有効質量（バネ質量系）

実際のバネ-質量システムでは、バネは無視できない質量 を持ちます。バネの長さのすべてが吊り下げられた質量と同じ速度で動くわけではないので(たとえば、バネのもう一方の端にある、質量 と完全に反対側の点はまったく動きません)、その運動エネルギーはと等しくなりません。したがって、振動の周波数を決定するために を単純に に追加することはできず、バネの有効質量 は、システムの動作を正しく予測するために に追加する必要がある質量として定義されます。${\displaystyle m}$${\displaystyle v}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }}$${\displaystyle M}$

均一な線密度の重いバネ（非理想的）を使用する場合、バネ質量システムにおけるバネの有効質量はバネの質量であり、バネ質量システムの方向には依存しません（つまり、水平、垂直、斜めのシステムはすべて同じ有効質量を持ちます）。これは、外部加速度が平衡点の周りの運動周期に影響を与えないためです。 ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$

バネの有効質量は、バネの運動エネルギーを求めることで決定できます。速度 で移動する位置 (ダミー変数) にあるバネの微分質量要素の場合、その運動エネルギーは次のようになります。 ${\displaystyle \mathrm {d} m}$${\displaystyle s}$${\displaystyle u(s)}$

${\displaystyle \mathrm {d} K={\frac {1}{2}}\mathrm {d} m\,u^{2}}$

バネの全運動エネルギーを求めるには、すべての質量要素の運動エネルギーを加算し、次の積分が必要です。

${\displaystyle K=\int \limits _{\mathrm {spring} }{\frac {1}{2}}u^{2}\;\mathrm {d} m}$

均一な伸張を仮定すると、バネの質量分布は均一で、 は速度を測定するときのバネの長さです。したがって、 ${\displaystyle \mathrm {d} m={\frac {m}{y}}\mathrm {d} s}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle K=\int _{0}^{y}{\frac {1}{2}}u^{2}\left({\frac {m}{y}}\right)\mathrm {d} s}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\frac {m}{y}}\int _{0}^{y}u^{2}\mathrm {d} s}$

バネの各質量要素の速度は、バネが取り付けられている位置からの長さに正比例します（ブロックに近い場合は速度が大きく、天井に近い場合は速度が小さくなります）。つまり、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle u(s)={\frac {s}{y}}v}$

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}{\frac {m}{y}}\int _{0}^{y}\left({\frac {s}{y}}v\right)^{2}\mathrm {d} s}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\frac {m}{y^{3}}}v^{2}\int _{0}^{y}s^{2}\,\mathrm {d} s}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\frac {m}{y^{3}}}v^{2}\left[{\frac {s^{3}}{3}}\right]_{0}^{y}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\frac {m}{3}}v^{2}}$

予想される元の運動エネルギーの式と比較すると、この場合のバネの有効質量は です。この結果は、レイリー卿にちなんでレイリー値として知られています。 ${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2},}$${\displaystyle {\frac {m}{3}}}$

ばねの重力位置エネルギーを求めるには、同様の手順に従います。

${\displaystyle U=\int \limits _{\mathrm {spring} }\mathrm {d} m\,gs}$

${\displaystyle =\int _{0}^{y}{\frac {m}{y}}gs\;\mathrm {d} s}$

${\displaystyle =mg\,{\frac {1}{y}}\int _{0}^{y}s\;\mathrm {d} s}$

${\displaystyle =mg\,{\frac {1}{y}}\left[{\frac {s^{2}}{2}}\right]_{0}^{y}}$

${\displaystyle ={\frac {m}{2}}gy}$

この結果を使用すると、システムの全エネルギーは、バネの伸張されていない位置からの変位で表すことができます（上方向を正とし、定数ポテンシャル項を無視し、ポテンシャルエネルギーの原点を に設定します）。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}{\frac {m}{3}}v^{2}+{\frac {1}{2}}Mv^{2}+{\frac {1}{2}}ky^{2}+{\frac {1}{2}}mgy+Mgy}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(M+{\frac {m}{3}}\right)v^{2}+{\frac {1}{2}}ky^{2}+\left(M+{\frac {m}{2}}\right)gy}$

ここで、バネに沿った重力加速度が示されています。この方程式を時間に関して微分すると、運動方程式は次のようになります。 ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \left(M+{\frac {m}{3}}\right)\ a=-ky-\left(M+{\frac {m}{2}}\right)g}$

加速度をゼロにすることで 平衡点を見つけることができます。${\displaystyle y_{\mathrm {eq} }}$

${\displaystyle y_{\mathrm {eq} }=-{\frac {\left(M+{\frac {m}{2}}\right)g}{k}}}$

を定義すると、運動方程式は次のようになります。 ${\displaystyle {\bar {y}}=y-y_{\mathrm {eq} }}$

${\displaystyle \left(M+{\frac {m}{3}}\right)\ a=-k{\bar {y}}=-k(y-y_{\mathrm {eq} })}$

これは角周波数を持つ単純な調和振動子の方程式です。

${\displaystyle \omega ={\sqrt {{\frac {k}{M+{\frac {m}{3}}}}\,}}}$

したがって、理想的なバネよりも角周波数が小さくなります。また、その周期は次のように表されます。

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {{\frac {M+{\frac {m}{3}}}{k}}\,}}}$

これは理想的なバネよりも大きいです。両方の式は、極限では理想的なケースに簡約されます。 ${\displaystyle {\frac {m}{M}}\to 0}$

したがって、負荷の質量にバネの有効質量を加えると、振動周期を決定するための 標準式で使用する必要があるシステムの「有効総質量」が得られます。${\displaystyle 2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}$

最後に、初期値問題の解は次のようになります。

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\ddot {y}}&=&-\omega ^{2}(y-y_{\mathrm {eq} })\\{\dot {y}}(0)&=&{\dot {y}}_{0}\\y(0)&=&y_{0}\end{matrix}}\right.}$

次のように与えられます:

${\displaystyle y(t)=(y_{0}-y_{\text{eq}})\cos(\omega t)+{\frac {{\dot {y}}_{0}}{\omega }}\sin(\omega t)+y_{\text{eq}}}$

それは単振動です。

上で見たように、バネの有効質量は、バネに沿った重力の加速度などの「外部」要因には依存しません。実際、不均一な重いバネの場合、有効質量はバネの長さに沿った線密度のみに依存します。 ${\displaystyle \lambda (s)}$

${\displaystyle K=\int \limits _{\mathrm {spring} }{\frac {1}{2}}u^{2}\;\mathrm {d} m}$

${\displaystyle =\int _{0}^{y}{\frac {1}{2}}u^{2}\!(s)\,\lambda (s)\;\mathrm {d} s}$

${\displaystyle =\int _{0}^{y}{\frac {1}{2}}\left({\frac {s}{y}}v\right)^{2}\lambda (s)\;\mathrm {d} s}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(\int _{0}^{y}{\frac {s^{2}}{y^{2}}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\right)v^{2}}$

したがって、ばねの有効質量は次のようになります。

${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }=\int _{0}^{y}{\frac {s^{2}}{y^{2}}}\lambda (s)\,\mathrm {d} s}$

この結果は、 が、支持部から最も遠い端にのみ質量が配置されている非物理的なバネの場合にのみ発生することも示しています。 ${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }\leqslant m}$${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }=m}$

3 つの特殊なケースが考えられます。

• ${\displaystyle \lambda (s)=0}$は、バネに質量がなく、理想的なケースです。${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }=m=0}$
• ${\displaystyle \lambda (s)={\frac {m}{y}}}$は、方程式にレイリー値が現れる均質なケース（均一なバネ）です。${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }={\frac {m}{3}}}$
• ${\displaystyle \lambda (s)=m\,\delta (s-y)}$（ディラックのデルタ関数 ）は、すべての質量が に位置する極端なケースであり、結果として となります。${\displaystyle \delta (x)}$${\displaystyle s=y}$${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }=m}$

対応するラグランジアンを見つけるには、バネの重力ポテンシャルエネルギーを事前に見つけなければなりません。

${\displaystyle U=\int \limits _{\mathrm {spring} }\mathrm {d} m\,g\,s}$

${\displaystyle =\int _{0}^{y}\lambda (s)\,g\,s\;\mathrm {d} s}$

${\displaystyle =\left(\int _{0}^{y}{\frac {s}{y}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\right)g\,y}$

積分の単調性により、次のようになります。 ${\displaystyle 0\leqslant m_{\mathrm {eff} }=\int _{0}^{y}{\frac {s^{2}}{y^{2}}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\leqslant \int _{0}^{y}{\frac {s}{y}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\leqslant \int _{0}^{y}\lambda (s)\;\mathrm {d} s=m}$

ラグランジアンは次のようになります。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}(y,{\dot {y}})={\frac {1}{2}}\left(M+\int _{0}^{y}{\frac {s^{2}}{y^{2}}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\right){\dot {y}}^{2}-{\frac {1}{2}}ky^{2}-\left(M+\int _{0}^{y}{\frac {s}{y}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\right)g\,y}$

上記の計算では、バネの剛性係数はバネの長さに依存しないと仮定しています。しかし、実際のバネではそうではありません。 の値が小さい場合、変位は弾性変形 を引き起こすほど大きくありません。実際、 の場合、有効質量は です。上田純一と貞本義郎は^[1] 、が を超えて増加すると、垂直バネ質量システムのバネの有効質量はレイリーの値よりも小さくなり、最終的には 付近で負の値になることを発見しました。有効質量のこの予期しない動作は、弾性残余効果（荷重が除去された後もバネが元の長さに戻らないこと）によって説明できます。 ${\displaystyle {\frac {M}{m}}}$${\displaystyle {\frac {M}{m}}\ll 1}$${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }={\frac {4}{\pi ^{2}}}m}$${\displaystyle {\frac {M}{m}}}$${\displaystyle 7}$${\displaystyle {\frac {m}{3}}}$${\displaystyle {\frac {M}{m}}\approx 38}$

振り子の微分方程式を考えてみましょう。

${\displaystyle {\ddot {\theta }}+{\omega _{0}}^{2}\sin \theta =0}$

ここで、は振動の固有周波数 (および小さな振動の角周波数) です。 パラメータは、理想的な振り子では を表し、複合振り子では を表します。ここで、は振り子の長さ、はシステムの総質量、はピボット ポイント(振り子が吊り下げられている点) から振り子の質量中心までの距離、 はピボットを通る軸に対するシステムの慣性モーメントです。 ${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}}$${\displaystyle {\frac {g}{\ell }}}$${\displaystyle {\frac {mgr_{\mathrm {CM} }}{I_{O}}}}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle m}$${\displaystyle r_{\mathrm {CM} }}$${\displaystyle O}$${\displaystyle I_{O}}$

均質な棒が一端から揺れ、もう一端に錘が取り付けられたシステムを考えてみましょう。を棒の長さ、を棒の質量、 を錘の質量とすると、線密度はディラックのデルタ関数で で与えられます。システムの全質量は です。 を求めるには、質量中心の定義を解く必要があります(これは一般的なケースでは積分方程式 になりますが、均質なケースでは次のように簡略化されます)。その解は で与えられます。 システムの慣性モーメントは、2 つの慣性モーメントの合計です(この場合も、一般的なケースでは積分方程式は になります)。したがって、式は次のように簡略化できます。 ${\displaystyle \ell }$${\displaystyle m_{\mathrm {rod} }}$${\displaystyle m_{\mathrm {bob} }}$${\displaystyle \lambda (s)=m_{\mathrm {bob} }\delta (s-\ell )+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{\ell }}}$${\displaystyle \delta (\cdot )}$${\displaystyle m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} }}$${\displaystyle r_{\mathrm {CM} }}$${\displaystyle (m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} })r_{\mathrm {CM} }=m_{\mathrm {bob} }\ell +m_{\mathrm {rod} }{\frac {\ell }{2}}}$${\displaystyle \int _{0}^{\ell }\lambda (s)\,{\big (}s-r_{\mathrm {CM} })\;\mathrm {d} s=0}$${\displaystyle r_{\mathrm {CM} }={\frac {m_{\mathrm {bob} }+{\frac {1}{2}}m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} }}}\ell }$${\displaystyle I_{O}=m_{\mathrm {bob} }\ell ^{2}+{\frac {1}{3}}m_{\mathrm {rod} }\ell ^{2}}$${\displaystyle I_{O}=\int _{0}^{\ell }\lambda (s)\,s^{2}\;\mathrm {d} s}$

${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {mgr_{\mathrm {CM} }}{I_{O}}}={\frac {\left(m_{\mathrm {bob} }\ell +m_{\mathrm {rod} }{\frac {\ell }{2}}\right)g}{m_{\mathrm {bob} }\ell ^{2}+{\frac {1}{3}}m_{\mathrm {rod} }\ell ^{2}}}={\frac {g}{\ell }}{\frac {m_{\mathrm {bob} }+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2}}}{m_{\mathrm {bob} }+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3}}}}={\frac {g}{\ell }}{\frac {1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2m_{\mathrm {bob} }}}}{1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3m_{\mathrm {bob} }}}}}}$

最終式は、おもりの質量と棒の質量 の両方の関数ではなく、それらの比 のみの関数であることに注目してください。また、最初はバネ質量システムと同じ構造、つまり理想的なケースと補正値（レイリー値を使用）の積になっていることにも注目してください。 については、最後の補正項は次のように近似できることに 注目してください。${\displaystyle m_{\mathrm {bob} }}$${\displaystyle m_{\mathrm {rod} }}$${\displaystyle {\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}}$${\displaystyle {\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\ll 1}$

${\displaystyle {\frac {1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2m_{\mathrm {bob} }}}}{1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3m_{\mathrm {bob} }}}}}\approx 1+{\frac {1}{6}}{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}-{\frac {1}{18}}\left({\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\right)^{2}+\cdots }$

両方の結果を比較してみましょう。

• バネ質量システムの場合:

${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}=\underbrace {\frac {k}{m_{\mathrm {bob} }}} _{\text{Ideal case}}\underbrace {\frac {1}{1+{\frac {1}{3}}{\frac {m_{\mathrm {spring} }}{m_{\mathrm {bob} }}}}} _{\text{Correction with Rayleigh's value}}}$

• 振り子の場合:

${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}=\underbrace {\frac {g}{\ell }} _{\text{Ideal case}}\underbrace {\frac {1}{1+{\frac {1}{3}}{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}}} _{\text{Correction with Rayleigh's value}}\underbrace {\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\right)} _{\text{Rest of the correction}}}$

• 単振動 (SHM) の例。
• 質量の減少

• http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1405121418180 2012-02-16 にWayback Machineでアーカイブ
• http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1509031308350 2012-02-16 にWayback Machineでアーカイブ
• https://web.archive.org/web/20110929231207/http://hk.knowledge.yahoo.com/question/article?qid=6908120700201
• https://web.archive.org/web/20080201235717/http://www.goiit.com/posts/list/mechanics-Effective-mass-of-spring-40942.htm
• http://www.juen.ac.jp/scien/sadamoto_base/spring.html
• 「振動バネの有効質量」Am. J. Phys., 38, 98 (1970)
• 「振動バネの有効質量」物理学教師、45、100（2007）