特性方程式（微積分）

数学において、特性方程式（または補助方程式^[1]）は、与えられたn次微分方程式^[2]または差分方程式[ 3 ]の解が依存するn次の代数方程式である。^{[4]特性方程式は、微分方程式または差分方程式が}線形かつ同次であり、定数係数を持つ場合にのみ形成されます。^[1] このような微分方程式は、yを従属変数とし、上付き文字( n )はn^次導関数を表し、a _n、a _{n  − 1}、...、a ₁、a _{0 を}定数として、

${\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0,}$

次のような特性方程式を持つ。

${\displaystyle a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0}$

これらの解r ₁ , r ₂ , ..., r _{n は}一般解を形成できる根である。 ^{[1] [5] [6]} 同様に、次の形式の線形差分方程式は

${\displaystyle y_{t+n}=b_{1}y_{t+n-1}+\cdots +b_{n}y_{t}}$

特性方程式を持つ

${\displaystyle r^{n}-b_{1}r^{n-1}-\cdots -b_{n}=0,}$

定数係数による線形回帰でさらに詳しく説明します。

特性根 (特性方程式の根) は、動的方程式によって進化が記述される変数の挙動に関する定性的な情報も提供します。時間でパラメーター化された微分方程式の場合、各根の実部が負の場合にのみ、変数の進化は安定します。差分方程式の場合、各根の係数が 1 未満の場合にのみ、安定します。両方のタイプの方程式では、複素根のペアが少なくとも 1 つあると、永続的な変動が発生します。

定数係数の線形常微分方程式を積分する方法は、レオンハルト・オイラーによって発見されました。彼は、解が代数の「特性」方程式に依存することを発見しました。^[2] オイラーの特性方程式の性質は、後にフランスの数学者オーギュスタン＝ルイ・コーシーとガスパール・モンジュによってより詳細に検討されました。^{[2] [6]}

定数係数a _n、a _{n  − 1}、...、a ₁、a ₀を 持つ線形同次微分方程式から始めて、

${\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y^{\prime }+a_{0}y =0,}$

y ( x ) = e ^rxの場合、各項はe ^rxの定数倍になることがわかります。これは、指数関数 e ^rxの導関数がそれ自身の倍数であるという事実から生じます。したがって、 y ′ = re ^rx、y ″ = r ² e ^rx、およびy ^{( n )} = r ⁿ e ^rxはすべて倍数です。これは、rの特定の値によりe ^rxの倍数がゼロになり、同次微分方程式を解くことができることを示唆しています。^[5] r を解くには、 y = e ^rxとその導関数を微分方程式に代入して、次の式を得ること ができます。

${\displaystyle a_{n}r^{n}e^{rx}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rx}+\cdots +a_{1}re^{rx}+a_{0}e^{rx}=0}$

e ^{rx は}ゼロにはならないので、割り算して特性方程式を与えることができる。

${\displaystyle a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0.}$

この特性方程式の根rを解くことで、微分方程式の一般解を求めることができます。^{[1] [6]} たとえば、rの根が3、11、40の場合、一般解は になります。ここで、、、は境界条件や初期条件によって決定される 任意の定数 です。${\displaystyle y(x)=c_{1}e^{3x}+c_{2}e^{11x}+c_{3}e^{40x}}$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{3}}$

特性方程式をその根r ₁、...、r _nについて解くと、微分方程式の一般解を求めることができます。根は実根でも複素根でも、また、異なる根でも重複根でもかまいません。特性方程式に、それぞれy _D ( x )、y _{R 1} ( x ) 、...、y _{R h ( x ) 、および y C 1 ( x ) 、...、 y C k ( x ) の一般解に対応する、異なる実根、h}個の_重複根、またはk個の複素_根を持つ部分がある場合、微分方程式の一般解は次のようになります。

${\displaystyle y(x)=y_{\mathrm {D} }(x)+y_{\mathrm {R} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {R} _{h} }(x)+y_{\mathrm {C} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {C} _{k}}(x)}$

定数係数の線形同次微分方程式

${\displaystyle y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y''-20y'-12y=0}$

特性方程式は

${\displaystyle r^{5}+r^{4}-4r^{3}-16r^{2}-20r-12=0}$

特性方程式を因数分解すると^{[さらに説明が必要]}

${\displaystyle (r-3)(r^{2}+2r+2)^{2}=0}$

rの解は、r ₁ = 3の異なる単根とr _2,3,4,5 = 1 ±  iの複素複素根であることが分かる。これは実数値の一般解に対応する。

${\displaystyle y(x)=c_{1}e^{3x}+e^{x}(c_{2}\cos x+c_{3}\sin x)+xe^{x}(c_{4}\cos x+c_{5}\sin x)}$

定数c ₁、...、c ₅。

線型同次方程式の重ね合わせ原理は、u ₁、...、u _{n が}特定の微分方程式のn個 の線形独立解である場合、 c ₁ u ₁ + ⋯ + c _n u _nもすべての値c ₁、...、c _nに対する解である、というものである。^{[1] [7]} したがって、特性方程式が異なる実根r ₁、...、r _{n を}持つ場合、一般解は次の形式になる。

${\displaystyle y_{\mathrm {D} }(x)=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}+\cdots +c_{n} e^{r_{n}x}}$

特性方程式にk回繰り返される根r _{1がある場合、} y _p ( x ) = c ₁ e ^{r ₁ x}が少なくとも1つの解であることは明らかです。 ^[1] しかし、この解は他のk  − 1個の根から線形独立な解を欠いています。r 1 は重複度kを持っているので、_微分方程式は[ 1 ^{]に因数分解できます。}

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}y=0.}$

y _p ( x ) = c ₁ e ^{r ₁ x}が一つの解であるという事実から、一般解はy ( x ) = u ( x ) e ^{r ₁ x}の形をとると推定できる。ここでu ( x )は決定すべき関数である。ue ^{r ₁ x を}代入 すると、

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)\!ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}\left(ue^{r_{1}x}\right)-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}+r_{1}ue^{r_{1}x}-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}}$

k  = 1のとき、この事実をk回適用すると、

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}ue^{r_{1}x}={\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)e^{r_{1}x}=0.}$

e ^{r ₁ x}を割ると、

${\displaystyle {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)=u^{(k)}=0.}$

したがって、 u ( x )の一般的なケースはk  − 1次の多項式であり、u ( x ) = c ₁ + c ₂ x + c ₃ x ² + ⋯ + c _k x ^{k  −1}となる。^[6] y ( x ) = ue ^{r ₁ x} なので、 r ₁に対応する一般解の部分は 

${\displaystyle y_{\mathrm {R} }(x)=e^{r_{1}x}\!\left(c_{1}+c_{2}x+\cdots +c_{k}x^{k-1}\right).}$

2 次微分方程式がr ₁ = a + biおよびr ₂ = a − biの形式の複素共役根を持つ特性方程式を持つ場合、一般解はそれに応じてy ( x ) = c ₁ e ^{( a + bi  ) x} + c ₂ e ^{( a − bi  ) x}です。e iθ = cos θ + i sin θ というオイラーの公式により、この 解は次の ように書き直す^ことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}y(x)&=c_{1}e^{(a+bi)x}+c_{2}e^{(a-bi)x}\\&=c_{1}e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)+c_{2}e^{ax}(\cos bx-i\sin bx)\\&=\left(c_{1}+c_{2}\right)e^{ax}\cos bx+i(c_{1}-c_{2})e^{ax}\sin bx\end{aligned}}}$

ここでc ₁とc _{2 は}定数であり、初期条件によって非実数になることがあります。^[6]（実際、y ( x )は実数なので、最後の等号の後の項が両方とも実数になるためには、 c ₁ − c ₂は虚数またはゼロで、 c ₁ + c _{2 は}実数でなければなりません。）

たとえば、c ₁ = c ₂ = ⁠の場合1/2⁠の場合、特定の解y ₁ ( x ) = e ^ax cos  bxが形成されます。同様に、 c ₁ = ⁠の場合、1/2私⁠そしてc ₂ = − ⁠1/2私⁠、形成される独立解はy ₂ ( x ) = e ^ax sin  bxです。したがって、線形同次微分方程式の重ね合わせ原理により、複素根r  =  a ± biを持つ2次微分方程式は、次の一般解になります。

${\displaystyle y_{\mathrm {C} }(x)=e^{ax}(C_{1}\cos bx+C_{2}\sin bx)}$

この解析は、特性方程式に非実複素共役根が含まれる高階微分方程式の解の部分にも適用されます。

• 特性多項式