重力波

重力波は、速度のない定常状態を中心とした摂動を表す。したがって、システムに導入される摂動は、無限小の振幅の速度場によって記述される。${\displaystyle (u'(x,z,t),w'(x,z,t)).}$流体は非圧縮性であると仮定されているため、この速度場は流れ関数表現を持つ。

${\displaystyle {\textbf {u}}'=(u'(x,z,t),w'(x,z,t))=(\psi _{z},-\psi _{x}),\,}$

ここで、添え字は偏微分を表す。この導出では、2次元で計算すれば十分である。${\displaystyle \left(x,z\right)}$ここで、重力は負のz方向を向いています。次に、初期状態で静止している非圧縮性流体では、渦度はなく、流体は非回転状態のままです。したがって${\displaystyle \nabla \times {\textbf {u}}'=0.\,}$ストリーム関数表現では、${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =0.\,}$次に、システムのx方向の並進不変性により、次の仮説を立てることが可能です。

${\displaystyle \psi \left(x,z,t\right)=e^{ik\left(x-ct\right)}\Psi \left(z\right),\,}$

ここでkは空間波数である。したがって、問題は次の式を解くことに帰着する。

${\displaystyle \left(D^{2}-k^{2}\right)\Psi =0,\,\,\,\ D={\frac {d}{dz}}.}$

私たちは無限の深さの海で作業しているので、境界条件は${\displaystyle \scriptstyle z=-\infty .}$乱されていない表面は${\displaystyle \scriptstyle z=0}$乱れた、または波打った表面は${\displaystyle \scriptstyle z=\eta ,}$どこ${\displaystyle \scriptstyle \eta }$大きさは小さい。底から液体が漏れ出ないようにするには、次の条件を満たす必要がある。

${\displaystyle u=D\Psi =0,\,\,{\text{on}}\,z=-\infty .}$

したがって、${\displaystyle \scriptstyle \Psi =Ae^{kz}}$の上${\displaystyle \scriptstyle z\in \left(-\infty ,\eta \right)}$ここで、Aと波速cは界面における条件から決定される定数である。

自由表面条件：自由表面では${\displaystyle \scriptstyle z=\eta \left(x,t\right)\,}$運動学的条件が成り立つ。

${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}+u'{\frac {\partial \eta }{\partial x}}=w'\left(\eta \right).\,}$

線形化すると、これは単純に

${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}=w'\left(0\right),\,}$

速度が${\displaystyle \scriptstyle w'\left(\eta \right)\,}$表面上で線形化される${\displaystyle \scriptstyle z=0.\,}$正規モード表現とストリーム関数表現を用いると、この条件は${\displaystyle \scriptstyle c\eta =\Psi \,}$2番目の界面条件。

界面を挟んだ圧力関係：表面張力がある場合、界面を挟んだ圧力差は${\displaystyle \scriptstyle z=\eta }$ヤング・ラプラス方程式によって与えられる。

${\displaystyle p\left(z=\eta \right)=-\sigma \kappa ,\,}$

ここで、σは表面張力、κは界面の曲率であり、線形近似では次のようになる。

${\displaystyle \kappa =\nabla ^{2}\eta =\eta _{xx}.\,}$

したがって、

${\displaystyle p\left(z=\eta \right)=-\sigma \eta _{xx}.\,}$

しかし、この条件は全圧力（ベース＋摂動）を指すため、

${\displaystyle \left[P\left(\eta \right)+p'\left(0\right)\right]=-\sigma \eta _{xx}.}$

（いつものように、摂動量は表面z=0上で線形化できる。）静水圧平衡を用いて、次の形式で${\displaystyle \scriptstyle P=-\rho gz+{\text{Const.}},}$

これは

${\displaystyle p=g\eta \rho -\sigma \eta _{xx},\qquad {\text{on }}z=0.\,}$

摂動圧力は、摂動に対する線形化されたオイラー方程式の水平運動量方程式を用いて、流れ関数の観点から評価される。

${\displaystyle {\frac {\partial u'}{\partial t}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p'}{\partial x}}\,}$

収穫する${\displaystyle \scriptstyle p'=\rho cD\Psi .}$

この最後の式とジャンプ条件を組み合わせると、

${\displaystyle c\rho D\Psi =g\eta \rho -\sigma \eta _{xx}.\,}$

2番目の界面条件を代入すると${\displaystyle \scriptstyle c\eta =\Psi \,}$そして、ノーマルモード表現を用いると、この関係は次のようになる。${\displaystyle \scriptstyle c^{2}\rho D\Psi =g\Psi \rho +\sigma k^{2}\Psi .}$

解決策を使用する${\displaystyle \scriptstyle \Psi =e^{kz}}$これにより

${\displaystyle c={\sqrt {{\frac {g}{k}}+{\frac {\sigma k}{\rho }}}}.}$