解けるグループ

数学、より具体的には群論の分野において、可解群（かくかいぐん）または可溶群（かほうぐん）とは、拡大を用いてアーベル群から構成できる群である。同様に、可解群とは、導来級数が自明部分群で終了する群である。

歴史的に、「解ける」という言葉は、ガロア理論と五次方程式の一般的な解けなさの証明から生まれた。具体的には、多項式方程式が根号 で解けるのは、対応するガロア群が解ける場合のみである^{[1] （この定理は}特性0でのみ成立する点に注意）。これは、多項式に関連し、体拡大の塔が存在することを意味する。${\displaystyle f\in F[x]}$

${\displaystyle F=F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq F_{2}\subseteq \cdots \subseteq F_{m}=K}$

そのような

1. ${\displaystyle F_{i}=F_{i-1}[\alpha _{i}]}$ここで は、方程式の解であり、ここで${\displaystyle \alpha _{i}^{m_{i}}\in F_{i-1}}$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle x^{m_{i}}-a}$${\displaystyle a\in F_{i-1}}$
2. ${\displaystyle F_{m}}$分割フィールドが含まれています${\displaystyle f(x)}$

元を含む 最小のガロア体拡大${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle a={\sqrt[{5}]{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}}$

は可解な群を与える。関連するフィールド拡張

${\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5},a\right)}$

次の合成因子を含むガロア拡大の可解な群を与える（ここでは恒等置換）。 ${\displaystyle 1}$

• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q({\sqrt {2}})} \right/\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /2}$群作用と最小多項式${\displaystyle f\left(\pm {\sqrt {2}}\right)=\mp {\sqrt {2}},\ f^{2}=1}$ ${\displaystyle x^{2}-2}$
• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})} \right/\mathbb {Q({\sqrt {2}})} )\cong \mathbb {Z} /2}$群作用と最小多項式${\displaystyle g\left(\pm {\sqrt {3}}\right)=\mp {\sqrt {3}},\ g^{2}=1}$${\displaystyle x^{2}-3}$
• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)/\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\right)\cong \mathbb {Z} /4}$群作用を持ち、を除く1の5乗根を含む最小多項式である。${\displaystyle h^{n}\left(e^{2im\pi /5}\right)=e^{2(n+1)mi\pi /5},\ 0\leq n\leq 3,\ h^{4}=1}$${\displaystyle x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=(x^{5}-1)/(x-1)}$${\displaystyle 1}$
• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5},a\right)/\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)\right)\cong \mathbb {Z} /5}$群作用と最小多項式${\displaystyle j^{l}(a)=e^{2li\pi /5}a,\ j^{5}=1}$${\displaystyle x^{5}-\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}$

定義グループ アクション (たとえば、) のそれぞれは、他のすべての拡張子を固定したまま、単一の拡張子を変更します。80 個のグループ アクションは、セット です。 ${\displaystyle fgh^{3}j^{4}}$${\displaystyle \{f^{a}g^{b}h^{n}j^{l},\ 0\leq a,b\leq 1,\ 0\leq n\leq 3,\ 0\leq l\leq 4\}}$

この群はアーベル群ではありません。たとえば、であるのに対し、であり、実際はです。 ${\displaystyle hj(a)=h(e^{2i\pi /5}a)=e^{4i\pi /5}a}$${\displaystyle jh(a)=j(a)=e^{2i\pi /5}a}$${\displaystyle jh=hj^{3}}$

これは と等長であり、ここで は巡回群の半直積と直積を使用して定義されます。 は正規部分群ではありません。 ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{5}\rtimes _{\varphi }\mathbb {Z} _{4})\times (\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2})}$${\displaystyle \varphi _{h}(j)=hjh^{-1}=j^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$

群Gが可解であるとは、その因子群（商群）がすべてアーベルであるような非正規級数、すなわち部分群が存在する場合である。

${\displaystyle 1=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft G_{k}=G}$

つまり、G _{j −1 は}G _jにおいて正規であり、 j = 1, 2, ..., kに対して、G _j / G _{j −1}はアーベル群となる。  

あるいは、その導関数級数の場合、降順正規級数

${\displaystyle G\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)}\triangleright \cdots ,}$

ここで、すべての部分群は前の部分群の交換子部分群であり、最終的にはGの自明部分群に到達します。これらの 2 つの定義は同等です。なぜなら、すべての群HとHのすべての正規部分群 Nについて、商H / N がアーベルとなるのは、N がHの交換子部分群を含む場合のみだからです。G ^{( n )} = 1となる最小のn は、可解群Gの導来長さと呼ばれます。

有限群の場合、同等の定義は、可解群は、その因子がすべて素数位数の巡回群である合成系列を持つ群である、というものです。これは、有限群の合成長は有限であり、すべての単純アーベル群は素数位数の巡回であるため同等です。ジョルダン・ヘルダーの定理は、1 つの合成系列がこの特性を持つ場合、すべての合成系列もこの特性を持つことを保証します。多項式のガロア群の場合、これらの巡回群はある体上のn乗根（根号）に対応します。この同等性は、無限群では必ずしも成り立ちません。たとえば、整数の群Zの加法による非自明な部分群はすべてZ自身と同型であるため、合成系列はありませんが、唯一の因子群がZと同型である正規系列 {0, Z } は、実際に可解であることを証明しています。

解ける群の基本的な例はアーベル群です。アーベル群は、群自体と自明群だけで非正規級数が形成されるため、自明に解けます。しかし、非アーベル群は解ける場合と解けない場合があります。

より一般的には、すべての冪零群は解けます。特に、すべての有限p群は冪零であるため、有限p群は解けます。

特に、四元数群は群の拡大によって与えられる可解な群である。

${\displaystyle 1\to \mathbb {Z} /2\to Q\to \mathbb {Z} /2\times \mathbb {Z} /2\to 1}$

ここでカーネルはによって生成されるサブグループです。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle -1}$

群の拡大は可解群の典型的な例である。つまり、とが可解群であれば、任意の拡大は${\displaystyle G}$${\displaystyle G'}$

${\displaystyle 1\to G\to G''\to G'\to 1}$

は可解な群を定義します。実際、すべての可解な群はこのような群の拡張から形成できます。 ${\displaystyle G''}$

解ける非冪零群の小さな例としては、対称群 S ₃があります。実際、最小の単純な非可換群はA ₅（次数 5 の交代群）であるため、位数が 60 未満のすべての群は解けることになります。

フェイト・トムソン定理は、奇数次の有限群はすべて解けることを述べています。特に、これは有限群が単純である場合、それが素巡回群であるか偶数次群であるかのいずれかであることを意味します。

群S ₅は解けません。つまり、合成級数 {E, A ₅ , S ₅ } を持ち (そして、ジョルダン・ヘルダーの定理によれば、他のすべての合成級数はその級数と同値です)、A ₅およびC ₂に同型の因数群を与えます。また、A ₅はアーベルではありません。この議論を一般化し、A _{n が}n > 4に対してS _nの正規、最大、非アーベル単純部分群であるという事実と合わせると、 S _nはn > 4に対して解けないことがわかります。これは、 n > 4 ごとに、根号で解けないn次多項式が存在する(アーベル・ルフィニの定理)という証明の重要なステップです。この特性は、複雑性理論においてバリントンの定理の証明にも使用されます。

サブグループを検討する

${\displaystyle B=\left\{{\begin{bmatrix}*&*\\0&*\end{bmatrix}}\right\}{\text{, }}U=\left\{{\begin{bmatrix}1&*\\0&1\end{bmatrix}}\right\}}$の${\displaystyle GL_{2}(\mathbb {F} )}$

ある体 に対して群商が成り立つ。すると、 の任意の元を取り、それらを掛け合わせて、どのような構造になるかを求めることで群商を求めることができる。つまり、${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle B/U}$${\displaystyle B,U}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&ad+b\\0&c\end{bmatrix}}}$

の行列式条件はを意味するので、 は部分群（ となる行列）であることに注意する。 を固定すると、線形方程式はを意味する。は であるため、 の任意の要素である。 の任意の行列を取り、それを の行列と掛け合わせることができるので、${\displaystyle GL_{2}}$${\displaystyle ac\neq 0}$${\displaystyle \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\subset B}$${\displaystyle b=0}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle ad+b=0}$${\displaystyle d=-b/a}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle b\in \mathbb {F} }$${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}}$

を用いると、 の対角行列を得ることができます。これは商群を示しています。 ${\displaystyle d=-b/a}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B/U\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }}$

この記述は をとして 分解するものであることに注目してください。ここで はによってに作用します。これは を意味します。また、 という形式の行列は${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbb {F} \rtimes (\mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times })}$${\displaystyle (a,c)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle (a,c)(b)=ab}$${\displaystyle (a,c)(b+b')=(a,c)(b)+(a,c)(b')=ab+ab'}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}}}$

グループ内の 要素に対応します。${\displaystyle (b)\times (a,c)}$

線型代数群 に対して、ボレル部分群はにおいて閉じており、連結しており、かつ解ける部分群として定義され、これらの性質を持つ最大可能部分群です (最初の 2 つは位相的性質であることに注意してください)。たとえば、 および では、上三角行列または下三角行列の群はボレル部分群の 2 つです。上記の例、の部分群はボレル部分群です。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle GL_{n}}$${\displaystyle SL_{n}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle GL_{2}}$

そこにはサブグループがある${\displaystyle GL_{3}}$

${\displaystyle B=\left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}U_{1}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&*\\0&1&*\\0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$

注意してください。したがって、ボレル群は次の形式を持ちます。${\displaystyle B/U_{1}\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }}$

${\displaystyle U\rtimes (\mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times })}$

積群ではボレル部分群は次の形式の行列で表すことができる。${\displaystyle GL_{n}\times GL_{m}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}T&0\\0&S\end{bmatrix}}}$

ここで、は上三角行列であり、は上三角行列です。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle S}$${\displaystyle m\times m}$

p-シロー部分群が巡回する有限群は、 2つの巡回群の半直積であり、特に解ける。このような群はZ群と呼ばれる。

n次の可解群の数は（n = 0から始まる）

0、1、1、1、2、1、2、1、5、2、2、1、5、1、2、1、14、1、5、1、5、2、2、1、15、2、2、5、4、1、4、1、51、1、2、1、14、1、2、2、14、1、6、1、4、2、2、1、52、2、5、1、5、1、15、2、13、2、2、1、12、1、2、4、267、1、4、1、5、1、4、1、50、...（シーケンスA201733 OEISにおいて​

解けない群の順序は

60、120、168、180、240、300、336、360、420、480、504、540、600、660、672、720、780、840、900、960、1008、1020、1080、1092、1140、1176、1200、1260、1320、1344、1380、1440、1500、...（OEISのシーケンスA056866）

解決可能性は、いくつかの操作の下で閉じています。

• Gが解け、HがGの部分群であれば、Hは解ける。^[2]
• Gが解け、GからHへの準同型が存在する場合、Hは解けます。同様に (第一同型定理により)、Gが解け、N がGの正規部分群である場合、G / Nは解けます。^[3]
• 前の特性は、次の「2 つ分の価格で 3 つ」の特性に拡張できます。Gは、 NとG / N の両方が解ける場合にのみ解けます。
• 特に、GとHが解ける場合、直積 G × Hは解けます。

可解性は群の拡張の下で閉じている:

• HとG / Hが解ける場合、 Gも解けます。特に、NとHが解ける場合、それらの半直積も解けます。

また、花輪製品の下に閉じられています:

• GとHが解け、X がG集合である場合、Xに関するGとHの輪積も解けます。

任意の正の整数Nに対して、導来長が最大Nの可解群は、準同型像、部分代数、および(直)積の採り方に関して閉じているため、群多様体のサブ多様体を形成します。導来長が無制限の可解群の列の直積は解けないため、すべての可解群のクラスは多様体ではありません。

バーンサイドの定理は、G がp ^a q ^{b の}位数の有限群 であり、pとq が素数、 aとbが負でない整数 である場合、Gは解けることを述べています。

可解性の強化として、グループG は、因子がすべて巡回する不変正規級数を持つ場合、超可解(または超可溶性)と呼ばれます。正規級数は定義により有限の長さを持つため、無数グループは超可解ではありません。実際、すべての超可解グループは有限生成であり、アーベル群が超可解であるのは有限生成の場合のみです。交代群A ₄は、超可解ではない有限可解グループの例です。

有限生成群に限定すると、次のような群のクラスの配置を考えることができます。

巡回群<アーベル群<冪零群<超可解群<多巡回群<可解群<有限生成群。

群Gは、有限の指数を持つ可解な部分群を持つ場合、事実上可解と呼ばれます。これは事実上可換群に似ています。指数 1 を持つ群自体を選択すればよいので、明らかにすべての可解群は事実上可解です。

可解群とは、その導来級数が有限段階で自明部分群に到達する群のことである。無限群では、有限導来級数は安定しない可能性があるが、超限導来級数は^必ず安定する。超限導来級数が自明群に到達する群は、準可換群と呼ばれ、すべての可解群は準可換群である。G ⁽ α ⁾ = G ^{( α +1)}となる最初の順序数αは、群Gの (超限) 導来長と呼ばれ、すべての順序数は何らかの群の導来長であることが証明されている (Malcev 1949)。

有限群が素数pに対してp-可解であるとは、その構成系列のすべての因数がp-群であるか、pと素数の位数を持つ場合である。有限群が可解であるとは、すべてのpに対してp-可解である場合に限ります。 ^[4]

• 可解群

• Malcev, AI (1949)、「一般化された冪零代数とその関連群」、Mat. Sbornik、New Series、25 (67): 347–366、MR  0032644
• ロトマン、ジョセフ・J.（1995）、群論入門、数学の大学院テキスト、第148巻（第4版）、シュプリンガー、ISBN 978-0-387-94285-8

• OEISシーケンス A056866 (解けないグループの順序)
• 反復拡張としての可解群