ゴーマン極形式

ゴーマン極形式は、経済学における間接効用関数の関数形式です。

標準的な消費者理論は、単一の消費者を対象にしています。消費者には効用関数があり、そこから需要曲線を計算できます。したがって、特定の状況、価格、所得の変化における消費者の行動を予測できます。しかし、現実には、さまざまな消費者がいて、それぞれが独自の効用関数と需要曲線を持っています。消費者理論を使用して、社会全体の行動を予測するにはどうすればよいでしょうか。1 つの選択肢は、社会全体を 1 人の「メガ消費者」として表すことです。この「メガ消費者」には、総効用関数と総需要曲線があります。しかし、どのような場合に、社会全体を 1 人の消費者として表すことができるのでしょうか。

正式には、^[1]消費者がいる経済を考えてみましょう。各消費者は、自分の収入と価格体系 に依存する需要関数を持っています。${\displaystyle n}$${\displaystyle m^{i}}$

${\displaystyle x^{i}(p,m^{i})}$

社会の総需要は、一般的に、価格体系と所得の分配全体の関数です。

${\displaystyle X(p,m^{1},\dots ,m^{n})=\sum _{i=1}^{n}x^{i}(p,m^{i})}$

社会全体を単一の消費者として表すには、総需要は、その分配に関係なく、価格と総所得のみの関数でなければなりません。

${\displaystyle X(p,m^{1},\dots ,m^{n})=X\left(p,\sum _{i=1}^{n}m^{i}\right)}$

どのような条件下で総需要をこのように表すことができるのでしょうか?

アントネッリ (1886) とナタフ (1953) による初期の研究結果では、すべての個人が市場で同じ価格に直面していると仮定すると、彼らの所得消費曲線とエンゲル曲線(所得の関数としての支出) は平行な直線になるはずであることが示されていました。これは、消費者の曲線を合計するだけで、社会全体の所得消費曲線を計算できることを意味します。言い換えると、社会全体に一定の所得が与えられているとします。この所得は何らかの形で社会のメンバー間で分配され、各メンバーは所得消費曲線に従って消費を選択します。曲線がすべて平行な直線であれば、社会の総需要はエージェント間の所得分配とは無関係になります。

ゴーマンが 1953 年に発表した最初の論文では、社会を 1 人の個人で代表するという疑問に答えるために、これらのアイデアを展開しました。1961 年にゴーマンは、メトロエコノミカ誌に 4 ページの短い論文を発表し、線形エンゲル曲線を生み出す選好の関数形式を明示的に表現しました。各消費者の支出関数(特定の価格システムで特定の効用レベルに到達するために必要な金額) は、効用に関して線形である必要があります。 ${\displaystyle i}$

${\displaystyle e^{i}\left(p,u^{i}\right)=f^{i}(p)+g(p)\cdot u^{i}}$、

ここで、 と は両方とも価格 ( 、ベクトル)に関して次数 1 の同次条件です。この同次条件により、 が線形エンゲル曲線を与えることが保証されます。 ${\displaystyle f^{i}\left(p\right)}$${\displaystyle g\left(p\right)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle e^{i}\left(p,u\right)}$

${\displaystyle f^{i}\left(p\right)}$および には、次のような解釈があります。は、各個人 ( )の基準効用レベル 0 に到達するために必要な支出であり、 は、効用レベル を達成するために必要な余剰金銭所得をデフレートした価格指数です。 は社会のすべての個人に対して同じであるため、すべての消費者のエンゲル曲線は平行であること に注意することが重要です。${\displaystyle g\left(p\right)}$${\displaystyle f^{i}\left(p\right)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle g\left(p\right)}$${\displaystyle e^{i}\left(p,u\right)-f^{i}(p)}$${\displaystyle {\bar {u}}}$${\displaystyle g\left(p\right)}$

この式を逆にすると、間接効用関数（価格と所得の関数としての効用）が得られます。

${\displaystyle v^{i}\left(p,m^{i}\right)={\frac {m^{i}-f^{i}(p)}{g(p)}}}$、

ここで、 は個人が利用できる所得額であり、前の式の支出 ( ) に相当します。これは、ゴーマンが「基礎となる効用関数の極形式」と呼んだものです。ゴーマンが極という用語を使用したのは、間接効用関数は、無差別曲線を記述するために、直交座標 (直接効用関数の場合) ではなく極座標を使用していると見ることができるという考え方に由来しています。ここで、所得 ( ) は半径に類似しており、価格 ( ) は角度に類似しています。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle e^{i}\left(p,u^{i}\right)}$${\displaystyle m^{i}}$${\displaystyle p}$

ゴーマン極座標形式を持つ2種類の選好は次の通りである: ^{[2] : 154}

エージェントの効用関数が次の形式である場合: ${\displaystyle i}$

${\displaystyle u_{i}(x,m)=u_{i}(x)+m}$

間接効用関数は（内部解を仮定すると）次の形式になります。

${\displaystyle v_{i}(p,m)=v_{i}(p)+m}$

これはゴーマン形式の特殊なケースです。

実際、準線形効用を持つ消費者の非線形財に対するマーシャル需要関数は所得にまったく依存しません（この準線形の場合、線形財に対する需要は所得に比例します）。

${\displaystyle x_{i}(p,m)=-{\frac {dv(p)/dm}{v(p)/dp_{i}}}=-{\frac {1}{dv(p)/dp_{i}}}=(v_{i}')^{-1}(p)=v_{i}'(p)^{-1}}$

したがって、非線形財の総需要関数も所得に依存しません。

${\displaystyle X(p,M)=\sum _{i=1}^{n}{(v_{i}')^{-1}(p)}}$

社会全体は、準線形効用関数を持つ単一の代表エージェントによって表すことができます。

${\displaystyle U(x,m)=U(x)+m}$

ここで関数は次の等式を満たします。 ${\displaystyle U}$

${\displaystyle (U')^{-1}(p)=\sum _{i=1}^{n}{(v_{i}')^{-1}(p)}}$

すべてのエージェントが同じ効用関数を持つ特殊なケースでは、集計効用関数は次のようになります。 ${\displaystyle u(x,m)=u(x)+m}$

${\displaystyle U(x,M)=n\cdot u\left({\frac {x}{n}}\right)+M}$

間接効用関数の形式は次のようになります。

${\displaystyle v(p,m_{i})=v(p)\cdot m}$

これもゴーマン形式の特殊なケースです。

特に、線形、レオンチェフ、コブ・ダグラス効用は相似であり、したがってゴーマン形式を持ちます。

ゴーマン極形式の関数のエンゲル曲線が線形であることを証明するには、ロイの恒等式を間接効用関数に適用して、個人 ( ) と商品 ( ) のマーシャル需要関数を取得します。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle x_{n}^{i}(p,m^{i})=-{\frac {\frac {\partial v^{i}(p,m^{i})}{\partial p_{n}}}{\frac {\partial v^{i}(p,m^{i})}{\partial m^{i}}}}={\frac {\partial f^{i}(p)}{\partial p_{n}}}+{\frac {\partial g(p)}{\partial p_{n}}}\cdot {\frac {m-f^{i}(p)}{g(p)}}}$

これは所得（ ）に対して線形であるため、ある個人の所得の変化に対するある商品に対する個人の需要の変化は 所得に依存せず、したがってエンゲル曲線は線形です。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle {\frac {\partial x_{n}^{i}(p,m^{i})}{\partial m}}={\frac {\frac {\partial g(p)}{\partial p_{n}}}{g(p)}}}$

また、この変化は特定の個人に固有の 変数に依存しないため、異なる個人のエンゲル曲線の傾きは等しくなります。

ゴーマン極形式の多くの応用は、さまざまなテキストやホノハンとニアリーの論文にまとめられています。^[3]これらの応用には、特定のケースでのおよびの推定の容易さが含まれます。しかし、最も重要な応用は経済学の理論家にとってのものであり、研究者が効用最大化を目指す個人の社会を単一の個人として扱うことを可能にします。言い換えれば、これらの条件下ではコミュニティ無関心マッピングが存在することが保証されています。 ${\displaystyle f^{i}(p)}$${\displaystyle g(p)}$

• 総需要
• 代表代理人

• アントネッリ、イギリス (1886 年)。Sulla Teoria Matematica dell'Economia Politica。ピサ。{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)英語訳は、Chipman, JS、Hurwicz, L.、Richter, MK、他編 (1971)。Preferences , Utility and Demand: A Minnesota Symposium。ニューヨーク: Harcourt Brace Jovanovich。pp. 333–360。
• ゴーマン、WM（1961）。「選好フィールドのクラスについて」メトロエコノミカ。13 （2）：53-56。doi ： 10.1111/j.1467-999X.1961.tb00819.x。
• ナタフ、A. (1953)。 「エコノメトリに関する質問の集合体」。パリ大学統計研究所の出版物。 2、ファスク。 Vol. 4：5-61。