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ケネス・アローの著書『社会選択と個人価値』（1951年、1963年および2012年に改訂）とその中に含まれる定理は、現代の社会選択理論を生み出した。これは、社会倫理と投票理論を経済学的な視点から厳密に融合させたものである。やや形式的に言えば、タイトルにある「社会選択」とは、アローが個人の順序付けの集合から得られる社会価値が憲法の下でどのように実現されるかを表現したものを指す。より非形式的に言えば、それぞれの社会選択は、たとえ全ての個人が全ての法律に賛成票を投じなかったとしても、憲法の下で「投票」（順序付けの集合）によって可決される実行可能な法律の集合に対応する。
この研究は、アローが「一般可能性定理」と呼んだ定理、後にアローの（不可能性）定理として知られる定理へと結実した。この定理は、個人の選好に対する制約、あるいは憲法が実行可能な選択肢に対して中立であるという制約がない限り、一連の妥当な要件を満たす社会選択ルールは存在しないと述べている。この結果は、多数決投票が必ずしも安定した結果をもたらさないことを示す投票のパラドックスを一般化したものである。
序論では、投票と市場を独裁政治や社会慣習（宗教規範など）と対比させている。どちらも社会的な意思決定の典型例である。投票と市場はある意味で社会的な選択を促進する一方、独裁政治と慣習はそれを制限する。前者は、おそらく異なる嗜好を統合して社会的な選択を行う。ここで問題となるのは、そのような選択を一般化する際の形式的な側面である。この点において、多数決を価値として用いることによる投票のパラドックスの分析と類似している。
アローは、投票や市場など、他の価値観を用いた嗜好集約方法がこの問題を解決できるのか、あるいは他の点で満足できるのかを問いかけている。ここで論理的一貫性は、すべての価値観の受容可能性を検証する一つの基準となる。この問いに答えるため、アローは投票と市場の区別をなくし、より一般的な集団的社会選択というカテゴリーを採用することを提案している。
この分析では、行動パターンを表すために、個人の選択を 順序尺度で表す。個人の 効用を基数尺度で表すこと、ましてや効用を個人間で比較することは、行動を表すのに不要であり、互いに相容れない価値判断に依存するという理由で避けている（9ページ）。
アブラム・ベルクソンの社会福祉関数の定式化が順序主義的福祉経済学の始まりとなったように、[ 1 ]アローは社会的な善を個人の価値観から独立したものとして位置づけることを避けている。むしろ、社会的な価値観は、個人の価値観を入力として用いる社会的意思決定ルール（憲法上の条件として仮定される）に基づく行動に内在する。したがって、「社会的な価値観」とは「社会的な選択に他ならない」という意味である（106ページ ）。
この過程で関連するトピックには、ゲーム理論、厚生経済学における補償原理、拡張された共感、ライプニッツの不可弁別物の同一性の原理、抱き合わせ取引、単峰性選好による社会的判断の類似性、カントの定言命法、意思決定プロセスなどが含まれます。
本書では、以降で使用されるいくつかの用語と論理記号、およびそれらの応用的な経験的解釈を定義している（ 11～19ページ、23ページ）。その中でも重要なのは、個人（ここでは「投票者」）で構成される社会（より一般的には「集合体」）の「投票」（「順序の集合」）であり、それは次のような形式をとる。
各投票者の順位付けは、単にその投票者による直接的な消費ではなく、商品の分配（公平性、どのような基準、あるいはその他の考慮事項に基づく可能性もある）を含む社会状態をランク付けするものである。したがって、この順位付けは、以前の分析のように純粋に個人的な「好み」ではなく、「個人の価値」である。アローは、この区別は明確ではないと指摘している。 資源配分は、順位付けにおける各社会状態の生成において規定される。
商品、社会状態の集合、および秩序の集合の包括的な性質は 、初期の評論家によって指摘されていた。
対象となるオブジェクト群（ここでは全ての社会的状態）の順序を定義する2つの特性は以下のとおりです。
先に述べた順序付けの定義によれば、任意の順序付けは、任意の2つの社会的状態（ x、y） 間の「投票」において、3つの回答のうちの1つ（xより優れている、 yと同等、 yより劣っている）を伴う。（ここで「yと同等」とは、「わからない」ではなく「同等の順位」を意味する。）
投票者の順序は R で表されます。投票者iの順序は、添え字で次のように表されます。。
投票者i が順序を変更すると、素数は最初のものと 2 番目のものを区別します。に比べ'。同じ表記法は、同じ投票者の2つの異なる仮想的な順序付けにも適用できます。
本書の意義は、複数の順序関係を統合することにある。これは「構成」と呼ばれるものを通して実現される。
憲法の社会秩序はRで表される。（文脈や添え字によって、有権者による秩序Rと、同じ記号で表される社会秩序Rが区別される。）
与えられた社会秩序Rの任意の2 つの社会状態xとyについて:
x P yは、 yに対するxの「社会的選好」です(ルールによってyよりもxが選択されます)。
x I yは、 xとyの間の「社会的無関心」を表します(ルール上、両者は同じランクにランクされます)。
x R yは、 xがyより「社会的に好まれる」か、 xとyの間に「社会的に無関心」があるかのどちらかです(このルールでは、 xはyより最も劣っているとランク付けされます)。
社会的な秩序付けは、秩序付けの集合内の各秩序付けに適用される（したがって、「社会的な」部分とそれに伴う統合が含まれる）。これは、社会的な秩序付けと集合内のいずれかの秩序付けまたはすべての秩序付けとの間の類似性または非類似性に関係なく当てはまる。しかし、アローは憲法を、さまざまな嗜好を首尾一貫したもっともらしい方法で集約しようとする順序主義的厚生経済学の文脈に位置づけている。
アロー（15、26～28ページ）は、与えられた一連の順序付けに対する社会的順序付けR から特定の「社会的選択」へ移行する方法を、以下のように指定することによって示している。
社会秩序決定器Rは、その部分集合から最も上位にランク付けされた社会状態を社会選択集合として選択する。
より厳密に言うと、社会的選択関数とは、任意の順序付けのセット（および対応する社会的順序付けR）に対して利用可能な社会的状態（少なくとも 2 つ）の各環境Sを、社会的選択セット、つまりその環境と順序付けのセットに対して各要素が（ Rによって）最上位にランク付けされる社会的状態の集合にマッピングする関数である。
社会的選択関数はC(S)と表記される。社会的状態がxとyの 2 つしかない環境を考えてみよう。C (S) = C([x, y]) 。xが唯一の最上位の社会的状態であると仮定する。すると、C([ x , y ]) = { x } となり、これが社会的選択集合となる。xとyが同順位の場合、 C ([x, y]) = { x , y } となる。正式には (p. 15)、C(S)はS内のすべてのxの集合であり、 S内のすべてのyに対して、x R y (「xはyと少なくとも同等に良い」) となる。
次のセクションでは、以下を前提とします。RとR 'は、任意の2つの順序付けセットに対応する構成の社会的順序付けを表します。同じ環境Sに対してRとR'が同じ社会的選択に対応する場合、 RとR'の同一の社会的選択の関係は、C( S ) = C'( S )と表されます。
憲法は、独裁政治や投票の影響を受けない社会慣習、あるいは外部からの統制に代わる有望な選択肢のように思えるかもしれない。アローは、社会秩序の連結性は、利用可能な社会状態の環境から何らかの社会的な選択が行われることだけを必要とすると述べている。何らかの社会状態が必ず成立する以上、これは否定しがたい（特に棄権という選択肢が投票用紙にない場合）。 社会秩序の推移性は、現状が不適応な状態（つまり「民主主義の麻痺」に陥っている状態）である場合、社会状態間の変化に全会一致（あるいはそれ以下）を必要とするよりも有利である。行き詰まりがない限り、推移性は、社会的な選択への道を阻む特権的なデフォルトとしての現状への言及を排除する（120ページ）。
アローは、憲法の社会秩序を制約するための以下の「一見妥当な」条件 を提案している（ 25、96-97頁）。[ 2 ]
憲法により、各有権者は社会状態の集合を任意の順序でランク付けすることが認められているが、与えられた順序付けの集合に対して、有権者一人につき一つの順序付けしかできない。
アローはこの条件を、将来的に観察可能な行動（問題となっている部分集合について）を重視する順序主義の拡張であると説明している。彼は、この条件を満たす「既知のすべての選挙制度」から、この条件に実際的な利点があると述べている（ 110ページ）。
これらの条件、特に2番目と3番目の条件は、一見すると最小限に見えるかもしれないが、それらが合わさると非常に厳しいものとなる。これは、2つの方法のいずれかで表現できる。
この定理の別の表現では、上記の条件に次の条件が追加されます。
#パレートは、上記の定理の証明において必要以上に強い。しかし、アロー（1963、第VIII章）では、アロー（1951）よりも簡単な証明のためにパレートが用いられている。後者では、アローは他の2つの条件を使用しており、上記の（2）と組み合わせるとパレートが導かれる（1963、97ページ 、1987、127ページ ）。
アロー（1951年、26ページ ）はここで、社会福祉は少なくとも個人の嗜好とは負の相関関係にないと述べている。
強制条件の下では、領域内のあらゆる順序付けの集合について、少なくとも一方のxとyの社会的順位はx R yのみとなる。投票は結果に影響を与えない。
証明は2つの部分から成ります（Arrow、1963、pp. 97–100）。最初の部分では、ある投票者の順序が、他のすべての投票者が反対しているにもかかわらず、ある社会状態のペアに対するその投票者の好みに関係なく、社会選択に関して優勢（「決定的」）となるという仮説的なケースを検討します。無制限領域、パレート最適、および独立性を満たす憲法の場合、その投票者の順序は、他の投票者の順序に関係なく、すべての社会状態のペアに対して優勢になることが示されています。したがって、その投票者は独裁者になります。したがって、非独裁性は、たとえ1組の社会状態のペアであっても、誰もそのような優勢にならないことを仮定することを必要とします。
第２部では、他のすべての有権者（もしいるならば）が別の選択を望んだとしても、ある２つの社会状態において優勢となる有権者の集合をより一般的に考察する。 憲法に対するパレート最適性 と無制限領域性から、そのような集合は少なくともすべての有権者を含むことになる。非独裁性から、その集合は少なくとも２人の有権者を含まなければならない。そのような集合すべての中で、他のどの集合よりも小さい集合が存在しないような集合を仮定する。このような集合は、無制限領域性と投票のパラドックスの応用によって、さらに小さい集合を導き出すように構成できる。これは仮定に矛盾するため、定理が証明される。
本書は、福祉国家の文脈において、一貫性があり実現可能な社会的選択を行うための「投票」ルール、特に「憲法」に関する、一見妥当な条件をいくつか提案している。しかし、独裁を容認する憲法は独裁を必須とし、非独裁を要求する憲法は他の条件のいずれかと矛盾する。これが、社会的選択のパラドックスである。
さまざまな投票の可能性にわたる条件のセットは、福祉経済学を洗練させ、アローの憲法をアロー以前の社会福祉関数から区別しました。そうすることで、憲法の下で他の投票を通じて社会福祉を実現しようとする際に、エージェントや役人が訴えることができる一貫した社会秩序も排除されました。[ 5] この結果は、条件を満たすあらゆる投票規則に投票のパラドックスを一般化し 、深めます。その規則は、どれほど複雑で包括的であってもです。
1963年版には、アローの定理のより簡単な証明を含む章が追加され、ブラウが以前に指摘した点が修正されている。[ 6 ] また、条件の利点を詳しく説明し、ライカー[ 7 ] とダール[ 8 ]の研究を引用して、経験的に、投票メカニズムの非推移性が不十分な不作為または多数派の反対を生み出す可能性があると述べている。これらは、可能な投票全体にわたる憲法（つまり、集団的合理性）に関するアローの特徴づけを、「変化する環境に完全に適応できる真に民主的なシステムの重要な属性」(p. 120)として支持している。
この定理は、アダム・スミスやベンサム以来の行動主義に基づく社会倫理理論の糸を解きほぐしたように見えるかもしれない。しかし、アロー自身はノーベル賞受賞講演の最後に、社会的選択のパラドックスの哲学的および分配上の意味合いは「まだ明確ではない」ものの、他の人々が「このパラドックスを落胆させる障壁ではなく、挑戦として受け止めてくれるだろう」という希望を表明している。
その後の膨大な文献では、条件を拡張、弱化、あるいは置き換え、そこから示唆を導き出すための再定式化が行われてきた。この点において、アローの枠組みは、投票理論を一般化し、経済政策や社会選択理論を批判的に評価・拡張するための手段として機能してきた。
