヒル^{[ 1 ]}およびデイビッド・M・フラドキン^{[ 2 ]}にちなんで名付けられ、古典力学における等方性多次元調和振動子の取り扱いに用いられる保存則 である。量子力学における量子調和振動子の取り扱いには、テンソル値フラドキン演算子に置き換えられる。

フラドキンテンソルは、振動子の運動方程式を最大限超積分可能にするのに十分な保存量を提供する。^{[ 3 ]}これは、システムの軌道を決定するために、微分方程式を解く必要はなく、代数方程式だけを解けばよいことを意味する。

ケプラー問題におけるラプラス・ルンゲ・レンツベクトルと同様に、フラドキンテンソルは調和振動子の隠れた対称性から生じる。

調和振動子のハミルトニアンが次のように与えられると仮定する。

${\displaystyle H={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\vec {x}}^{2}}$

と

• 勢い${\displaystyle {\vec {p}}}$、
• 質量${\displaystyle m}$、
• 角周波数${\displaystyle \omega }$、 そして
• 変位${\displaystyle {\vec {x}}}$、

すると、フラドキンテンソル（任意の正規化を除いて）は次のように定義される。

${\displaystyle F_{ij}={\frac {p_{i}p_{j}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x_{i}x_{j}.}$

特に、${\displaystyle H}$トレースによって与えられます。${\displaystyle H=\operatorname {Tr} (F)}$フラドキンテンソルは対称行列であり、${\displaystyle n}$次元調和振動子は${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}-1}$独立したエントリ、例えば3次元空間では5つ。

• フラドキンテンソルは角運動量に直交する${\displaystyle {\vec {L}}={\vec {x}}\time {\vec {p}}}$:

  ${\displaystyle F_{ij}L_{j}=0}$

• フラドキンテンソルを変位ベクトルで縮約すると、次の関係が得られる。

  ${\displaystyle x_{i}F_{ij}x_{j}=E{\vec {x}}^{2}-{\frac {{\vec {L}}^{2}}{2m}}}$。

• フラドキンテンソルの5つの独立した成分と角運動量の3つの成分は、次の8つの生成子を与える。${\displaystyle SU(3)}$3次元の3次元特殊ユニタリ群、関係式は以下の通り

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\{L_{i},L_{j}\}&=\varepsilon _{ijk}L_{k}\\\{L_{i},F_{jk}\}&=\varepsilon _{ijn}F_{nk}+\varepsilon _{ikn}F_{jn}\\\{F_{ij},F_{kl}\}&={\frac {\omega ^{2}}{4}}\left(\delta _{ik}\varepsilon _{jln}+\delta _{il}\varepsilon _{jkn}+\delta _{jk}\varepsilon _{iln}+\delta _{jl}\varepsilon _{ikn}\right)L_{n}\,,\end{整列}}}$

どこ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$はポアソン括弧です。${\displaystyle \delta }$はクロネッカーデルタであり、${\displaystyle \varepsilon }$レビ＝チヴィタのシンボルです。

ハミルトン力学では、任意の関数の時間発展は${\displaystyle A}$位相空間上で定義されるものは、

$\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}=\{A,H\}=\sum _{k}\left({\frac {\partial A}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial A}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}\right)+{\frac {\partial A}{\partial t}}}$、

したがって、調和振動子のフラドキンテンソルについては、

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} F_{ij}}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{2}}\omega ^{2}\sum _{k}{\Big (}(x_{j}\delta _{ik}+x_{i}\delta _{jk})p_{k}-(p_{j}\delta _{ik}+p_{i}\delta _{jk})x_{k}{\Big )}=0.}$。

フラドキンテンソルは、変換に関連付けられた保存量である。

${\displaystyle x_{i}\to x_{i}'=x_{i}+{\frac {1}{2}}\omega ^{-1}\varepsilon _{jk}\left({\dot {x}}_{j}\delta _{ik}+{\dot {x}}_{k}\delta _{ij}\right)}$

ネーターの定理により。^{[ 4 ]}

量子力学では、位置と運動量は位置演算子と運動量演算子に置き換えられ、ポアソン括弧は交換子に置き換えられます。したがって、ハミルトニアンはハミルトニアン演算子に、角運動量は角運動量演算子に、フラドキンテンソルはフラドキン演算子になります。これらの置き換えを行った後も、上記のすべての性質は引き続き成り立ちます。