ねじれテンソル

微分幾何学において、ねじれテンソルは任意のアフィン接続に関連付けられたテンソルです。ねじれテンソルは2 つの入力ベクトルの双線型写像であり、辺が である無限小平行四辺形に沿って接空間を展開 (または「転がす」) したときに、接空間内の変位を表す出力ベクトルを生成します。ねじれテンソルは入力において歪対称です。平行四辺形上で反対方向に展開すると、反対の変位が生成されるためです。これは、ネジが 2 方向にねじられたときに反対方向に動くのと似ています。 ${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle T(X,Y)}$${\displaystyle X,Y}$

ねじれは、測地線の幾何学の研究で特に有用である。パラメータ化された測地線のシステムが与えられた場合、それらの測地線を持ちながらねじれが異なるアフィン接続のクラスを特定することができる。ねじれを吸収する唯一の接続があり、レヴィ-チヴィタ接続を他の、おそらく非計量的な状況（フィンスラー幾何学など）に一般化する。ねじれのある接続とねじれのない対応する接続​​の違いは、コントーションテンソルと呼ばれるテンソルである。ねじれの吸収は、 G構造とカルタンの同値法の研究でも基本的な役割を果たす。ねじれは、関連する射影接続を介して、パラメータ化されていない測地線族の研究にも有用である。相対性理論では、そのようなアイデアはアインシュタイン-カルタン理論の形で実装されている。

Mを接束（共変微分ともいう）∇ 上にアフィン接続を持つ多様体とする。∇のねじれテンソル（カルタン（ねじれ）テンソルと呼ばれることもある）は、ベクトル場XとY上で^[1]によって定義されるベクトル値2次元形式である。

${\displaystyle T(X,Y):=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]}$

ここで、[ X , Y ]は2 つのベクトル場の リー括弧です。ライプニッツの規則により、任意の滑らかな関数fに対してT ( fX , Y ) = T ( X , fY ) = fT ( X , Y )が成り立ちます。したがって、 T は、1 階微分演算子である接続で定義されているにもかかわらず、テンソルです 。つまり、共変微分はベクトル場に対してのみ定義されますが、接ベクトルに対して 2 形式を与えます。

接線束の切断の局所基底（e ₁、...、e _n）に関するねじれテンソルの成分は、 X = e _i、Y = e _jと設定し、交換子係数γ ^k _ij e _k  := [ e _i、e _j ]を導入することによって導出できます。ねじれの成分は^[2]${\displaystyle T^{c}{}_{ab}}$

${\displaystyle T^{k}{}_{ij}:=\Gamma ^{k}{}_{ij}-\Gamma ^{k}{}_{ji}-\gamma ^{k}{} _{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n.}$

ここで、接続を定義する接続係数を示します。基底がホロノミックである場合、リー括弧は消えます。したがって、特に (以下を参照)、測地線方程式は接続の対称部分を決定し、ねじれテンソルは反対称部分を決定します。 ${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}}$${\displaystyle \gamma ^{k}{}_{ij}=0}$${\displaystyle T^{k}{}_{ij}=2\Gamma ^{k}{}_{[ij]}}$

ねじれの別の特徴付けであるねじれ形式は、多様体MのフレームバンドルF Mに適用されます。この 主バンドルには、接続形式ω、つまりgl ( n ) 値の 1 形式が備わっており、垂直ベクトルをgl ( n ) の右作用の生成元にマップし、 F Mの接バンドル上のGL( n )の右作用を​​ gl ( n )上の随伴表現と同変的に絡み合わせます。フレームバンドルには、 R ⁿに値を持つ標準 1 形式θ もあり、これはフレームu ∈ F _x M (線形関数u  : R ⁿ → T _x Mと見なされる) で次のように定義されます。 ^[3]

${\displaystyle \theta (X)=u^{-1}(\pi _{*}(X))}$

ここでπ  :F M → Mは主束の射影写像であり、π∗は その押し出しである。したがって、捩れ形式は^{[4]である。}

${\displaystyle \Theta =d\theta +\omega \wedge \theta .}$

同様に、 Θ = Dθであり、ここでD は接続によって決定される 外部共変微分です。

ねじれ形式はR ⁿに値を持つ（水平）テンソル形式であり、 g ∈ GL( n )の右作用の下で同変変換することを意味する。

${\displaystyle R_{g}^{*}\Theta =g^{-1}\cdot \Theta }$

ここで、R ⁿに対する標準作用によって右側に作用します。 ${\displaystyle g^{-1}}$

ねじれ形式は、接線束( e ₁ , ..., e _n )の特定のフレームで書かれた基本多様体M上の接続形式によって表現される。接続形式は、これらの基本セクションの外共変微分を表現する: ^[5]

${\displaystyle D\mathbf {e} _{i}=\mathbf {e} _{j}{\omega ^{j}}_{i}.}$

接線バンドルのソルダー形式（このフレームに対して）は、 e _iの双対基底 θ ⁱ ∈ T ^∗ Mであり、 θ ⁱ ( e _j ) = δ ⁱ _j（クロネッカーデルタ）となる。すると、ねじれ2形式は次の成分を持つ。

${\displaystyle \Theta ^{k}=d\theta ^{k}+{\omega ^{k}}_{j}\wedge \theta ^{j}={T^{k}}_{ij}\theta ^{i}\wedge \theta ^{j}.}$

一番右の表現では、

${\displaystyle {T^{k}}_{ij}=\theta ^{k}\left(\nabla _{\mathbf {e} _{i}}\mathbf {e} _{j}-\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}-\left[\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}\right]\right)}$

は、前述の定義で与えられたように、ねじりテンソルのフレーム成分です。

^{Θ i は}テンソル変換することが簡単に示せる。つまり、異なるフレーム

${\displaystyle {\チルダ {\mathbf {e} }}_{i}=\mathbf {e} _{j}{g^{j}}_{i}}$

ある可逆行列関数（g ^j _i）に対して、

${\displaystyle {\tilde {\Theta}}^{i}={\left(g^{-1}\right)^{i}}_{j}\Theta ^{j}.}$

言い換えれば、Θは（1, 2）型のテンソル（1つの反変インデックスと2つの共変インデックスを持つ）です。

あるいは、はんだ形式は、フレームに依存しない方法で、双対同型End(T M ) ≈ T M ⊗ T ^∗ Mの下での接線束の恒等自己同型に対応するM上のT M値1形式θとして特徴付けられる。この場合、ねじれ2形式はセクションである。

${\displaystyle \Theta \in {\text{Hom}}\left({\textstyle \bigwedge }^{2}{\rm {T}}M,{\rm {T}}M\right)}$

与えられた

${\displaystyle \Theta =D\theta ,}$

ここで、D は外共変微分です。( 詳細については 接続形式を参照してください。)

ねじれテンソルは、トレースを含まない部分とトレース項を含む部分の2つの既約な部分に分解できます。インデックス表記を使用すると、 Tのトレースは次のように表されます。

${\displaystyle a_{i}=T^{k}{}_{ik},}$

そして痕跡のない部分は

${\displaystyle B^{i}{}_{jk}=T^{i}{}_{jk}+{\frac {1}{n-1}}\delta ^{i}{}_{j}a_{k}-{\frac {1}{n-1}}\delta ^{i}{}_{k}a_{j},}$

ここでδ ⁱ _{j は}クロネッカーのデルタです。

本質的に、人は

${\displaystyle T\in \operatorname {Hom} \left({\textstyle \bigwedge }^{2}{\rm {T}}M,{\rm {T}}M\right).}$

Tのトレースtr Tは、次のように定義される T ^∗ Mの元である。各ベクトルX ∈ T Mに対して、T はHom(T M , T M )の元T ( X ) を次のように 定義する。

${\displaystyle T(X):Y\mapsto T(X\wedge Y).}$

このとき、(tr T )( X ) はこの自己準同型のトレースとして定義される。つまり、

${\displaystyle (\operatorname {tr} \,T)(X){\stackrel {\text{def}}{=}}\operatorname {tr} (T(X)).}$

Tのトレースフリー部分は

${\displaystyle T_{0}=T-{\frac {1}{n-1}}\iota (\operatorname {tr} \,T),}$

ここでι は内積を表します。

∇の曲率テンソルは、ベクトル場X、Y、Z上 で定義される写像T M × T M → End(T M )である。

${\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z 。}$

ある点におけるベクトルの場合、この定義は、ベクトルがその点から離れたベクトル場に拡張される方法とは無関係です (したがって、ねじれと同様にテンソルを定義します)。

ビアンキ恒等式は曲率とねじれを次のように関連付けます。^[6] X、Y、Zの巡回和をとします。例えば、 ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {S}}\left(R\left(X,Y\right)Z\right):=R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y.}$

すると次の等式が成り立つ。

1. ビアンキの最初のアイデンティティ:

   ${\displaystyle {\mathfrak {S}}\left(R\left(X,Y\right)Z\right)={\mathfrak {S}}\left(T\left(T(X,Y),Z\right)+\left(\nabla _{X}T\right)\left(Y,Z\right)\right)}$

2. ビアンキの第二のアイデンティティ:

   ${\displaystyle {\mathfrak {S}}\left(\left(\nabla _{X}R\right)\left(Y,Z\right)+R\left(T\left(X,Y\right),Z\right)\right)=0}$

曲率形式はgl ( n )値2形式で ある

${\displaystyle \Omega =D\omega =d\omega +\omega \wedge \omega }$

ここで、Dは外共変微分を表す。曲率形式と捩れ形式に関して、対応するビアンキ恒等式は^{[7]である。}

1. ${\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta }$
2. ${\displaystyle D\Omega =0.}$

_{さらに、曲率とねじれの形式から曲率テンソルとねじれテンソルを次のように復元することができる。F x} Mの点uにおいて、^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}R(X,Y)Z&=u\left(2\Omega \left(\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y)\right)\right)\left(u^{-1}(Z)\right),\\T(X,Y)&=u\left(2\Theta \left(\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y)\right)\right),\end{aligned}}}$

ここで、u  : R ⁿ → T _x M はファイバー内のフレームを指定する関数であり、曲率とねじれ形式は水平であるため、π ⁻¹を介したベクトルの揚力の選択は無関係です（これらはあいまいな垂直ベクトル上では消えます）。

ねじれは、平面が表面または高次元アフィン多様体に沿って転がるときに滑ったりねじれたりする量を特徴付ける方法です。^[9]

たとえば、球面上に描かれた小さな円に沿って平面を転がすことを考えてみましょう。平面が滑ったりねじれたりしない場合は、平面を円に沿ってずっと転がすと、平面上で円も描かれます。球の曲率による効果として、平面は回転していることがわかります (転がしている間はねじれていないにもかかわらず) 。しかし、描かれた曲線は依然として円であり、したがって特に同じ点で始まり、終わる閉じた曲線になります。一方、平面を球面に沿って転がすが、その過程で滑ったりねじれたりすることを許容すると、円が平面上で描く経路は、閉じている必要さえない、はるかに一般的な曲線になる可能性があります。ねじれは、曲線に沿って平面を転がすときに発生するこの追加の滑ったりねじれを定量化する方法です。

したがって、ねじれテンソルは、空間内のベクトルvとwによって辺が与えられる小さな平行四辺形の回路を取り、その接空間を平行四辺形の 4 つの辺のそれぞれに沿って転がし、進むにつれて接触点をマークすることによって直感的に理解できます。回路が完成すると、マークされた曲線は、 で表されるベクトルだけ平行四辺形の平面から移動します。したがって、ねじれテンソルはテンソルです。つまり、出力ベクトル を生成する2 つの入力ベクトルvとwの (双線形) 関数です。これは引数vとwに関して歪対称であり、回路を反対方向に通過すると元の変位が元に戻るという事実を反映しています。これは、ネジを反対方向に回すとネジが反対方向に移動するのとほぼ同じです。したがって、ねじれテンソルは、フレネ・セレの公式に現れる曲線のねじれとは別物ではあるものの、関連しています。接続のねじれは、展開された曲線の平面からのずれを測定しますが、曲線のねじれも、その接触面からのずれです。表面の幾何学では、 測地線ねじれは、表面が表面上の曲線の周りでどのようにねじれるかを説明します。関連する曲率の概念は、動くフレームが滑ったりねじれたりすることなく曲線に沿ってどのように転がるかを測定します。 ${\displaystyle T(v,w)}$${\displaystyle T(v,w)}$

（平坦な）ユークリッド空間 を考えます。この上に、平坦だがねじれがゼロではない接続を置きます。この接続は、標準ユークリッド フレーム上で（ユークリッド）外積によって定義されます。 ここで、原点から始めて、軸に沿った ベクトルの平行移動を考えます。したがって、平行ベクトル場は を満たし、微分方程式 が 成り立ちます。 したがって、 となり、解は となります。 ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}}$$${\displaystyle \nabla _{e_{i}}e_{j}=e_{i}\times e_{j}.}$$${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle X(x)=a(x)e_{2}+b(x)e_{3}}$${\displaystyle X(0)=e_{2}}$$${\displaystyle {\begin{array}{rl}0={\dot {X}}&=\nabla _{e_{1}}X={\dot {a}}e_{2}+{\dot {b}}e_{3}+ae_{1}\times e_{2}+be_{1}\times e_{3}\\&=({\dot {a}}-b)e_{2}+({\dot {b}}+a)e_{3}.\end{array}}}$$${\displaystyle {\dot {a}}=b,{\dot {b}}=-a}$${\displaystyle X=\cos x\,e_{2}-\sin x\,e_{3}}$

ここで、ベクトルの先端は、軸に沿って運ばれるにつれて、らせんを描きます。 したがって、ねじれがある場合、平行移動によってフレームが運動の方向を中心にねじれる傾向があることがわかります。これは、曲線の古典的な微分幾何学 でねじれが果たす役割と類似しています。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle e_{1}}$$${\displaystyle x\,e_{1}+\cos x\,e_{2}-\sin x\,e_{3}.}$$

ねじれの解釈の 1 つに、曲線の展開があります。^[10]点 を基準とする、 部分的に滑らかな閉ループが与えられているとします。ここで、 はゼロに同相であると仮定します。曲線は、次のようにして の接空間に展開できます。を に沿った平行コフレームとし、によって誘導される上の座標とします。 の展開とは、その座標が微分方程式を満たす 曲線です 。ねじれがゼロの場合、展開された曲線も閉ループです (つまり)。一方、ねじれがゼロでない場合、展開された曲線は閉じていない可能性があり、 となります。したがって、ねじれがある場合のループの展開は、らせん転位と同様に、転位する可能性があります。^[11]${\displaystyle \gamma :[0,1]\to M}$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle \gamma (0)=\gamma (1)=p}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \theta ^{i}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle x^{i}}$${\displaystyle T_{p}M}$${\displaystyle \theta ^{i}(p)}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$${\displaystyle T_{p}M}$${\displaystyle x^{i}=x^{i}(t)}$$${\displaystyle dx^{i}=\gamma ^{*}\theta ^{i}.}$$${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)={\tilde {\gamma }}(1)}$${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)\not ={\tilde {\gamma }}(1)}$

以上の考察は、点 を起点とし、辺 を持つ小さな平行四辺形を考えることで、より定量的に表すことができます。このとき、平行四辺形への接線二ベクトルは です。この平行四辺形の展開は、接続を使用すると一般に閉じられなくなり、ループを一周する際の変位は、ベクトル （ はねじれテンソル）による平行移動となり、 の高次の項までとなります。この変位は、結晶学のバーガースベクトルに直接類似しています。^{[12] [13]}${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle v,w\in T_{p}M}$${\displaystyle v\wedge w\in \Lambda ^{2}T_{p}M}$${\displaystyle \Theta (v,w)}$${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle v,w}$

より一般的には、曲線に沿って移動フレームを移動することもできます。フレームが 間で受ける線形変換は、接続の曲率によって決まります。フレームの線形変換と、開始点を から へ変換すると、接続の ホロノミーが構成されます。${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$${\displaystyle t=0,t=1}$${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)}$${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(1)}$

材料科学、特に弾性理論では、ねじれの考え方も重要な役割を果たします。ある問題は、つる植物の成長をモデル化し、つる植物がどのようにして物体の周りをねじれるのかという問題に焦点を当てています。^[14]つる植物自体は、互いにねじれた一対の弾性フィラメントとしてモデル化されます。エネルギーを最小化する状態では、つる植物は自然にらせん状に成長します。しかし、つる植物は、その範囲（または長さ）を最大化するために引き伸ばされることもあります。この場合、つる植物のねじれは、一対のフィラメントのねじれ（またはフィラメントを接続するリボンの表面のねじれと同等）に関連しており、つる植物の長さを最大化する（測地線）構成とエネルギーを最小化する構成の違いを反映しています。

流体力学では、ねじれは当然渦線と関連しています。

3次元で、曲率2形式、ねじれ2形式の接続が与えられているとします。を歪対称レヴィ・チヴィタテンソルとし、 と すると、ビアンキ恒等式 ビアンキ恒等式は 、 および を意味します。これらは、 モーメント密度 を持つ平衡連続媒体が満たす方程式です。^[15]${\displaystyle D}$${\displaystyle \Omega _{a}^{b}}$${\displaystyle \Theta ^{a}=D\theta ^{a}}$${\displaystyle \eta _{abc}}$$${\displaystyle t_{a}={\tfrac {1}{2}}\eta _{abc}\wedge \Omega ^{bc},}$$ $${\displaystyle s_{ab}=-\eta _{abc}\wedge \Theta ^{c}.}$$$${\displaystyle D\Omega _{b}^{a}=0,\quad D\Theta ^{a}=\Omega _{b}^{a}\wedge \theta ^{b}.}$$${\displaystyle Dt_{a}=0}$$${\displaystyle Ds_{ab}=\theta _{a}\wedge t_{b}-\theta _{b}\wedge t_{a}.}$$${\displaystyle s_{ab}}$

γ ( t ) がM上の曲線であるとする。すると、γ はアフィンパラメータ化された測地線となり、

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0}$

γの領域内のすべての時刻tに対して。(ここで、ドットはtに関する微分を表し 、これはそれに沿った接線ベクトルを γ に関連付けます。) 各測地線は、時刻t = 0、における初期接線ベクトルによって一意に決定されます。 ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)}$

接続のねじれの応用例の 1 つに、接続の測地線スプレーがあります。これは、ほぼすべてのアフィン パラメータ化された測地線の族です。ねじれは、接続を測地線スプレーの観点から分類する際の曖昧さです。

• 同じアフィンパラメータ化された測地線（つまり同じ測地線スプレー）を持つ2つの接続∇と∇′は、ねじれによってのみ異なります。^[16]

より正確には、XとYがp∈Mにおける接ベクトルのペアである場合、

${\displaystyle \Delta (X,Y)=\nabla _{X}{\tilde {Y}}-\nabla '_{X}{\tilde {Y}}}$

は、 pから離れたXとYの任意の拡張に関して計算された 2 つの接続の差です。ライプニッツの積分則により、 Δ は実際にはXとY ′ がどのように拡張されているかに依存しないことがわかります(したがって、 M上のテンソルを定義します)。 SとA をΔ の対称部分と交互部分とします。

${\displaystyle S(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)+\Delta (Y,X)\right)}$

${\displaystyle A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)-\Delta (Y,X)\right)}$

それから

• ${\displaystyle A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right)}$ねじれテンソルの差です。
• ∇と∇′は、 S ( X , Y )=0の場合にのみ、アフィンパラメータ化された測地線の同じ族を定義します。

言い換えると、2 つの接続の差の対称部分は、それらが同じパラメータ化された測地線を持つかどうかを決定し、差の歪曲部分は 2 つの接続の相対的なねじれによって決定されます。別の結果は次のようになります。

• 任意のアフィン接続 ∇ に対して、同じアフィンパラメータ化された測地線族を持つ、ねじれのない接続 ∇′ が 1 つだけ存在します。この 2 つの接続の差は、実際にはテンソル、つまりねじれテンソルです。

これは、リーマン幾何学の基本定理を一般的なアフィン（非計量的かもしれない）接続に 一般化したものです。パラメータ化された測地線の族に従属する唯一のねじれのない接続を選択することは、ねじれの吸収として知られており、カルタンの同値法の段階の 1 つです。

• ねじれテンソル
• カートライトフィールド
• 曲率テンソル
• レヴィ・チヴィタ接続
• ねじり係数
• 曲線のねじれ

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