ボックスシュタイン準同型

ホモロジー代数において 、ボックスシュタイン準同型は、マイヤー・ボックスシュタイン （1942、1943、1958）によって導入され、短い完全列に関連付けられた接続準同型である。

${\displaystyle 0\to P\to Q\to R\to 0}$

アーベル群の、鎖複体 Cの係数として導入され、ホモロジー群では次数を 1 減らす準同型として現れるとき、

${\displaystyle \beta \colon H_{i}(C,R)\to H_{i-1}(C,P).}$

より正確には、C は自由、または少なくとも捩れのないアーベル群の複体でなければならず、ホモロジーはCとのテンソル積によって形成される複体のホモロジーです（何らかの平坦なモジュール条件が入るはずです）。β の構築は通常の議論（スネーク レマ）によって行われます。

同様の構成がコホモロジー群にも適用され、今度は次数が1ずつ増加する。したがって、

${\displaystyle \beta \colon H^{i}(C,R)\to H^{i+1}(C,P).}$

係数列に関連する ボックスタイン準同型${\displaystyle \beta}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to 0}$

はスティーンロッド代数の生成元の一つとして使われる 。このボックスタイン準同型には次の2つの性質がある。

${\displaystyle \beta \beta =0}$、

${\displaystyle \beta (a\cup b)=\beta (a)\cup b+(-1)^{\dim a}a\cup \beta (b)}$;

言い換えれば、それは空間の p を法とするコホモロジーに作用する超微分です。

• ボックスシュタインスペクトル列

• ボックスシュタイン、マイヤー(1942)、「∇-ホモロジー環の普遍システム」、CR (Doklady) Acad. Sci. URSS、New Series、37 : 243–245、MR  0008701
• ボックスシュタイン、マイヤー(1943)、「∇-ホモロジー次元の係数体の完全なシステム」、CR (Doklady) Acad. Sci. URSS、New Series、38 : 187–189、MR  0009115
• ボックススタイン、マイヤー (1958)、「相同性理論の計算式、世界科学アカデミー」、シリーズ I、247 : 396–398、MR  0103918
• ハッチャー、アレン（2002）、代数的位相幾何学、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-79540-1、MR  1867354。
• スパニエ、エドウィン H. (1981)、代数的位相幾何学。訂正再版、ニューヨーク-ベルリン:シュプリンガー出版社、pp. xvi+528、ISBN 0-387-90646-0、MR  0666554