等差数列における素数

数論において、等差数列の素数とは、等差数列の連続する項である少なくとも 3 つの素数の列のことです。例として、素数列 (3, 7, 11) は、に対して次のように表されます。 ${\displaystyle a_{n}=3+4n}$${\displaystyle 0\leq n\leq 2}$

グリーン・タオの定理によれば、素数列には任意の長さの等差数列が存在する。この語句は、合成数も含む等差数列に属する素数についても使用されることがある。例えば、形式の等差数列の素数についてこの語句を使用することができる。ここで、aとb は互いに素であり、等差数列に関するディリクレの定理によれば、この等差数列には無限個の素数と無限個の合成数が含まれる。 ${\displaystyle an+b}$

整数 k ≥ 3の場合、 AP- k ( PAP- kとも呼ばれる) は等差数列のk個の素数の任意のシーケンスです。 AP- k は、固定整数a (公差と呼ばれる) とb、およびk 個の連続する整数値nに対して、形式a · n + bのk個の素数として表すことができます。 AP- k は通常、 n = 0 からk − 1で表されます。 これは、 b を等差数列の最初の素数として  定義することで常に実現できます。

任意の素数の等差数列の長さは有限です。2004 年に、ベン・J・グリーンとテレンス・タオは、グリーン・タオ定理を証明することで古い推測に決着をつけました。「素数には任意の長さの等差数列が含まれます。 ^{」[1]すると、任意の}kに対してAP- kが無限に存在することがわかります。

AP- k が素数kで始まらない場合、公差は素数 k # = 2·3·5·...· jの倍数になります。ここで、jはk ≤ 最大の素数です。

証明: nのk 個の連続する値に対して、 AP- k をa · n + bとします。素数p がa を割り切れない場合、モジュラー算術によれば、p は等差数列のp 番目の項ごとに割り切れます。(HJ Weber, Cor.10 in ``Exceptional Prime Number Twins, Triplets and Multiplets,” arXiv:1102.3075[math.NT] より。また、 Theor.2.3 in ``Regularities of Twin, Triplet and Multiplet Prime Numbers,” arXiv:1103.0447[math.NT], Global JPAMath 8(2012), in press も参照。) AP がk 個の連続する値に対して素数である場合、a はp ≤ kのすべての素数で割り切れる必要があります。

これはまた、公差aを持つ AP には、 a を割り切れない最小の素数の値よりも多くの連続する素数項を含めることができないことも示しています。

kが素数の場合、AP- k はkで始まり、公差はk #ではなく( k −1)# の倍数のみになります。(HJ Weber 著、「Less Regular Exceptional and Repeating Prime Number Multiplets」、arXiv:1105.4092[math.NT]、Sect.3 より) たとえば、素数が {3、5、7} で公差 2# = 2 の AP-3、または素数が {5、11、17、23、29} で公差 4# = 6 の AP-5 です。このような例はすべての素数kに対して存在すると推測されます。2018 年現在、これが確認されている最大の素数はk = 19 で、この AP-19 は 2013 年に Wojciech Iżykowski によって発見されました。 ^{[アップデート]}

19 + 4244193265542951705·17#·n、n = 0から18。^[2]

ディクソンの予想や素数 k 組予想のいくつかの変種など、広く信じられている予想から、p > 2 がa を割り切れない最小の素数である場合、公差aを持つ AP-( p −1) が無限に存在することがわかります。たとえば、 5 は 6 を割り切れない最小の素数であるため、公差 6 を持つ AP-4 が無限に存在することが予想され、これはセクシー素数四つ組と呼ばれます。a = 2、p = 3 の場合、これは双子素数予想であり、2 つの素数 ( b、b + 2)の「AP-2」があります。

最後の項を最小化する。^[3]

素数qに対して、q # は素数2·3·5·7·...· qを表します。

2019年9月現在^{[アップデート]}、最も長いAP- kはAP-27である。AP-26の例はいくつか知られている。最初に発見されたのは、2010年4月12日に、 Jarosław WróblewskiとGeoff Reynoldsのソフトウェアを搭載したPlayStation 3でBenoît Perichonによって発見され、Bryan LittleによってPlayStation 3に移植された分散PrimeGridプロジェクトであった。^[2]

43142746595714191 + 23681770·23#· n、n = 0 から 25。 (23# = 223092870) ( OEISの配列A204189 )

最初のAP-26が発見されるまでに、探索はPrimeGrid ^[4]によって131,436,182のセグメントに分割され、世界中の 32/64ビットCPU、Nvidia CUDA GPU、Cellマイクロプロセッサによって処理されました。

それ以前の記録は、2008年5月17日にラナン・チェルモニとヤロスワフ・ヴロブレフスキが発見したAP-25でした。^[2]

6171054912832631 + 366384·23#· n、n = 0 から 24。(23# = 223092870)

AP-25 の検索は、Athlon 64で約 3 分かかるセグメントに分割され、Wróblewski は「Raanan が処理したセグメントは 10,000,000 未満だったと思う」と報告しています^[5] (これは Athlon 64 では約 57 CPU 年かかります)。

以前の記録は、2007 年 1 月 18 日に Jarosław Wróblewski が単独で発見した AP-24 でした。

468395662504823 + 205619·23#· n、n = 0 から 23 まで。

このためにヴロブレフスキは合計75台のコンピュータを使用したと報告している。その内訳は64ビットAthlon 15台、デュアルコア64ビットPentium D 805 15台、32ビットAthlon 2500 30台、Durons 900 15台である。 ^[6]

次の表は、最大の既知の AP- kと、発見された年、および末尾の素数の10進桁数を示しています。最大の既知の AP- k は、 AP-( k +1)の末尾である可能性があることに注意してください。一部の記録保持者は、まずpを固定したc · p #+1 の形式の素数の大規模なセットを計算し、次に素数を生成するcの値の中から AP を検索することを選択します。これは、一部の記録の式に反映されています。式は、簡単にa · n + bと書き直すことができます。

等差数列の連続する素数とは、等差数列の連続する項である少なくとも 3 つの連続する素数を指します。AP- kとは異なり、数列の項間の他のすべての数は合成数でなければならないことに注意してください。たとえば、AP-3 {3, 7, 11} は 5 も素数であるため、適格ではありません。

整数k ≥ 3 の場合、CPAP- k は等差数列のk 個の連続する素数です。任意の長さの CPAP が存在すると推測されます。これは、すべてのkに対してCPAP- k が無限に存在することを意味します。 CPAP-3 の真ん中の素数はバランス素数と呼ばれます。2022 年現在知られている最大の素数は 15004 桁です。 ^{[アップデート]}

最初のCPAP-10は、1998年にハーヴェイ・ダブナー、トニー・フォーブス、ニック・リゲロス、ミシェル・ミゾニー、ポール・ツィンマーマンが主催した分散コンピューティングプロジェクトCP10でマンフレッド・トプリックによって発見されました。 ^[7]このCPAP-10は、7# = 210という最小の公差を持っています。2018年現在、他に知られているCPAP-10は、2008年に同じ人々によって発見されたものです。

CPAP-11が存在する場合、その公差は11の倍数である2310であるはずです。したがって、11個の素数の最初と最後の差は23100の倍数になります。11個の素数の間に少なくとも23090個の合成数が必要であることから、CPAP-11を見つけるのは非常に困難であるように見えます。ダブナーとツィンマーマンは、CPAP-10を見つけるのよりも少なくとも10の12^倍難しいと推定しています。^[8]

CPAP- kの最初の出現は、 k ≤ 6の場合のみ知られています( OEISのシーケンスA006560 )。

この表は、等差数列におけるk 個の連続する素数の最大の既知のケース ( k = 3 から 10) を示しています。

x _{d は}、上記のレコードの 1 つで使用されるd桁の数値であり、素数間の必要な合成数の異常に多い小さい因数を保証します。x ₁₀₆ = 115376 22283279672627497420 78637565852209646810 56709682233916942487 50925234318597647097 08315833909447378791 x ₁₅₃ = 9656383640115 03965472274037609810 69585305769447451085 87635040605371157826 98320398681243637298 57205796522034199218 09817841129732061363 55565433981118807417 = x ₂₅₃  % 379# x ₂₅₃ = 1617599298905 320471304802538356587398499979 836255156671030473751281181199 911312259550734373874520536148 519300924327947507674746679858 816780182478724431966587843672 408773388445788142740274329621 811879827349575247851843514012 399313201211101277175684636727

• カニンガムチェーン
• セメレディの定理
• プライムグリッド
• 等差数列に関する問題

• Chris Caldwell、「The Prime Glossary: 算術数列」、「The Top Twenty: Arithmetic Progressions of Primes」および「The Top Twenty: Consecutive Primes in Arithmetic Progression」、すべてPrime Pagesから。
• Weisstein、Eric W.「素数算術数列」。MathWorld。
• Jarosław Wróblewski、等差数列で 26 個の素数を検索するには?
• P. Erdősおよび P. Turán、整数のいくつかのシーケンスについて、J. London Math。社会11 (1936)、261–264。