序数効用

経済学において、順序効用関数は、順序尺度上のエージェントの選好を表す関数です。順序効用理論では、どの選択肢が他の選択肢よりも優れているかを問うことだけが意味があり、どれだけ優れているか、またはどれだけ良いかを問うことは意味がないと主張しています。確実性条件下での消費者の意思決定の理論はすべて、順序効用の観点から表現することができ、通常はそう表現されます。

たとえば、ジョージが「私は A を B より、B を C より好みます」と言ったとします。ジョージの好みは次のような関数uで表すことができます。

${\displaystyle u(A)=9,u(B)=8,u(C)=1}$

しかし、基数効用の批評家は、この関数の意味のあるメッセージは順序だけであり、実際の数値は無意味であると主張します。したがって、ジョージの好みは次の関数vでも表すことができます。 ${\displaystyle u(A)>u(B)>u(C)}$

${\displaystyle v(A)=9,v(B)=2,v(C)=1}$

関数uとv は順序的に同等であり、ジョージの好みを同様に表します。

順序効用は、基数効用理論とは対照的です。基数効用理論では、好みの違いも重要であると想定しています。u では、Aと B の違いは B と C の違いよりもはるかに小さく、vではその逆です。したがって、uとvは基数的に同等ではありません。

序数効用概念は1906年にパレートによって初めて導入されました。 ^[1]

世界のすべての状態の集合が であり、エージェントが に対して選好関係を持っているとします。弱い選好関係を でマークするのが一般的で、これは「エージェントは少なくとも A と同じくらい B を望んでいる」と読み取れます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \preceq}$${\displaystyle A\preceq B}$

記号は、無差別関係の省略形として使用されます:は、「エージェントは B と A の間で無関心である」と読みます。 ${\displaystyle \sim}$${\displaystyle A\sim B\iff (A\preceq B\land B\preceq A)}$

この記号は、強い選好関係の省略形として使用されます: ${\displaystyle \prec}$${\displaystyle A\prec B\iff (A\preceq B\land B\not \preceq A)}$

${\displaystyle A\preceq B\iff u(A)\leq u(B)}$

数値関数を定義する代わりに、エージェントの選好関係を無差別曲線でグラフで表すことができます。これは、xとyという 2 種類の商品がある場合に特に便利です。各無差別曲線は、と が同じ曲線上にある場合、 となる点の集合を示します。 ${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$${\displaystyle (x_{1},y_{1})\sim (x_{2},y_{2})}$

無差別曲線の例を以下に示します。

各無差別曲線は、消費者が等しく満足する 2 つの商品またはサービスの量の組み合わせを表す点の集合です。曲線が原点から離れるほど、効用レベルは高くなります。

任意の点における曲線の傾き ( X の Y に対する限界代替率の負の値) は、個人が同じ効用レベルを維持しながら X 財を Y 財と交換する意思がある率を示します。曲線は、消費者の限界代替率が減少すると仮定して、図に示すように原点に対して凸型です。無差別曲線 (順序アプローチ) による消費者分析は、基数効用理論に基づくものと同じ結果をもたらすことが示されています。つまり、消費者は、任意の 2 つの財間の限界代替率がそれらの財の価格比に等しくなる点で消費します (等限界原理)。

顕示選好理論は、現実世界における順序選好関係をどのように観察するかという問題を扱っています。顕示選好理論の課題は、個人が特定の財の束を選択するのを観察されたときに、好まれないという理由でどの財の束が放棄されたかを判断することにあります。^{[2] [3]}

表現関数の存在を保証するには、 いくつかの条件が必要です。${\displaystyle \preceq}$

• 推移性: ifかつthen 。${\displaystyle A\preceq B}$${\displaystyle B\preceq C}$${\displaystyle A\preceq C}$
• 完全性: すべてのバンドルについて、いずれかまたは両方。 ${\displaystyle A,B\in X}$${\displaystyle A\preceq B}$${\displaystyle B\preceq A}$
  • 完全性は反射性も意味します: あらゆる:に対して。${\displaystyle A\in X}$${\displaystyle A\preceq A}$

これらの条件が満たされ、集合が有限である場合、冒頭の段落で例示したように、の各要素に適切な数値を割り当てるだけで 、を表す関数を簡単に作成できます。 X が可算無限の場合も同様です。さらに、 の範囲に値を持つ表現効用関数を帰納的に構築することも可能です。^[4]${\displaystyle X}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \prec}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (-1,1)}$

が無限大のとき、これらの条件は不十分である。例えば、辞書式選好は推移的かつ完全であるが、いかなる効用関数でも表現することはできない。^[4]必要な追加条件は連続性である。 ${\displaystyle X}$

選好関係が連続的であるとは、B が A よりも好まれる場合、B または A からの小さな逸脱によってそれらの順序が逆転しないことを意味します。正式には、集合 X 上の選好関係は、次の同等の条件のいずれかを満たす場合に連続的と呼ばれます。

1. 任意の に対して、集合は積位相で位相的に閉じています(この定義ではが位相空間であることが必要です)。${\displaystyle A\in X}$${\displaystyle \{(A,B)|A\preceq B\}}$${\displaystyle X\times X}$${\displaystyle X}$
2. あらゆるシーケンス について、すべてのiおよびおよびに対して であれば、 となります。${\displaystyle (A_{i},B_{i})}$ ${\displaystyle A_{i}\preceq B_{i}}$${\displaystyle A_{i}\to A}$${\displaystyle B_{i}\to B}$${\displaystyle A\preceq B}$
3. となる任意の に対して、 の周りの球と の周りの球が存在し、の周りの球内の任意のと の周りの球内の任意の に対して、となる(この定義ではが距離空間であることが必要である)。${\displaystyle A,B\in X}$${\displaystyle A\prec B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$${\displaystyle b}$${\displaystyle B}$${\displaystyle a\prec b}$${\displaystyle X}$

選好関係が連続的な効用関数によって表される場合、それは明らかに連続的である。Debreu (1954)の定理によれば、その逆もまた真である。

すべての連続した完全な選好関係は、連続した順序効用関数によって表すことができます。

辞書式選好は連続的ではないことに注意してください。たとえば、 ですが、(5,1) の周りのすべての球には の点があり、これらの点は より劣っています。これは、上記のように、これらの選好は効用関数では表すことができないという事実と一致しています。 ${\displaystyle (5,0)\prec (5,1)}$${\displaystyle x<5}$${\displaystyle (5,0)}$

あらゆる効用関数vに対して、 vで表される唯一の選好関係が存在する。しかし、その逆は真ではない。選好関係は、多くの異なる効用関数によって表される可能性がある。同じ選好は、 vの単調増加変換である任意の効用関数として表現できる。例えば、

${\displaystyle v(A)\equiv f(v(A))}$

が任意の単調増加関数である場合、関数vとv は同一の無差別曲線マッピングを生成します。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

この同等性は次のように簡潔に説明されます。

順序効用関数は、単調増加変換まで一意です。

対照的に、基数効用関数は、増加するアフィン変換を除いて一意です。すべてのアフィン変換は単調です。したがって、2 つの関数が基数的に同等である場合、それらは順序的にも同等ですが、その逆は当てはまりません。

これから、集合がすべての非負の実数 2 次元ベクトルの集合であると仮定します。したがって、の要素は、リンゴとバナナなどの 2 つの製品から消費される量を表す ペアです。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (x,y)}$

そして、特定の状況下では、選好関係は効用関数によって表されます。 ${\displaystyle \preceq}$${\displaystyle v(x,y)}$

選好関係が単調増加していると仮定します。これは、「より多いことは常に良い」ことを意味します。

${\displaystyle x<x'\implies (x,y)\prec (x',y)}$

${\displaystyle y<y'\implies (x,y)\prec (x,y')}$

すると、 vの偏微分は両方とも、存在する場合は正になります。つまり、

効用関数が単調に増加する選好関係を表す場合、効用関数は単調に増加します。

ある人が束 を持っていて、この束と束 の間で無差別であると主張しているとします。これは、彼がy の単位を得るために x の単位を喜んで放棄することを意味します。この比率が と維持される場合、 は点 におけるxとy の間の限界代替率(MRS)であると言えます。^{[5] : 82}${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle (x_{0}-\lambda \cdot \delta ,y_{0}+\delta )}$${\displaystyle \lambda \cdot \delta }$${\displaystyle \delta}$${\displaystyle \delta \to 0}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

この MRS の定義は、順序選好関係のみに基づいており、数値効用関数には依存しません。選好関係が効用関数で表され、その関数が微分可能である場合、MRS はその関数の導関数から計算できます。

${\displaystyle MRS={\frac {v'_{x}}{v'_{y}}}.}$

たとえば、選好関係が で表される場合、関数 の MRS は同じになります。これは偶然ではなく、これら 2 つの関数は同じ選好関係を表します。つまり、それぞれが他方の単調増加変換です。 ${\displaystyle v(x,y)=x^{a}\cdot y^{b}}$${\displaystyle MRS={\frac {a\cdot x^{a-1}\cdot y^{b}}{b\cdot y^{b-1}\cdot x^{a}}}={\frac {ay}{bx}}}$${\displaystyle v(x,y)=a\cdot \log {x}+b\cdot \log {y}}$

一般に、MRS はポイントによって異なる場合があります。たとえば、 ではxが多くy が1 つしかないため MRS が低くなることがありますが、 または ではMRSが高くなる可能性があります。以下にいくつかの特殊なケースを説明します。 ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle (9,1)}$${\displaystyle (9,9)}$${\displaystyle (1,1)}$

ある選好関係のMRSがバンドルに依存しない場合、つまりMRSがすべてのに対して同じである場合、無差別曲線は線形であり、次の形式になります。 ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

${\displaystyle x+\lambda y={\text{const}},}$

そして、選好関係は線形関数で表すことができます。

${\displaystyle v(x,y)=x+\lambda y.}$

（もちろん、同じ関係は、またはなどの他の多くの非線形関数によって表すことができますが、線形関数が最も単純です。）^{[5] ：85}${\displaystyle {\sqrt {x+\lambda y}}}$${\displaystyle (x+\lambda y)^{2}}$

MRSが に依存し、 には依存しない場合、選好関係は、次のような 準線型効用関数で表すことができる。${\displaystyle y_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle v(x,y)=x+\gamma v_{Y}(y)}$

ここで はある単調増加関数である。MRS は関数 なので、可能な関数はの積分として計算できる: ^{[6] [5] : 87}${\displaystyle v_{Y}}$${\displaystyle \lambda (y)}$${\displaystyle v_{Y}}$${\displaystyle \lambda (y)}$

${\displaystyle v_{Y}(y)=\int _{0}^{y}{\lambda (y')dy'}}$

この場合、すべての無差別曲線は平行であり、互いに水平に移転します。

より一般的なタイプの効用関数は加法関数です。

${\displaystyle v(x,y)=v_{X}(x)+v_{Y}(y)}$

与えられた好みが加法的な効用関数によって表現可能かどうかを確認する方法はいくつかあります。

好みが加法的である場合、単純な算術計算で次のことがわかります。

${\displaystyle (x_{1},y_{1})\succeq (x_{2},y_{2})}$そして

${\displaystyle (x_{2},y_{3})\succeq (x_{3},y_{1})}$暗示する

${\displaystyle (x_{1},y_{3})\succeq (x_{3},y_{2})}$

したがって、この「二重消去」特性は加法性にとって必要な条件です。

デブリュー（1960）は、この性質も十分であることを示した。つまり、選好関係が二重相殺性質を満たす場合、それは加法的な効用関数によって表すことができる。^[7]

好みが加法関数で表現される場合、簡単な算術計算で次の式が得られます。

${\displaystyle MRS(x_{2},y_{2})={\frac {MRS(x_{1},y_{2})\cdot MRS(x_{2},y_{1})}{MRS(x_{1},y_{1})}}}$

したがって、この「対応するトレードオフ」特性は加法性の必要条件である。この条件は十分条件でもある。^{[8] [5] : 91}

3つ以上の財がある場合、効用関数の加法性条件は2つの財の場合よりも驚くほど単純である。これは、Debreu (1960)の定理3の結果である。加法性に必要な条件は、選好的独立性である。^{[5] : 104}

商品のサブセット A は、サブセット B の定数値を与えられた場合に、サブセット A の選好関係がこれらの定数値に依存しない場合、商品のサブセット B から選好的に独立していると言われます。たとえば、 x 、 y、zの 3 つの商品があるとします。サブセット { x、y } は、すべての に対して次の条件を満たす場合、サブセット { z } から選好的に独立しています。 ${\displaystyle x_{i},y_{i},z,z'}$

${\displaystyle (x_{1},y_{1},z)\preceq (x_{2},y_{2},z)\iff (x_{1},y_{1},z')\preceq (x_{2},y_{2},z')}$。

この場合、単純に次のように言えます。

${\displaystyle (x_{1},y_{1})\preceq (x_{2},y_{2})}$zは定数です。

選好の独立性は、独立した財の場合に意味を成します。たとえば、リンゴとバナナの束の間の選好は、エージェントが持っている靴と靴下の数とはおそらく独立しており、その逆も同様です。

ドブリューの定理によれば、商品のすべての部分集合がそれらの補集合から優先的に独立している場合、優先関係は加法的な価値関数で表すことができます。ここでは、このような加法的な価値関数がどのように構築されるかを示すことにより、この結果の直感的な説明を提供します。^[5]証明では、3つの商品x、y、zを想定しています。3つの価値関数のそれぞれについて、0点、1点、2点の3つの点を定義する方法を示します。他の点も同様の方法で計算でき、連続性を使用して、関数がその範囲全体で適切に定義されていると結論付けることができます。 ${\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}}$

0 点: 任意の点を選択し、それを値関数のゼロとして割り当てます。つまり、 ${\displaystyle x_{0},y_{0},z_{0}}$

${\displaystyle v_{x}(x_{0})=v_{y}(y_{0})=v_{z}(z_{0})=0}$

1 ポイント:となる任意の値を選択します。これを値の単位として設定します。 ${\displaystyle x_{1}>x_{0}}$${\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{0})\succ (x_{0},y_{0},z_{0})}$

${\displaystyle v_{x}(x_{1})=1}$

次の無差別関係が成り立つように、 およびを選択します。${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle z_{1}}$

${\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{0})\sim (x_{0},y_{1},z_{0})\sim (x_{0},y_{0},z_{1})}$。

この無差別性は、 yとzの単位をxの単位に合わせるために役立ちます。これらの3つの点の値は1であるはずなので、

${\displaystyle v_{y}(y_{1})=v_{z}(z_{1})=1}$

2点目: ここで、優先独立性仮定を使用します。との関係はzから独立しており、同様にとの関係はxから独立しており、との関係はyから独立しています。したがって、 ${\displaystyle (x_{1},y_{0})}$${\displaystyle (x_{0},y_{1})}$${\displaystyle (y_{1},z_{0})}$${\displaystyle (y_{0},z_{1})}$${\displaystyle (z_{1},x_{0})}$${\displaystyle (z_{0},x_{1})}$

${\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{1})\sim (x_{0},y_{1},z_{1})\sim (x_{1},y_{1},z_{0}).}$

これは、 関数vがこれら3つの点で同じ値（2）を持つことができることを意味するので便利です。${\displaystyle x_{2},y_{2},z_{2}}$

${\displaystyle (x_{2},y_{0},z_{0})\sim (x_{0},y_{2},z_{0})\sim (x_{0},y_{0},z_{2})\sim (x_{1},y_{1},z_{0})}$

割り当てる

${\displaystyle v_{x}(x_{2})=v_{y}(y_{2})=v_{z}(z_{2})=2.}$

3 点: これまでの割り当てが一貫していることを示すには、合計値が 3 になるすべての点が無差別点であることを示す必要があります。ここでも、との関係がzに依存しないため(他のペアについても同様)、優先独立性の仮定が使用されます。したがって 、${\displaystyle (x_{2},y_{0})}$${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$

${\displaystyle (x_{2},y_{0},z_{1})\sim (x_{1},y_{1},z_{1})}$

他のペアについても同様です。したがって、3 点は一貫して定義されます。

これを帰納的に続けて、すべての整数点で商品ごとの関数を定義し、連続性を使用してすべての実数点でそれを定義することができます。

上記の証明のポイント1における暗黙の仮定は、3つの商品すべてが不可欠であるか、または選好関連であるということです。^{[7] : 7}これは、特定の商品の量を増やすと、新しいバンドルが厳密に優れているようなバンドルが存在することを意味します。

3 つ以上の商品に対する証明も同様である。実際、すべての点のサブセットが優先的に独立であることを確認する必要はなく、商品のペアの線形数を確認すれば十分である。たとえば、異なる商品 がある場合、すべての に対して、2 つの商品が他の商品から優先的に独立していることを確認するだけで十分である。^{[5] : 115}${\displaystyle m}$${\displaystyle j=1,...,m}$${\displaystyle j=1,...,m-1}$${\displaystyle \{x_{j},x_{j+1}\}}$${\displaystyle m-2}$

加法的選好関係は、多くの異なる加法的効用関数によって表現できる。しかし、これらの関数はすべて類似している。つまり、それらは（同じ関係を表現するすべての効用関数のように）互いの単調増加変換であるだけでなく、互いの線形増加変換でもある。 ^{[7] : 9}要するに、

加法的な順序効用関数は、増加する線形変換まで一意です。

ジェラール・ドブリュー^{[9] [10]}によって確立された最も一般的なタイプの効用関数（二次関数と加法関数）の数学的基礎により、アンドラニク・タンジャンは、純粋な順序データからそれらを構築する方法を開発する ことができました。特に、変数の加法関数と二次関数の効用関数は、意思決定者へのインタビューから構築できます。インタビューでは、基数効用推定を参照せずに、座標平面で完全に2次元の無差別曲線を描くことを目的とした質問が行われます。 ^{[11] [12]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n-1}$

次の表は、経済学でよく使われる 2 種類の効用関数を比較したものです。

• 辞書式選好関係は効用関数では表現できません。Economics.SEでは
• 辞書順に並べられた R2 に埋め込まれる線形順序を認識します。Math.SE 内。
• マレー・N・ロスバード、「効用と厚生経済学の再構築に向けて」