非位相ソリトン

量子場理論において、非トポロジカルソリトン( NTS ) は、トポロジカルソリトンとは対照的に、保存されるノイマン電荷を持ち、この場の通常の粒子への変換に対して以下の理由により安定しているソリトン場構成である。固定電荷 Qに対して、 Q個の自由粒子の質量合計はNTS のエネルギー (質量) を超えるため、後者はエネルギー的に存在するのに有利である。

NTSの内部領域は、周囲の真空とは異なる真空で占められています。真空はNTSの表面によって分離されており、ドメイン壁構成（トポロジカル欠陥）を表しています。これは、離散対称性が破れた場の理論にも現れます。^[1]無限のドメイン壁は宇宙論と矛盾しますが、NTSの表面は閉じていて有限であるため、その存在は矛盾しません。トポロジカルドメイン壁が閉じている場合、壁の張力により収縮しますが、NTS表面の構造により、NTS体積の減少はエネルギーを増加させるため、収縮しません。

量子場理論は、素粒子の散乱確率を予測するために開発されました。しかし、1970 年代半ばに、この理論がもう 1 つのクラスの安定したコンパクト オブジェクト、非トポロジカル ソリトン (NTS) を予測していることが判明しました^{(誰によると? )}。NTS は、バルク物質とも呼ばれる、異常なコヒーレント状態の物質を表します。NTS は、星、クエーサー、暗黒物質、核物質の形で存在するというモデルが提案されました。

NTS 構成は、球対称性を持つ古典的な運動方程式の最低エネルギー解です。このような解は、さまざまな場のラグランジアンに対して発見されています。保存電荷を、グローバル、ローカル、アーベル、非アーベル対称性と関連付けることができます。NTS 構成は、ボソンとフェルミオンの両方に存在する可能性があるようです。異なるモデルでは、1 つの同じ場が電荷を運び、NTS に結合するか、または電荷キャリア場と結合場の 2 つの異なる場が存在します。

NTS 構成の空間サイズは、モデルのフィールドと定数に応じて、基本的な小ささから天文学的な大きさまでさまざまです。NTS サイズはエネルギーとともに増加し、重力によって動作が複雑になり、最終的に崩壊を引き起こす可能性があります。一部のモデルでは、NTS 電荷は安定性 (または準安定性) 条件によって制限されます。

U(1)不変ラグランジュ密度を持つ複素スカラー場^[2]

${\displaystyle {\mathcal {L}}=|\partial _{\mu }\Phi |^{2}-U(|\Phi |)\,}$

NTSは半径Rの球で、場 で満たされている。ここでは、薄い表面コートを除いて球の内部は定数であり、そこではU(1)対称性の最小値 に急激に低下する。値は、構成のエネルギーを最小化するように調整される 。${\displaystyle \Phi =(\phi _{0}/{\sqrt {2}})e^{i\omega t}}$${\displaystyle \phi _{0}}$${\displaystyle U(|\Phi |)}$${\displaystyle \phi _{0}}$

${\displaystyle E={\Big (}{\frac {\phi _{0}^{2}\omega ^{2}}{2}}+U({\frac {\phi _{0}}{\sqrt {2}}}){\Big )}{\frac {4}{3}}\pi R^{3}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)}$

U (1)対称性により保存電流が与えられるので${\displaystyle j_{\mu }=-i(\Phi ^{*}\partial _{\mu }\Phi -\partial _{\mu }\Phi ^{*}\Phi ),\,}$

ボールは保存電荷を持っている

${\displaystyle Q=\int j_{0}d^{3}x=\omega \varphi _{0}^{2}{\frac {4}{3}}\pi R^{3}.}$

エネルギー(1)をRで最小化すると、

${\displaystyle E=Q{\sqrt {\frac {2U(\varphi _{0}/{\sqrt {2}})}{\phi _{0}^{2}}}}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)}$

電荷保存則により、球はQ粒子に正確に崩壊する。この崩壊は、質量総和Qmがエネルギー(2)を超えるとエネルギー的に不利になる。したがって、NTSが存在するためには、

${\displaystyle {\frac {2U(\varphi _{0}/{\sqrt {2}})}{\varphi _{0}^{2}}}\equiv {\frac {U(|\Phi |)}{|\Phi |^{2}}}{\Bigg |}_{\min }<m^{2}.}$

上で使用した薄壁近似では、エネルギーの式(1)の勾配項を省略することができます。これは であるためです。この近似は に対して有効であり、運動方程式の正確な解によって正当化されます。 ${\displaystyle E_{\text{surface}}}$${\displaystyle E_{\text{surface}}\sim U(\varphi _{0}/{\sqrt {2}})R^{2}\Delta R\ll U(\varphi _{0}/{\sqrt {2}})R^{3}}$${\displaystyle Q\gg 1}$

^{ここでは、相互作用するスカラー場[3]}のNTS構成を図示する。ラグランジュ密度

${\displaystyle {\mathcal {L}}=|\partial _{\mu }\Phi |^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\sigma )^{2}-g|\Phi |^{2}\sigma ^{2}-{\frac {\lambda }{4}}(\sigma ^{2}-\sigma _{0}^{2})^{2}}$

は複素スカラー場のU(1)変換に対して不変である。この場が時間と座標に単純に依存しているとしよう。これは保存電荷を持つ。配置のエネルギーがQmより小さいことを確認するには、このエネルギーを数値的に計算するか、変分法を使用する必要がある。試行関数 および r  <  R の場合、 ${\displaystyle \Phi .}$${\displaystyle \Phi ({\vec {r}},t)=(\phi (r)/{\sqrt {2}})e^{i\omega t}}$${\displaystyle Q=4\pi \omega \int \limits _{0}^{\infty }\phi ^{2}(r)r^{2}dr}$${\displaystyle \phi (r)=\varphi _{0}(\sin \omega r/r)}$${\displaystyle \sigma (r)=0}$

${\displaystyle \phi (r)=0{\text{ and }}\sigma (r)=\sigma _{0}{\Big (}1-\exp(-(r-R)/l){\Big )}{\text{ for }}r>R,\,}$

大きなQ限界におけるエネルギーは にほぼ等しい 。 ${\displaystyle E\approx {\frac {\pi Q}{R}}+{\frac {\pi }{3}}\lambda \sigma _{0}^{4}R^{3}}$

Rによる最小化により上限推定値が得られる。${\displaystyle E_{up}={\frac {4}{3}}\pi \lambda ^{1/4}Q^{3/4}\sigma _{0}}$

運動方程式の正確な解のエネルギー と 。 ${\displaystyle \omega ^{2}\phi +{\vec {\partial ^{2}}}\phi -g\sigma ^{2}\phi =0}$${\displaystyle {\vec {\partial ^{2}}}\sigma -g\phi ^{2}\sigma -\lambda \sigma (\sigma ^{2}-\sigma _{0}^{2})=0}$

それは、 Qが臨界電荷を超える場合 よりも確かに小さい。${\displaystyle Qg\sigma _{0}}$

${\displaystyle Q_{\min }={{\Big (}{\frac {4\pi }{3g}}{\Big )}}^{4}\lambda .}$

ボソンの代わりにフェルミオンが保存電荷を運ぶ場合、NTSも存在する。このとき、

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {i}{2}}{\overleftrightarrow {{\overline {\Psi }}_{k}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\Psi _{k}}}-(m+g\sigma ){\overline {\Psi }}_{k}\Psi _{k}\right)-U(\sigma )+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\sigma )^{2}.\,\,\,\,\,(3)}$

Nは理論上のフェルミオン種の数です。フェルミオンがコヒーレント状態にある場合、 パウリの排他原理によりQはNを超えることはできません。この場合、NTSエネルギーEは次のように制限されます。

${\displaystyle E_{\text{up}}={\frac {4}{3}}\pi {\sqrt {2}}U^{1/4}\left(-{\frac {m}{g}}\right)N^{3/4},}$

フリードバーグ/リーを参照。^[4]

この条件は、自由粒子への崩壊に対してのみ NTS 安定性を主張することを可能にします。運動方程式は古典的なレベルでのみ与えられます。少なくとも 2 つの点を考慮する必要があります: (i) より小さな破片への崩壊 (核分裂) と (ii) の量子補正。 ${\displaystyle E(Q)<Qm}$${\displaystyle E(Q)}$${\displaystyle E(Q)}$

核分裂に対する安定条件は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {d^{2}E(Q)}{dQ^{2}}}<0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)}$

これは を意味する。この条件は例 2.2 と 2.3 の NTS で満たされる。例 2.1 の NTS はQ-ballとも呼ばれ、エネルギー (2) が (4) を満たさないにもかかわらず、核分裂に対しても安定である。省略された勾配表面エネルギーを思い出し、それを Q-ball エネルギー (1) に加える必要がある。摂動的に、 である。したがって ${\displaystyle E(Q_{1})+E(Q_{2})>E(Q_{1}+Q_{2})}$${\displaystyle E_{\text{surface}}\propto R^{2}(Q)\propto Q^{2/3}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}(E_{\text{surface}}+Q{\sqrt {2U(\phi _{0}/{\sqrt {2}})/\phi _{0}^{2}}})}{dQ^{2}}}<0.}$

もう一つの仕事は、 Qボールの薄壁記述を設定することです 。Qが小さい場合、表面は厚くなり、成長し、エネルギーゲインを殺します。しかし、厚壁近似の形式論はKusenko ^[5]によって開発されており、彼はQが小さい場合でもNTSが存在すると述べています。 ${\displaystyle E_{\text{surface}}}$${\displaystyle Q_{\min }}$${\displaystyle E_{\text{surface}}}$${\displaystyle Q(m-{\sqrt {U(|\Phi |)/|\Phi |^{2}}}{\Big |}_{\min })}$

量子補正に関しては、小さなNTSの電荷あたりの結合エネルギーも減少し、不安定になる。小さなNTSはフェルミオンの場合に特に重要であり、これは（3）のフェルミオン種数Nが当然少なく、したがってQも少ないと予想されるためである。Q=2の場合、量子補正により結合エネルギーが23％減少する。^[6] Q=1の場合、経路積分法に基づく計算がBaackeによって行われた。^[7] 量子エネルギーは、1ループフェルミオン有効作用の時間微分として導出された。 ${\displaystyle m-E(Q)/Q}$

${\displaystyle S_{\text{eff}}=-i\ln \det {\Big (}{\frac {i\gamma ^{\mu }{\partial }_{\mu }-g\sigma (x)}{i\gamma ^{\mu }{\partial }_{\mu }-g\sigma _{0}}}{\Big )}.}$

この計算により、結合エネルギーのオーダーのループエネルギーが得られる。量子化の標準法に従って量子補正を求めるには、場の関数の量子展開で構築されたハミルトニアンのシュレーディンガー方程式を解く必要がある。ボソン場NTS ^[3]の場合、それは次のように表される 。

${\displaystyle \Phi =1/{\sqrt {2}}(\phi _{cl}({\vec {r}}-{\vec {R(t)}})+\sum _{n}q_{n}(t)\beta ({\vec {r}}))e^{i\zeta (t)},\sigma =\sigma _{cl}({\vec {r}}-{\vec {R(t)}})+\sum _{n}q_{n}(t)\alpha ({\vec {r}}).}$

ここで、およびは古典的な運動方程式の解であり、質量中心の運動を表し、は全体の位相であり、は振動座標であり、光子場の振動子分解からの類推である。 ${\displaystyle \phi _{cl}\,}$${\displaystyle \sigma _{cl}}$${\displaystyle {\vec {R(t)}}}$${\displaystyle \zeta (t)}$${\displaystyle q_{n},n=5,6,\dots ,\infty }$

${\displaystyle A^{\mu }=\sum _{k}a_{k}^{\mu }(t)e^{i{\vec {k}}{\vec {r}}}+c.c.}$

この計算では、ハミルトニアンはその定数の最低次数で取られるため、4 相互作用定数が小さいことが不可欠です。結合エネルギーの量子的減少により、最小電荷が増加し、この電荷の古い値と新しい値の間で NTS が準安定になります。${\displaystyle Q_{\min }}$

いくつかのモデルにおけるNTSは、Qが安定電荷を超えると不安定になる。例えば、ゲージ電荷を持つフェルミオンを持つNTS ^[8]は、 Qが十分に大きい場合も小さい場合もQmを超える。さらに、ゲージNTSは理論の複雑な真空構造のために、電荷が保存されない古典的崩壊に対して不安定である可能性が高い。^[9] 一般に、NTS電荷は重力崩壊によって制限される 。 ${\displaystyle Q_{\max }:E(Q>Q_{\max })>Qm}$${\displaystyle E(Q)\propto (C_{1}Q^{4/3}+C_{2}Q^{2})^{2/3}}$${\displaystyle E(Q)/M_{Pl}^{2}R(Q)<1}$

Qボールのラグランジュ密度に質量のないフェルミオンとの相互作用を加えると${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Psi }+{\mathcal {L}}_{\Psi \Phi }=\Psi ^{+}(i\partial _{0}+i{\vec {\partial }}{\vec {\sigma }})\Psi -ig\Phi \Psi ^{+}\sigma _{2}\Psi ^{*}+ig\Phi ^{*}\Psi ^{T}\sigma _{2}\Psi }$

これはボソンの全体電荷がフェルミオンの2倍であると仮定するとU(1)不変でもあるが、Qボールは一度生成されると、主にその表面から -対で電荷を放出し始める。単位面積あたりの蒸発率は^{[10]である}。${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle dN/dtdS<{\Big (}U(|\Phi |)/|\Phi |^{2}{\Big |}_{\min }{\Big )}^{3/2}/192\pi ^{2}}$

対称電弱理論における捕捉された右巻きのマヨラナニュートリノの球は、ニュートリノ-反ニュートリノ消滅により、その体積全体から光子を放出することで、その電荷（捕捉された粒子の数）を失う。^{[11] [12]}${\displaystyle SU(2)_{L}SU(2)_{R}}$

粒子放出による NTS 準安定の 3 番目の例は、ゲージ非アーベル NTS です。フェルミオン多重項の質量のある (NTS 外の) メンバーは、質量のないメンバーと、NTS 内の質量のないゲージ ボソンに崩壊します。その後、質量のないフェルミオンはヒッグス場とまったく相互作用しないため、電荷を運び去ります。

最後の 3 つの例は、NTS 構築に関与しない粒子の放出による NTS 準安定のクラスを表しています。もう 1 つの類似した例: ディラック質量項のため、右巻きニュートリノが左巻きニュートリノに変換されます。これは、前述のニュートリノ ボールの表面で発生します。左巻きニュートリノはボール内では非常に重く、ボールの外側では質量がありません。そのため、エネルギーを運び去り、内部の粒子の数を減らします。この「漏れ」は、光子への消滅よりもはるかに遅いようです。^[13]${\displaystyle m({\overline {\Psi }}_{R}\Psi _{L}+{\overline {\Psi }}_{L}\Psi _{R})}$

電荷Qが大きくなり、E(Q)が のオーダーになると、NTSにとって重力が重要になります。このようなオブジェクトの正しい名前は星です。ボソン場Q星は大きなQボールのように見えます。重力がE(Q)依存性を変化させる方法^[14]がここに示されています。Q星を作るのは重力であり、核分裂に対して安定させます。 ${\displaystyle M_{Pl}^{2}R(Q)}$${\displaystyle d^{2}E(Q)/dQ^{2}<0}$

フェルミオンを持つQスターは、Bahcall/Selipskyによって記述されています。^[15] FriedbergとLeeのNTSと同様に、グローバルに保存された電荷を持つフェルミオン場は、実際のスカラー場と相互作用します。

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {i}{2}}{\overleftrightarrow {{\overline {\Psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\Psi }}-m(\sigma ){\overline {\Psi }}\Psi -U(\sigma )+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\sigma )^{2}.}$

内部の Q スターは、フェルミオンの質量を変化させてそれらを束縛するポテンシャルのグローバル最大値から移動します。 ${\displaystyle \sigma }$

しかし、この場合、Q は異なるフェルミオン種の数ではなく、フェルミ気体状態にある 1 つの同じ種類の粒子の大きな数です。したがって、フェルミオン場の記述では、に対するディラック方程式の代わりにと圧力平衡の条件を使用する必要があります。もう 1 つの未知の関数は、次の運動方程式に従うスカラー場プロファイルです。統計的集団で平均化されたフェルミオンのスカラー密度は次のとおりです。 ${\displaystyle k_{F}(r)}$${\displaystyle \Psi (r)}$${\displaystyle \Psi (r)}$${\displaystyle \sigma (r)}$${\displaystyle {\vec {\partial }}^{2}\sigma -(dm(\sigma )/d\sigma )\langle {\overline {\Psi }}\Psi \rangle -dU(\sigma )/d\sigma =0}$${\displaystyle \langle {\overline {\Psi }}\Psi \rangle }$

${\displaystyle \langle {\overline {\Psi }}\Psi \rangle =\int {\frac {m}{(k^{2}+m^{2})^{1/2}}}{\frac {2d^{3}k}{(2\pi )^{3}}},\quad 0<k<k_{F}.}$

フェルミオンガスのフェルミエネルギー。 ${\displaystyle \varepsilon _{F}=(k_{F}^{2}+m^{2})^{1/2}}$

大きなQに対する の導関数を無視すると、その方程式は圧力平衡方程式 とともに、 NTS内で と を与える単純なシステムを構成する。導関数を無視しているので、それらは一定である。フェルミオン圧力${\displaystyle \sigma (r)}$${\displaystyle P_{f}-U=0}$${\displaystyle k_{F}}$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle P_{f}=\int {\frac {k^{2}}{3(k^{2}+m^{2})^{1/2}}}{\frac {2d^{3}k}{(2\pi )^{3}}},\quad 0<k<k_{F}.}$

たとえば、およびの場合、および です。つまり、NTS ではフェルミオンは質量がないように見えます。この場合、フェルミオンの完全なエネルギーはです。体積および電荷の NTS の場合、そのエネルギーは電荷に比例します。 ${\displaystyle m(\sigma )=g\sigma }$${\displaystyle U(\sigma )=\lambda /4(\sigma ^{2}-\sigma _{0}^{2})^{2}}$${\displaystyle \sigma =0}$${\displaystyle k_{F}=\varepsilon _{F}=(3\pi ^{2}\lambda )^{1/4}\sigma _{0}}$${\displaystyle E_{f}=3P_{f}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle Q=V(k_{F}^{3}/3\pi ^{2})}$${\displaystyle E(Q)=(U+E_{f})V=\varepsilon _{F}Q}$

上述のフェルミオンQ星は、有効ハドロン場理論における 中性子星^{[16] [17]}のモデルとして考えられてきた。

スカラー場ポテンシャルに 2 つの縮退した、またはほぼ縮退した極小値がある場合、そのうちの 1 つは、たまたま残る実際の (真の) 極小値である必要があります。NTS の内部は別の極小値を占めます。このようなモデルでは、非ゼロの真空エネルギーは NTS の表面にのみ現れ、その体積には現れません。これにより、NTS は重力崩壊に陥ることなく非常に大きくなることができます。 ${\displaystyle U(\sigma )}$${\displaystyle \sigma }$

これは左右対称の電弱理論の場合である。対称性が破れるスケールが約1TeVの場合、捕捉された右利きの質量ゼロニュートリノの球は、約¹⁰⁸太陽質量の質量（エネルギー）を持つ可能性があり、クエーサーのモデルとして考えられた。^[18]${\displaystyle \nu }$

縮退ポテンシャルについては ボソン^[19]とフェルミオン^[20]ソリトン星の両方が調査された。 ${\displaystyle U(\sigma )=\mu ^{2}\sigma ^{2}(1-\sigma /\sigma _{0})^{2}/2}$

複雑なスカラー場だけが、天文学的に大きな保存粒子数を持つ重力平衡状態を形成できる。^{[21] [22]}このような天体は、その微小なサイズからミニソリトン星と呼ばれている。

ヒッグス場と標準モデルの何らかのフェルミオン場からなるシステムは、フリードバーグ・リー NTS の状態にあるでしょうか。これは重いフェルミオン場のほうが可能性が高いです。重いフェルミオン場の場合、NTS 内部で大きな質量を失うため、エネルギー利得は最大になります。この場合、湯川項はにより消えます。NTS 内部の真空エネルギーが大きい場合はなおさらです。つまり、ヒッグス質量が大きいことを意味します。フェルミオン質量が大きいということは、湯川結合が強いことを意味します。 ${\displaystyle g\sigma {\overline {\Psi }}\Psi }$${\displaystyle \sigma \simeq 0}$${\displaystyle U(0)=\lambda \sigma _{0}^{4}/4}$${\displaystyle m_{H}=\sigma _{0}{\sqrt {2\lambda }}}$${\displaystyle g}$

計算によれば^[23]、非常に小さい の場合でも、NTS解は平面波（自由粒子）よりもエネルギー的に有利であることが示されています。 =350 GeV（これは実験的に知られている250 GeVの場合のポイントです）の場合、結合は5より大きくなければなりません。 ${\displaystyle g>2.3}$${\displaystyle m_{H}}$${\displaystyle m_{H}}$${\displaystyle \lambda =1}$${\displaystyle \sigma _{0}=}$${\displaystyle g}$

次の疑問は、フェルミオン Q スターのようなマルチフェルミオン NTS が標準モデルで安定しているかどうかです。1 つのフェルミオン種に制限すると、NTS はゲージ電荷を持ちます。ゲージ NTS のエネルギーは次のように推定できます。

${\displaystyle E=(4\pi )^{1/3}(3/4)^{5/3}Q^{4/3}/R+\beta e^{2}Q^{2}/R+(4\pi R^{3}/3)\lambda \sigma _{0}^{4}/4.}$

ここで、 と はその半径と電荷です。最初の項はフェルミガスの運動エネルギー、2 番目の項はクーロン エネルギーです。 はNTS 内の電荷分布を考慮し、最後の項は体積真空エネルギーを与えます。 を最小化すると、NTS エネルギーがその電荷の関数として得られます。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle R}$

${\displaystyle E(Q)=4\sigma _{0}(\pi \lambda )^{1/4}/3\left((4\pi )^{1/3}(3/4)^{5/3}Q^{4/3}+\beta e^{2}Q^{2}\right)^{3/4}.}$

NTS は、が互いに無限距離にある粒子の質量の合計よりも小さい場合、安定です。 これは一部の の場合に当てはまりますが、このような依存性により、任意の の場合に核分裂が可能になります 。 ${\displaystyle E(Q)}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle E(Q)}$${\displaystyle Q}$

なぜNTSのようにクォークをハドロンに束縛することができないのか。フリードバーグとリーはそのような可能性を調査した。^[6]彼らは、クォークがスカラー場との相互作用によって巨大な質量を得ると仮定した。したがって、自由クォークは重く、検出を逃れる。クォークと 場で構築されたNTSは、ハドロンの静的特性を15%の精度で実証している。そのモデルは、SU(3)対称性を破ることなく保存するために、カラー対称性に加えてSU(3)対称性を要求し、 QCDグルーオンがハドロン外でSU(3)対称性の破れによって大きな質量を得て、検出も回避できるようにする。 ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma }$

原子核は、QCDよりも扱いやすい強い相互作用の有効理論ではNTSとして考えられてきた。^{[17] [24]}

NTS がどのようにして生まれるかは、宇宙が正味電荷を持っているかどうかによって決まります。正味電荷を持っていない場合には、NTS は電荷のランダムな変動から形成される可能性があります。これらの変動は大きくなり、真空を乱して NTS 構成を作り出します。

正味電荷が存在する場合、つまりパラメータ を持つ電荷非対称性が存在する場合、初期宇宙の相転移中に空間が真の真空と偽の真空の有限領域に分割されたときに、NTS が単純に誕生する可能性があります。NTS (偽の) 真空で占められている領域は、ほぼ NTS の状態です。領域形成のシナリオは、相転移の順序によって異なります。 ${\displaystyle \eta =(|n_{\Phi }-n_{\overline {\Phi }}|)/(n_{\Phi }+n_{\overline {\Phi }})}$

一次相転移が起こると、真の真空の核泡が成長して浸透し、偽の真空で満たされた領域が縮小します。後者は質量が小さいため荷電粒子が存在するのに適しており、その領域はNTSになります。^[25]

温度が臨界値を下回ると、二次相転移が起こり、空間は特性サイズを持つ偽真空と真真空の両方の相互接続領域で構成されます。この相互接続は、ギンツブルグ温度での宇宙の膨張率よりも速度が小さくなると「凍結」し、2つの真空の領域が浸透します。 ${\displaystyle T_{c}}$${\displaystyle \xi \propto T_{c}^{-1}}$${\displaystyle T_{G}}$

しかし、偽の真空エネルギーが十分に大きい場合、プロット上では、偽の真空は浸透した真の真空に囲まれた有限のクラスター（NTS）を形成します。^[26] 捕捉された電荷はクラスターを崩壊に対して安定化します。 ${\displaystyle \Lambda >0.8U_{M}}$

NTS 形成の 2 番目のシナリオでは、単位体積あたりの に帯電した NTSの数は、粒子を保持するクラスターの数密度に単純に相当します。その数密度は^[27] で与えられます。ここで、b と c は単位のオーダーの定数、はサイズ のクラスター内の 相関体積の数です 。クラスター内の粒子の数は で 、ここでははギンツブルグ温度での宇宙の電荷密度です。したがって、大きなクラスターが生まれることは非常にまれであり、最小安定電荷が存在する場合、生まれる NTS の圧倒的多数は を運びます。 ${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle n(r)=br^{-3/2}\exp {(-cr)}/V_{\xi }}$${\displaystyle r\simeq (L/2\xi )^{3}}$${\displaystyle V_{\xi }}$${\displaystyle L}$${\displaystyle Q(r)\simeq rV_{\xi }\eta n_{Q}}$${\displaystyle n_{Q}}$${\displaystyle Q_{\min }}$${\displaystyle Q_{\min }}$

偏りのある離散対称性を持つ次のラグランジュ密度^[28]

${\displaystyle {\mathcal {L}}=|\partial _{\mu }\Phi |^{2}+(\partial _{\mu }\sigma )^{2}/2-\lambda _{1}(\sigma ^{2}-\sigma _{0}^{2})^{2}/8-\lambda _{2}(\sigma -\sigma _{0})^{3}\sigma _{0}/3-h|\Phi |^{2}(\sigma -\sigma _{0})^{2}-g|\Phi |^{4}-\Lambda }$

と

${\displaystyle \lambda _{1}/\lambda _{2}=0.15,\,}$

${\displaystyle \Lambda =0.6\lambda _{1}\sigma _{0}^{4}}$そして${\displaystyle \xi =1/\lambda _{1}T_{G},}$

それは そうで あるように思われ、${\displaystyle Q_{\min }=18\lambda _{1}/h^{2}}$

${\displaystyle n(Q_{\min })\propto (\eta /\lambda _{1}Q_{\min })^{3/2}\exp {(-cQ_{\min }\lambda _{1}^{3}/\eta )}.}$

正味電荷は自由粒子の代わりに複素スカラー場凝縮体に配置することもできる。この凝縮体は空間的に均質で、 宇宙が冷えて温度補正によってポテンシャルの形が変わると、そのポテンシャルが最小になる。このようなモデルは重粒子の非対称性を説明するために使われた。^[29]${\displaystyle \langle \Phi \rangle }$${\displaystyle \Phi =f(t)\exp {(i\theta (t))}/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle |\Phi |^{2}=f^{2}(t)/2}$

もし場のポテンシャルがQボールの存在を可能にするなら、電荷体積密度が宇宙の膨張の過程で低下し、Qボールの電荷密度と等しくなるにつれて、この凝縮体からQボールが生まれる可能性がある。^[30] の運動方程式からわかるように、この密度は、微分長さ要素を持つ膨張する時空に対するスケール係数のマイナス3乗として膨張とともに変化する。 ${\displaystyle j_{0}=f^{2}\partial _{0}\theta (t)}$${\displaystyle \theta (t)}$${\displaystyle j_{0}}$ ${\displaystyle a(t)}$${\displaystyle ds^{2}=dt^{2}-a^{2}(t)(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})}$

凝縮体を Q ボールに分解することは、膨張による均一電荷密度のさらなる希釈よりも好ましいようです。共動体積内の総電荷は、もちろん固定されたままです。 ${\displaystyle Q=\int j_{0}a^{3}d^{3}x}$

の凝縮は、その質量に対する負の温度補正により、宇宙の高温で発生する可能性があります。これにより、そのポテンシャルが最小限に抑えられます。ここで、最後の項は、Qボールの存在条件を満たすために導入する必要がある追加のフィールドとの相互作用によって誘発されます。関連するQボールに関連する温度では、重いため、仮想プロセス（ループ）を通じてのみ形成されます。Q =ボールの存在条件を満たす別の方法は、非アーベル対称性に訴えることです。^[31]${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle m(T)=m^{2}-\lambda ^{2}/2}$${\displaystyle U(|\Phi |)=m^{2}|\Phi |^{2}-\lambda |\Phi |^{4}/2+\gamma |\Phi |^{6}}$${\displaystyle h\chi ^{2}|\Phi |^{2}}$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle U(|\Phi |)/|\Phi |^{2}{\Big |}_{\min }<m^{2}}$${\displaystyle \chi }$

一旦形成されると、NTS は複雑な進化を遂げ、互いや周囲の粒子との相互作用によって電荷を失ったり獲得したりする。理論パラメータに応じて、NTS は完全に消滅するか、統計的平衡に達して宇宙のある温度で「凍結」するか、相互作用が での膨張速度よりも遅い場合は「凍結」状態で誕生する。最初のケースと 2 番目のケースでは、それらの最新の存在量 (もしあれば) は、形成時のそれとは何の関係もない。^{[32] [33]}${\displaystyle T_{G}}$

NTS は複合物体であるため、蒸発放出、励起レベル、散乱形状係数など、単一粒子とは異なる特性を示す必要があります。このような現象の宇宙観測は、加速器の能力を超えた物理学に関する独自の情報を提供する可能性があります。

• フェルミ球
• トポロジカル欠陥