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リベラル・パラドックス（セン・パラドックスとも呼ばれる）は、アマルティア・センが提唱した論理的パラドックスであり、個人の選好を単一の社会的選択に集約するいかなる手段も、以下の、一見穏やかな条件を同時に満たすことはできないことを示している。
センの結果は、これが不可能であることを示している。3つの、かなり最小限の仮定はすべて同時に成り立つことはできない。このパラドックス（より正確には矛盾の証明であり、非形式論理の意味でのみパラドックスである）は、市場がパレート効率的であり、かつ個人の自由を尊重するという古典的自由主義の考え方と矛盾するように見えるため、議論の的となっている。[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]
センの証明は、社会選択理論の文脈において、アローの不可能性定理やギバード＝サタースウェイトの定理と多くの点で類似している。数学的構成物として、その適用範囲ははるかに広い。本質的には、半順序集合間の循環的多数決に関するものであり、この現象が生じるためには少なくとも3つの集合が参加する必要がある。この考え方は純粋数学と論理学に関するものであるため、同様の議論ははるかに広い分野に数多く存在する。例えば、それらは関係データベース設計における第5正規形の必要性につながる。この議論の歴史はさらに深く、コンドルセのパラドックスはおそらく有限ソートの最初の例であろう。
財の分配や社会過程の結果がパレート効率的であるとは、他者に害を与えることなく一人または複数の人の状況を改善する方法がない場合を指します。言い換えれば、他者に害を与えることなく少なくとも一人の状況を改善する方法がある場合、その結果はパレート効率的ではありません。
例えば、母親が10ドル持っていて、それを2人の子供、カルロスとシャノンに渡そうとしているとします。子供たちはそれぞれお金だけを欲しがり、互いに嫉妬しないとします。以下の分布はパレート効率的です。
しかし、母親が子供たちそれぞれに2ドルずつ与え、残りの6ドルを無駄にするような分配方法はパレート効率的ではない。なぜなら、母親は無駄にしたお金をどちらかの子供に与え、もう一方の子供に害を与えることなく、その子供をより良くすることができたはずだからである。
この例では、子どもは金銭を得たり失ったりすることで、それぞれ状況が良くなったり悪くなったりするものと想定されており、どちらの子どもも自分の取り分を他の子どもと比較して評価することで得をしたり損をしたりすることはないとされていました。より正確には、子どもが持ちうるすべての選好を評価し、少なくとも一人が好む（または好む）他の社会状態がなく、誰も好まない状況がない場合に、その状況をパレート効率的とみなす必要があります。
パレート効率性は、経済学において経済効率性の最低限の概念としてしばしば用いられる。ある仕組みがパレート効率的な結果をもたらさない場合、それは非効率的であるとみなされる。なぜなら、他の誰にも害を与えることなく、一部の人々の生活を向上させる別の方法が存在したはずだからである。
市場がパレート効率的な結果を生み出すという見解は、資本主義の重要かつ中心的な正当化根拠とみなされている。この結果は、（一定の仮定の下で）一般均衡理論と呼ばれる研究分野で確立され、厚生経済学の第一基本定理として知られている。そのため、これらの結果は、規制のない市場を正当化する保守的なリバタリアンの主張において、しばしば重要な位置を占める。
センの元の例[ 4 ]では、たった2人の人間と1つの社会問題しか考慮しない単純な社会が使われていました。その社会の2人のメンバーは「淫らな」と「潔癖な」と名付けられています。この社会には『チャタレイ夫人の恋人』の写本があり、それを淫らな人に読ませるか、潔癖な人に読ませるか、あるいは読まずに処分するかのいずれかにしなければなりません。淫らな人はこの種の読書が好きで、処分されるよりは読みたいと思うとしましょう。しかし、潔癖な人がそれを読まされる方がもっと楽しいと思うでしょう。
プルードは、その本はわいせつであり、読まずに処分すべきだと考えている。しかし、もし誰かが読まなければならないとしたら、わいせつな本を読むよりは、プルードはそちらを読む方が良いと考えている。なぜなら、プルードは、嫌悪感を抱きながら読むよりも、その本を読んで楽しむ方が、もっと悪いことだと考えているからだ。
社会におけるこの2人の個人の嗜好を踏まえ、社会計画者は何をすべきか決定しなければならない。計画者は、淫らな人に本を読ませるべきか、潔癖な人に本を読ませるべきか、それとも読ませないままにしておくべきか。より具体的には、社会計画者は、考えられる3つの結果すべてを社会的望ましさの観点からランク付けしなければならない。社会計画者は、個人の権利を尊重すべきであり、各個人が自分で本を読むかどうかを選択できるべきだと決定する。淫らな人は、「淫らな人が読む」という結果が「誰も読まない」という結果よりも上位にランク付けされるかどうかを決定する権利を持ち、同様に潔癖な人も、「潔癖な人が読む」という結果が「誰も読まない」という結果よりも上位にランク付けされるかどうかを決定する権利を持つべきである。
この戦略に従い、社会計画者は、「わいせつな読書」という結果は「誰も読まない」よりも上位にランク付けされる（わいせつな読書者の好みによる）とし、「誰も読まない」は「堅物な読書」よりも上位にランク付けされる（堅物な読書者の好みによる）と宣言する。すると、一貫性を保つためには「わいせつな読書」が「堅物な読書」よりも上位にランク付けされる必要があり、社会計画者はその本をわいせつな読書者に読ませる。
この結果は、プルードとルードの両方から「プルードが読む」よりも悪いと見なされており、したがって選択された結果は、プルードが本を読むことを強制されるという別の利用可能な結果よりもパレート劣位であることに注意してください。
哲学者アラン・ギバードが別の例を挙げた。[ 5 ]アリスとボブという二人の人が隣同士で暮らしているとしよう。アリスは青色が好きで赤色が嫌い。ボブは緑色が好きで黄色が嫌い。もしそれぞれが相手とは独立して家の色を自由に選べるとしたら、それぞれ好きな色を選ぶだろう。しかしアリスはボブを激しく嫌っており、ボブが自分の家が黄色になるのを我慢しなければならないなら、アリスは喜んで赤い家に住むだろう。ボブも同様にアリスを嫌っており、アリスが赤い家に住むことになるなら、ボブは喜んで黄色い家に住むだろう。
もし各個人が互いに独立して自分の家の色を自由に選べるとしたら、アリスは青い家を選び、ボブは緑の家を選ぶだろう。しかし、この結果はパレート効率的ではない。なぜなら、アリスもボブも、アリスの家が赤でボブの家が黄色という結果を好むからである。結果として、各個人に家の色を自由に選べるようにすると、非効率的な結果、つまりどちらも自由に色を選べないという結果よりも劣った結果になってしまう。
数学的に、アリスの好みをこの記号で表すことができます。そして、ボブのこの件に関する好みは次のとおりです。各結果をペアとして表すことができます：（アリスの家の色、ボブの家の色）。前述のとおり、アリスの好みは次のとおりです。
ボブのものは：
両者に自由かつ独立した選択を認めると、結果として（青、緑）という結果になり、これは（赤、黄）という結果よりも両者にとって好ましくないため、パレート効率的ではない。
2人以上の個人からなる社会Nと、2つ以上の社会的結果の集合Xが存在すると仮定します。（例えば、アリスとボブの例では、Nはアリスとボブからなり、Xは⟨青、黄⟩、⟨青、緑⟩、⟨赤、黄⟩、⟨赤、緑⟩の4つの色の選択肢からなります。）
社会の各個人が、社会結果の集合Xに対して、全的かつ推移的な選好関係を持っていると仮定します。表記上、個人i ∊ Nの選好関係は ≼ iで表されます。各選好関係は、 X上のすべての全的かつ推移的な関係の集合Rel(X)に属します。
社会的選択関数は、Nの選好関係の任意の構成を入力として受け取り、(「選択された」) 社会的結果のサブセットを出力として生成できるマップです。形式的には、社会的選択関数はマップです。
N → Rel(X)間の関数の集合から、 Xのべき集合への変換。（直感的に言えば、社会的選択関数は、個人の選好に基づいて一つまたは複数の社会的結果を選択するための社会原理を表します。社会的選択プロセスをRel(X) N上の関数として表現することで、選好関係のあらゆる構成に対して社会的選択関数が定義されていることを暗黙のうちに仮定しています。これは、普遍領域仮定と呼ばれることもあります。）
リベラルのパラドックスとは、あらゆる社会的選択関数は、以下の性質のうちせいぜい1つしか満たさず、両方を満たすことは決してないというものである。
言い換えれば、リベラル・パラドックスとは、あらゆる社会的選択関数Fに対して、パレート最適性または最小限のリベラリズム（あるいはその両方）に違反する選好関係p ∊ Rel(X) Nの構成が存在するというものである。上記のセンとギバードの例では、社会的選択関数はパレート最適性を犠牲にして最小限のリベラリズムを満たしている。
このパラドックスはごく少数の条件に依存しているため、パラドックスから抜け出す方法は限られている。本質的には、普遍領域の仮定、パレート原理、あるいは最小限の自由主義原理のいずれかを拒否する必要がある。セン自身は、普遍領域の否定とパレート原理の否定という2つの解決策を示唆した。
ジュリアン・ブラウは、センのパラドックスは、個人が「詮索好きな」好みを持っている場合、つまり好みが自分の行動だけでなく他人の行動にも依存する場合にのみ発生することを証明している。[ 6 ]上記のアリスとボブの例では、アリスはボブが自分の家をどのように塗装するかについて好みを持っており、ボブもアリスの家の色について好みを持っている。
市場の効率性を証明する議論のほとんどは、個人が自分の消費だけを気にかけ、他人の消費は気にかけないと仮定しており、したがってセンのパラドックスを引き起こす状況を考慮していません。実際、これはセンのパラドックスと、外部性が存在する場合、市場がパレートの結果を生み出せないというよく知られた結果との間に強い関係があることを示しています。[ 7 ]外部性とは、一方の当事者の選択が他方に影響を与えるときに発生します。外部性の古典的な例としては、汚染や乱獲が挙げられます。アリスの選択は、彼らの詮索好きな好みのために、ボブに負の外部性を課し、その逆もまた然りです。
このパラドックスを防ぐために、センは「個人の自由の究極的な保証は、社会的な選択のルールではなく、互いの個人的な選択を尊重する個人の価値観を発展させることにあるかもしれない」と提案している。[ 4 ]そうすることは、特定の種類の詮索好きな好みを制限すること、あるいは、個人が詮索好きな好みを持たない状況にのみパレート原理の適用を制限することに相当する。
基数選好の場合を考えてみましょう。例えば、アリスとボブがそれぞれ一定の範囲内で、各家の色ごとにどれだけの幸福が得られるかを述べ、最も幸福度の高い状況が選ばれたとします。この場合、最小限の自由主義的な解決策は、彼らが全く詮索好きでないことを要求するのではなく、ある家の色に関する「詮索好きな」選好の合計が何らかの閾値を下回り、「詮索好きでない」選好の合計がその閾値を上回ることを要求します。一般的に、これが当てはまる質問がいくつかあるため（センの古典的な例は、仰向けで寝るか横向きで寝るかという個人の選択です）、最小限の自由主義とパレート効率性を組み合わせるという目標は、理論的にはすべての場合を保証することは不可能ですが、実際には達成不可能ではないかもしれません。
あるいは、社会的選択のルールの普遍性と個人の権利への信念を維持しつつ、パレート原理の普遍的な適用を拒否することもできる。センもまた、これがパラドックスから抜け出す方法であると示唆している。
教訓は何でしょうか？それは、ごく基本的な意味で、自由主義的価値観はパレート原理と矛盾するということです。経済学者のようにパレート原理を真剣に受け止めるならば、たとえ非常に穏やかなものであっても、自由主義的価値観を大切にすることとの整合性の問題に直面することになります。あるいは、別の言い方をすれば、もし誰かが特定の自由主義的価値観を持っているならば、パレート最適性への固執を放棄しなければならないかもしれません。パレート基準は個人の自由の表現と考えられてきましたが、2つ以上の選択肢を含む選択においては、実際には非常に非自由主義的な結果をもたらす可能性があるようです。[ 4 ]
センのパラドックスに関するほとんどの評論家は、センの最小限の自由主義の条件は個人の権利の概念を十分に捉えていないと主張している。[ 5 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]基本的に、センの個人の権利の特徴づけから除外されているのは、権利の主張を定める契約を自発的に形成する能力である。
例えば、ルードとプルードの例では、それぞれが本を読むことを拒否する権利を持っているにもかかわらず、プルードはルードが本を読まないことを条件に、自分が本を読むことを約束する契約に自発的に署名するだろう。このような状況では、両者が自らの意思で契約を結んだため、プルードとルードの権利の侵害はなかった。同様に、アリスとボブは、相手も自分の家を嫌いな色に塗ることを条件に、それぞれが自分の嫌いな色に塗るという契約に署名するかもしれない。
この流れで、ギバードは最小限の自由主義の主張の弱いバージョンを提示し、それが契約の可能性と整合し、個人のあらゆる選好を考慮すればパレート原理とも整合すると主張している。[ 5 ]
あるいは、淫らな人と潔癖な人が同時に何をするかを決めるのではなく、一人ずつ順番に決めていくという方法もある。潔癖な人が読書をしないと決めた場合、淫らな人は読書をすることに決める。結果は同じになる。しかし、潔癖な人が読書をすることに決めた場合、淫らな人は読書をしない。「潔癖な人が読書をする」という状況は、潔癖な人（そして淫らな人）にとって「淫らな人が読書をする」よりも好ましいので、彼は（義務ではなく自発的に）読書をすることに決め、パレート効率的な結果を得ようとする。マーク・マサットは、これがパラドックスから抜け出すもう一つの方法であると示唆している。
支配戦略を持たないプレイヤーが少なくとも1人いる場合、ゲームは順次プレイされ、支配戦略を持ち、それを変更する必要があるプレイヤー（パレート最適状態にある場合は変更する必要はありません）が最初に選択を行い、独裁や制限された領域なしにパレート効率性を達成し、時間、お金、他の人などの契約コストを回避することができます。すべてのプレイヤーが支配戦略を持っている場合は、契約が使用される可能性があります。[ 11 ]
