フビニ研究指標

数学において、 フビニ・スタディ計量（ふびに・スタディどきめ、IPA: /fubini-ʃtuːdi/）は、エルミート形式を備えた複素射影空間CP ⁿ上のケーラー計量である。この計量は、1904年と1905年にグイド・フビニとエドゥアルト・スタディによって最初に記述された。^{[1] [2]}

(ベクトル空間) C ^{n +1}のエルミート形式は、GL( n +1, C ) のユニタリ部分群U( n +1) を定義します。フビニ–スタディ計量は、そのような U( n +1) 作用の下での不変性によって相同性 (全体的なスケーリング) まで決定されるため、同次です。フビニ–スタディ計量を備えたCP ^{n は}対称空間です。計量の特定の正規化は、アプリケーションによって異なります。リーマン幾何学では、フビニ–スタディ計量が(2 n +1) 球面上の標準計量に単純に関係するように正規化を使用します。代数幾何学では、 CP ^{n を}ホッジ多様体にする正規化を使用します。

フビニ・スタディ計量は、複素射影空間の商空間構成において自然に生じます。

具体的には、CP ^{n を}C ^{n +1}のすべての複素直線からなる空間、つまり各点のすべての複素倍数を関連付ける同値関係によるC ^{n +1} \{0}の商として定義することができます。これは、乗法群C ^*  =  C  \ {0} の対角群作用による商と一致する:

${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}=\left\{\mathbf {Z} =[Z_{0},Z_{1},\ldots ,Z_{n}]\in {\mathbf {C} }^{n+1}\setminus \{0\}\right\}{\big /}\{\mathbf {Z} \sim c\mathbf {Z} ,c\in \mathbf {C} ^{*}\}.}$

この商は、C ^{n +1} \{0}を基本空間CP ⁿ上の複素直線束として実現します。(実際、これはCP ⁿ上のいわゆるトートロジー束です。) CP ⁿの点は、非ゼロ複素再スケーリングを法とする ( n +1) 組 [ Z ₀ ,..., Z _n ]の同値類と同一視されます。Z _{i は}、その点の 同次座標と呼ばれます。

さらに、この商写像は 2 つのステップで実現できます。非ゼロの複素スカラーz  =  R  e ^{iθによる乗算は、係数}Rによる拡大とそれに続く角度 による原点の反時計回りの回転の合成として一意に考えることができるため、商写像C ^{n +1}  →  CP ^{n は}2 つの部分に分割されます。 ${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle \mathbf {C} ^{n+1}\setminus \{0\}\mathrel {\stackrel {(a)}{\longrightarrow }} S^{2n+1}\mathrel {\stackrel {( b)}{\longrightarrow }} \mathbf {CP} ^{n}}$

ここで、ステップ(a)は、正の実数の乗法群R∈R+に対する拡大Z~RZ による 商であり 、 ステップ( ^{b )}は回転Z  ~  eiθZによる商です。

(a) の商の結果は、方程式 | Z | ² = | Z ₀ | ²  + ... + | Z _n | ^{2 = 1 で定義される実超球面}S ^{2 n +1}です。  (b) の商はCP ⁿ  =  S ^{2 n +1} / S ¹を実現します。ここで、S ^{1 は}回転群を表します。この商は、有名なホップファイバS ¹  →  S ^{2 n +1}  →  CP ⁿによって明示的に実現され、そのファイバは の大円の中にあります。 ${\displaystyle S^{2n+1}}$

リーマン多様体（または一般に計量空間）の商を取る場合、商空間に明確に定義された計量が備わっていることを確認する必要があります。たとえば、グループGがリーマン多様体 ( X 、 g ) に作用する場合、軌道空間 X / G が誘導計量を持つためには、任意の元h  ∈  Gとベクトル場のペアに対してg ( Xh、Yh ) =  g ( X、Y ) が成立するという意味で、 G軌道に沿って一定でなければなりません。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle X,Y}$

C ^{n +1}上の標準エルミート計量は、標準基底で次のように与えられる。

${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {Z} \otimes d{\bar {\mathbf {Z} }}=dZ_{0}\otimes d{\bar {Z}}_{0}+\ cdots +dZ_{n}\otimes d{\bar {Z}}_{n}}$

その実現はR ^{2 n +2}上の標準ユークリッド計量です。この計量はC ^*の対角作用に対して不変ではないため、商でCP ⁿに直接押し下げることはできません。ただし、この計量は回転群S ¹ = U(1)の対角作用に対して不変です。 したがって、上記の構成のステップ (b) は、ステップ (a) が達成されると可能になります。

フビニ・スタディ計量は、商CP ⁿ  =  S ^{2 n +1} / S ¹に誘導される計量であり、標準ユークリッド計量を単位超球面に 制限することによって付与される、いわゆる「ラウンド計量」を持ちます。${\displaystyle S^{2n+1}}$

同次座標を持つCP ⁿの点に対応して、次のような n座標の唯一の集合が存在する。${\displaystyle [Z_{0}:\ドット :Z_{n}]}$${\displaystyle (z_{1},\dots ,z_{n})}$

${\displaystyle [Z_{0}:\dots :Z_{n}]\sim [1,z_{1},\dots ,z_{n}],}$

が与えられる。具体的には、 である。 は、座標パッチ におけるCP ⁿのアフィン座標系を形成する。明らかな方法でで割ることにより、任意の座標パッチにおけるアフィン座標系を展開することができる。 n +1 個の座標パッチがCP ^{n を}覆い、上のアフィン座標で計量を明示的に与えることが可能である。 座標導関数は、 CP ⁿの正則接線バンドルのフレームを定義し、それに関して、フビニ・スタディ計量はエルミート成分を持つ。 ${\displaystyle Z_{0}\neq 0}$${\displaystyle z_{j}=Z_{j}/Z_{0}}$${\displaystyle (z_{1},\dots ,z_{n})}$${\displaystyle U_{0}=\{Z_{0}\neq 0\}}$${\displaystyle U_{i}=\{Z_{i}\neq 0\}}$${\displaystyle Z_{i}}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle (z_{1},\dots ,z_{n})}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle \{\partial _{1},\ldots ,\partial _{n}\}}$

${\displaystyle g_{i{\bar {j}}}=h(\partial _{i},{\bar {\partial }}_{j})={\frac {\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)\delta _{i{\bar {j}}}-{\bar {z}}_{i}z_{j}}{\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)^{2}}}.}$

ここで | z | ²  = | z ₁ | ²  + ... + | z _n | ²である。つまり、このフレームにおけるフビニ・スタディ計量の エルミート行列は

${\displaystyle {\bigl [}g_{i{\bar {j}}}{\bigr ]}={\frac {1}{\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)^{2}}}\left[{\begin{array}{cccc}1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{1}|^{2}&-{\bar {z}}_{1}z_{2}&\cdots &-{\bar {z}}_{1}z_{n}\\-{\bar {z}}_{2}z_{1}&1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{2}|^{2}&\cdots &-{\bar {z}}_{2}z_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-{\bar {z}}_{n}z_{1}&-{\bar {z}}_{n}z_{2}&\cdots &1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{n}|^{2}\end{array}}\right]}$

各行列要素はユニタリ不変であることに注意してください。対角作用によってこの行列は変更されません。 ${\displaystyle \mathbf {z} \mapsto e^{i\theta }\mathbf {z} }$

したがって、線要素は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=g_{i{\bar {j}}}\,dz^{i}\,d{\bar {z}}^{j}\\[4pt]&={\frac {\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)|d\mathbf {z} |^{2}-({\bar {\mathbf {z} }}\cdot d\mathbf {z} )(\mathbf {z} \cdot d{\bar {\mathbf {z} }})}{\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)^{2}}}\\[4pt]&={\frac {(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})\,dz_{j}\,d{\bar {z}}^{j}-{\bar {z}}^{j}z_{i}\,dz_{j}\,d{\bar {z}}^{i}}{\left(1+z_{i}{\bar {z}}^{i}\right)^{2}}}.\end{aligned}}}$

この最後の式では、合計規則を使用して、 1 からnまでの範囲 のラテンインデックスi、j を合計します。

このメトリックは、次のケーラーポテンシャルから導出できる。^[3]

${\displaystyle K=\ln(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})=\ln(1+\delta _{i{\bar {j}}}z^{i}{\bar {z}}^{j})}$

として

${\displaystyle g_{i{\bar {j}}}=K_{i{\bar {j}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{i}\,\partial {\bar {z}}^{j}}}K}$

代数幾何学の射影多様体を記述するのによく使われる同次座標の表記法で表現することもできる：Z  = [ Z ₀ :...: Z _n ]。形式的には、関係する表現を適切に解釈すれば、

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\frac {|\mathbf {Z} |^{2}|d\mathbf {Z} |^{2}-({\bar {\mathbf {Z} }}\cdot d\mathbf {Z} )(\mathbf {Z} \cdot d{\bar {\mathbf {Z} }})}{|\mathbf {Z} |^{4}}}\\&={\frac {Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }dZ_{\beta }d{\bar {Z}}^{\beta }-{\bar {Z}}^{\alpha }Z_{\beta }dZ_{\alpha }d{\bar {Z}}^{\beta }}{\left(Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }\right)^{2}}}\\&={\frac {2Z_{[\alpha }\,dZ_{\beta ]}{\bar {Z}}^{[\alpha }\,{\overline {dZ}}^{\beta ]}}{\left(Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }\right)^{2}}}.\end{aligned}}}$

ここでは、0からnまでの範囲のギリシャ語のインデックスαβの合計を計算するために合計規則が使用され、最後の等式ではテンソルの歪曲部分の標準的な表記法が使用されています。

${\displaystyle Z_{[\alpha }W_{\beta ]}={\tfrac {1}{2}}\left(Z_{\alpha }W_{\beta }-Z_{\beta }W_{\alpha }\right).}$

さて、この d s ^{2の表現は、明らかにトートロジーバンドル}C ^{n +1} \{0}の全空間上のテンソルを定義しています。これは、 CP ⁿのトートロジーバンドルの正則セクション σ に沿って引き戻すことで、CP ⁿ上のテンソルとして適切に理解されます。次に、引き戻しの値がセクションの選択に依存しないことを確認する必要があります。これは直接計算によって行うことができます。

このメトリックのケーラー形式は

${\displaystyle \omega ={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\log |\mathbf {Z} |^{2}}$

ここで、 はドルボー演算子です。 この引き戻しは、正則断面の選択とは明らかに無関係です。 量 log| Z | ^{2 は、} CP ⁿのケーラーポテンシャル（ケーラースカラーと呼ばれることもあります）です。 ${\displaystyle \partial ,{\bar {\partial }}}$

量子力学では、フビニ・スタディ計量はビュール計量とも呼ばれる。^[4]しかし、ビュール計量は典型的には混合状態の表記法で定義されるのに対し、以下の説明は純粋状態に基づいて書かれている。計量の実部はフィッシャー情報計量（の4分の1）である。^[4]

フビニ・スタディ計量は量子力学でよく使われるブラケット記法で表すことができる。この記法を上記の同次座標と明示的に等しくするために、

${\displaystyle \vert \psi \rangle =\sum _{k=0}^{n}Z_{k}\vert e_{k}\rangle =[Z_{0}:Z_{1}:\ldots :Z_{n}]}$

ここで、はヒルベルト空間の正規直交基底ベクトルの集合、は複素数、は同次座標における射影空間CP ⁿの点の標準的な表記である。すると、空間内の2つの点とが与えられたとき、それらの間の距離（測地線の長さ）は ${\displaystyle \{\vert e_{k}\rangle \}}$ ${\displaystyle Z_{k}}$${\displaystyle Z_{\alpha }=[Z_{0}:Z_{1}:\ldots :Z_{n}]}$ ${\displaystyle \vert \psi \rangle =Z_{\alpha }}$${\displaystyle \vert \varphi \rangle =W_{\alpha }}$

${\displaystyle \gamma (\psi ,\varphi )=\arccos {\sqrt {\frac {\langle \psi \vert \varphi \rangle \;\langle \varphi \vert \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle \;\langle \varphi \vert \varphi \rangle }}}}$

あるいは、射影多様体記法では、

${\displaystyle \gamma (\psi ,\varphi )=\gamma (Z,W)=\arccos {\sqrt {\frac {Z_{\alpha }{\bar {W}}^{\alpha }\;W_{\beta }{\bar {Z}}^{\beta }}{Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }\;W_{\beta }{\bar {W}}^{\beta }}}}.}$

ここで、は の複素共役です。分母にが出現していることは、および が同様に単位長さに正規化されていないことを思い出させます。したがって、ここでは正規化が明示的に行われます。ヒルベルト空間では、計量は 2 つのベクトル間の角度として解釈できます。したがって、これは量子角と呼ばれることもあります。角度は実数値で、0 から の範囲です。 ${\displaystyle {\bar {Z}}^{\alpha }}$${\displaystyle Z_{\alpha }}$${\displaystyle \langle \psi \vert \psi \rangle }$${\displaystyle \vert \psi \rangle }$${\displaystyle \vert \varphi \rangle }$${\displaystyle \pi /2}$

この計量の無限小形式は、 を取ることによって簡単に得られる。 あるいは、同等に、を得ること もできる。${\displaystyle \varphi =\psi +\delta \psi }$${\displaystyle W_{\alpha }=Z_{\alpha }+dZ_{\alpha }}$

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\langle \delta \psi \vert \delta \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle }}-{\frac {\langle \delta \psi \vert \psi \rangle \;\langle \psi \vert \delta \psi \rangle }{{\langle \psi \vert \psi \rangle }^{2}}}.}$

量子力学の文脈では、CP ^{1 は}ブロッホ球と呼ばれ、フビニ・スタディ計量は量子力学の幾何学化のための自然な計量です。量子もつれやベリー位相効果を含む量子力学の特異な動作の多くは、フビニ・スタディ計量の特異性に起因すると考えられます。

n = 1のとき、立体射影によって与えられる微分同相写像が存在する。これは、「特別な」ホップファイバリングS ¹  →  S ³  →  S ^{2につながる。フビニ・スタディ計量が}CP ¹上の座標で書かれるとき、実接束へのその制限は、 S ^{2上の半径 1/2 (および}ガウス曲率4)の通常の「円形計量」の表現をもたらす。 ${\displaystyle S^{2}\cong \mathbf {CP} ^{1}}$

すなわち、z  =  x  + i y がリーマン球面 CP ¹上の標準アフィン座標チャートであり、x  =  r  cos θ、y  =  r sin θがC 上の極座標である場合、通常の計算により次の式が示される。

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\operatorname {Re} (dz\otimes d{\bar {z}})}{\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)^{2}}}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}={\tfrac {1}{4}}(d\varphi ^{2}+\sin ^{2}\varphi \,d\theta ^{2})={\tfrac {1}{4}}\,ds_{us}^{2}}$

ここで、 は単位 2 球面上の円メトリックです。ここで、 φ、 θ は、立体投影r  tan(φ/2) = 1、 tan θ =  y / xから得られるS ²上の「数学者の球面座標」です。(多くの物理学の参考文献では、 φ と θ の役割が入れ替わっています。) ${\displaystyle ds_{us}^{2}}$

ケーラー形式は

${\displaystyle K={\frac {i}{2}}{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{\left(1+z{\bar {z}}\right)^{2}}}={\frac {dx\wedge dy}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}}$

を四分円 として、をと選択すると、ケーラー形式は次のように簡約される。 ${\displaystyle e^{1}=dx/(1+r^{2})}$${\displaystyle e^{2}=dy/(1+r^{2})}$

${\displaystyle K=e^{1}\wedge e^{2}}$

ホッジスターをケーラー形式に 適用すると、次の式が得られる。

${\displaystyle *K=1}$

K は調和的であることを意味します。

複素射影平面 CP ²上のフビニ・スタディ計量は、インスタントンの重力アナログである重力インスタントンとして提案されている。^{[5] [3]}適切な実4次元座標が確立されると、計量、接続形式、曲率は簡単に計算できる。実直交座標について書くと、 4次元球面（四元数射影直線） 上の極座標1形式を次のように定義する。${\displaystyle (x,y,z,t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r\,dr&=+x\,dx+y\,dy+z\,dz+t\,dt\\r^{2}\sigma _{1}&=-t\,dx-z\,dy+y\,dz+x\,dt\\r^{2}\sigma _{2}&=+z\,dx-t\,dy-x\,dz+y\,dt\\r^{2}\sigma _{3}&=-y\,dx+x\,dy-t\,dz+z\,dt\end{aligned}}}$

は、リー群上の標準的な左不変 1 形式座標フレームです。つまり、これらは、および巡回置換 に対して従います。${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$${\displaystyle SU(2)=S^{3}}$${\displaystyle d\sigma _{i}=2\sigma _{j}\wedge \sigma _{k}}$${\displaystyle i,j,k=1,2,3}$

対応する 局所アフィン座標は、${\displaystyle z_{1}=x+iy}$${\displaystyle z_{2}=z+it}$

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}{\bar {z}}_{1}+z_{2}{\bar {z}}_{2}&=r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}\\dz_{1}\,d{\bar {z}}_{1}+dz_{2}\,d{\bar {z}}_{2}&=dr^{\,2}+r^{2}(\sigma _{1}^{\,2}+\sigma _{2}^{\,2}+\sigma _{3}^{\,2})\\{\bar {z}}_{1}\,dz_{1}+{\bar {z}}_{2}\,dz_{2}&=rdr+i\,r^{2}\sigma _{3}\end{aligned}}}$

通常の略語は that およびです。 ${\displaystyle dr^{\,2}=dr\otimes dr}$${\displaystyle \sigma _{k}^{\,2}=\sigma _{k}\otimes \sigma _{k}}$

前述の式から始まる線要素は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\frac {dz_{j}\,d{\bar {z}}^{j}}{1+z_{i}{\bar {z}}^{i}}}-{\frac {{\bar {z}}^{j}z_{i}\,dz_{j}\,d{\bar {z}}^{i}}{(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})^{2}}}\\[5pt]&={\frac {dr^{\,2}+r^{2}(\sigma _{1}^{\,2}+\sigma _{2}^{\,2}+\sigma _{3}^{\,2})}{1+r^{2}}}-{\frac {r^{2}dr^{\,2}+r^{4}\sigma _{3}^{\,2}}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}\\[4pt]&={\frac {dr^{\,2}+r^{2}\sigma _{3}^{\,2}}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}+{\frac {r^{2}\left(\sigma _{1}^{\,2}+\sigma _{2}^{\,2}\right)}{1+r^{2}}}\end{aligned}}}$

最後の式から、 vierbeinはすぐに読み取ることができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{0}={\frac {dr}{1+r^{2}}}&&&e^{3}={\frac {r\sigma _{3}}{1+r^{2}}}\\[5pt]e^{1}={\frac {r\sigma _{1}}{\sqrt {1+r^{2}}}}&&&e^{2}={\frac {r\sigma _{2}}{\sqrt {1+r^{2}}}}\end{aligned}}}$

つまり、ローマ字の下付き文字を使用したビエルバイン座標系では、計量テンソルはユークリッドテンソルです。

${\displaystyle ds^{2}=\delta _{ab}e^{a}\otimes e^{b}=e^{0}\otimes e^{0}+e^{1}\otimes e^{1}+e^{2}\otimes e^{2}+e^{3}\otimes e^{3}.}$

ビエルバインが与えられれば、スピン接続を計算することができる。レヴィ・チヴィタスピン接続は、ねじれがなく共変的に定数である唯一の接続であり、つまり、ねじれのない条件を満たす 唯一の形式である。${\displaystyle \omega _{\;\;b}^{a}}$

${\displaystyle de^{a}+\omega _{\;\;b}^{a}\wedge e^{b}=0}$

は共変定数であり、スピン接続の場合、四分円指数において反対称であることを意味する。

${\displaystyle \omega _{ab}=-\omega _{ba}}$

上記の問題は簡単に解決でき、

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{\;\;1}^{0}&=-\omega _{\;\;3}^{2}=-{\frac {e^{1}}{r}}\\\omega _{\;\;2}^{0}&=-\omega _{\;\;1}^{3}=-{\frac {e^{2}}{r}}\\\omega _{\;\;3}^{0}&={\frac {r^{2}-1}{r}}e^{3}\quad \quad \omega _{\;\;2}^{1}={\frac {1+2r^{2}}{r}}e^{3}\\\end{aligned}}}$

曲率2形式は次のように定義される。

${\displaystyle R_{\;\,b}^{a}=d\omega _{\;\,b}^{a}+\omega _{\;c}^{a}\wedge \omega _{\;\,b}^{c}}$

そして定数です:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{01}&=-R_{23}=e^{0}\wedge e^{1}-e^{2}\wedge e^{3}\\R_{02}&=-R_{31}=e^{0}\wedge e^{2}-e^{3}\wedge e^{1}\\R_{03}&=4e^{0}\wedge e^{3}+2e^{1}\wedge e^{2}\\R_{12}&=2e^{0}\wedge e^{3}+4e^{1}\wedge e^{2}\end{aligned}}}$

ヴェイルバイン指数の リッチテンソルは次のように表される。

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{\;\;c}^{a}=R_{\;\,bcd}^{a}\delta ^{bd}}$

ここで、曲率2形式は4成分テンソルとして展開される。

${\displaystyle R_{\;\,b}^{a}={\tfrac {1}{2}}R_{\;\,bcd}^{a}e^{c}\wedge e^{d}}$

結果として得られるリッチテンソルは定数である

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{ab}=6\delta _{ab}}$

結果として得られるアインシュタイン方程式

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{ab}-{\tfrac {1}{2}}\delta _{ab}R+\Lambda \delta _{ab}=0}$

宇宙定数 を使って解くことができます。 ${\displaystyle \Lambda =6}$

一般に、フビニ・スタディ計量のワイルテンソルは次のように与え られる。

${\displaystyle W_{abcd}=R_{abcd}-2\left(\delta _{ac}\delta _{bd}-\delta _{ad}\delta _{bc}\right)}$

n = 2の場合 、2つの形式

${\displaystyle W_{ab}={\tfrac {1}{2}}W_{abcd}e^{c}\wedge e^{d}}$

自己双対である:

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{01}&=W_{23}=-e^{0}\wedge e^{1}-e^{2}\wedge e^{3}\\W_{02}&=W_{31}=-e^{0}\wedge e^{2}-e^{3}\wedge e^{1}\\W_{03}&=W_{12}=2e^{0}\wedge e^{3}+2e^{1}\wedge e^{2}\end{aligned}}}$

n = 1 の特別な場合、フビニ・スタディ計量は、2 次元球面の円形計量（半径Rに対して断面曲率）と等価であることから、断面曲率が 4 と等しくなります。しかし、n > 1 の場合、フビニ・スタディ計量は一定の曲率を持ちません。その断面曲率は、代わりに次の式で与えられます^[6]${\displaystyle 1/R^{2}}$

${\displaystyle K(\sigma )=1+3\langle JX,Y\rangle ^{2}}$

ここで、は2次元平面σの正規直交基底であり、写像J  :  T CP ⁿ  →  T CP ⁿはCP ⁿ上の複素構造であり、はFubini-Study計量である。 ${\displaystyle \{X,Y\}\in T_{p}\mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

この公式の結果として、断面曲率はすべての 2 平面で を満たす。最大断面曲率 (4) は、J (σ) ⊂ σとなる正則2 平面で達成されるが、最小断面曲率 (1) は、 J (σ) が σ に直交する2 平面で達成される。このため、フビニ・スタディ計量は、4 に等しい「一定の正則断面曲率」を持つと言われることが多い。 ${\displaystyle 1\leq K(\sigma )\leq 4}$${\displaystyle \sigma }$

これにより、CP ^{n は}(非厳密な) 1/4 ピンチ多様体になります。有名な定理は、厳密に 1/4 ピンチされた単連結な n多様体は球面に同相でなければならないことを示しています。

フビニ・スタディ計量は、自身のリッチテンソルに比例するという点でアインシュタイン計量でもある。定数が存在するので、すべてのi、jに対して次式が成り立つ。 ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{ij}=\Lambda g_{ij}.}$

これは、とりわけ、フビニ・スタディ計量がリッチフローの下でスカラー倍数まで変化しないことを意味します。また、CP ^{n は}一般相対性理論に不可欠であり、真空アインシュタイン場の方程式の非自明な解として機能します。

CP ⁿの宇宙定数は 空間の次元で与えられる: ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{ij}=2(n+1)g_{ij}.}$

フビニ・スタディ計量には、分離可能性の一般的な概念が適用されます。より正確には、計量は射影空間の自然積、セグレ埋め込み上で分離可能です。つまり、が分離可能な状態で、 と表記できる場合、計量は部分空間上の計量の和になります。 ${\displaystyle \vert \psi \rangle }$${\displaystyle \vert \psi \rangle =\vert \psi _{A}\rangle \otimes \vert \psi _{B}\rangle }$

${\displaystyle ds^{2}={ds_{A}}^{2}+{ds_{B}}^{2}}$

ここで、およびはそれぞれ部分空間AおよびB上の距離です。 ${\displaystyle {ds_{A}}^{2}}$${\displaystyle {ds_{B}}^{2}}$

計量がケーラーポテンシャルから導出できるということは、クリストッフェル記号と曲率テンソルが多くの対称性を含み、特に単純な形で与えられることを意味します。^[7]局所アフィン座標におけるクリストッフェル記号は、次のように与えられます。

${\displaystyle \Gamma _{\;jk}^{i}=g^{i{\bar {m}}}{\frac {\partial g_{k{\bar {m}}}}{\partial z^{j}}}\qquad \Gamma _{\;{\bar {j}}{\bar {k}}}^{\bar {i}}=g^{{\bar {i}}m}{\frac {\partial g_{{\bar {k}}m}}{\partial {\bar {z}}^{\bar {j}}}}}$

リーマンテンソルも特に単純です。

${\displaystyle R_{i{\bar {j}}k{\bar {l}}}=g^{i{\bar {m}}}{\frac {\partial \Gamma _{\;\;{\bar {j}}{\bar {l}}}^{\bar {m}}}{\partial z^{k}}}}$

リッチテンソルは

${\displaystyle R_{{\bar {i}}j}=R_{\;{\bar {i}}{\bar {k}}j}^{\bar {k}}=-{\frac {\partial \Gamma _{\;{\bar {i}}{\bar {k}}}^{\bar {k}}}{\partial z^{j}}}\qquad R_{i{\bar {j}}}=R_{\;ik{\bar {j}}}^{k}=-{\frac {\partial \Gamma _{\;ik}^{k}}{\partial {\bar {z}}^{\bar {j}}}}}$

• 非線形シグマモデル
• カルツァ＝クライン理論
• アラケロフの高さ

• Besse、Arthur L. (1987)、アインシュタイン多様体、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [数学および関連分野の結果 (3)]、vol. 10、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、pp. xii+510、ISBN 978-3-540-15279-8
• Brody, DC; Hughston, LP (2001)、「幾何学的量子力学」、Journal of Geometry and Physics、38 (1): 19–53、arXiv : quant-ph/9906086、Bibcode :2001JGP....38...19B、doi :10.1016/S0393-0440(00)00052-8、S2CID  17580350
• グリフィス、P. ;ハリス、J. (1994)、代数幾何学の原理、ワイリークラシックスライブラリー、ワイリーインターサイエンス、pp. 30-31、ISBN 0-471-05059-8
• Onishchik, AL (2001) [1994]、「Fubini–Study metric」、数学百科事典、EMS Press。