2つの力

2 の累乗は、 2 $n という$ 形式の数です。ここで $nは$ 整数です。つまり、数2 を底とし、整数 $n を$ 指数として累乗した結果です。

$指数が$ 負でない2の累乗は整数である: $20 = 1、2$ 1 $= 2$ 、そして $2 n$ は2を $n回$ 掛け合わせたものである。^[1]^[2] $n$ が負でない値の場合の2の最初の10の累乗は次の通りである:

1、2、4、8、16、32、64、128、256、512 、...（OEISのシーケンスA000079 ）

比較すると、負の指数を持つ2の累乗は分数です。正の整数 $n$ に対して、 $2 - nは$ 半分を $n$ 回掛け合わせたものです。したがって、2の最初のいくつかの負の累乗は、⁠1/2⁠、⁠1/4⁠、⁠1/8⁠、⁠1/16⁠など。それぞれが2 の正の累乗の逆数であるため、これらは2 の逆累乗と呼ばれることもあります。

二進法のベース

2 は2 進数の基本であるため、2 の累乗はコンピュータサイエンスではよく使用されます。2 進数で表すと、2 の累乗は、 10 進数での 10 の累乗と同様に、常に 100...000 または 0.00...001 という形式になります。

コンピュータサイエンス

$2 のn$ 乗は $2 n$ と表記され、長さ $n$ のバイナリワードのビットに設定できる値の数です。各ビットは 2 つの値のいずれかです。ゼロから始まる範囲の整数を表すと解釈されるワードは「符号なし整数」と呼ばれ、0 ( $000...000$ $2$ )から $2$ $n$ $- 1$ ( $111...111$ $2$ ) までの値を表すことができます。符号付き整数と呼ばれる別の表現では、正、負、ゼロの値が使用できます。符号付き数値表現を参照してください。いずれにしても、2 の累乗より 1 少ない数がバイナリコンピューターの整数の上限になることがよくあります。その結果、この形式の数はコンピューターソフトウェアで頻繁に使用されます。たとえば、 8 ビットシステムで実行されるビデオゲームでは、スコアやプレーヤーが保持できるアイテムの数が 255 に制限される場合があります。これは、8 ビット長のバイトを使用して数値を保存し、 $0から$ $2$ $8$ $- 1 = 255$ までの 256 の異なる値を表現できるためです。たとえば、オリジナルのゼルダの伝説では、主人公が一度に持ち運べるルピー (ゲームの通貨) は 255 に制限されていました。また、ビデオゲーム「パックマン」では、レベル 256 にキルスクリーンが表示されることで有名です。

2 の累乗は、コンピュータのメモリサイズを数値化する単位を定義するためによく使用されます。現在、「バイト」は一般に 8 ビット (オクテット)を指し、256 個の値 (2 ⁸ ) が考えられます。(バイトという用語は、かつてはハードウェアのコンテキストで定義されるビットの集合(通常は 8 ビット単位ではなく 5 ビットから 32 ビット) を意味していました (現在でもそうである場合もあります)。接頭辞のキロは、バイトと組み合わせて、コンピュータサイエンティストによって次の意味に使用されています。1024（2 ¹⁰）。しかし、一般的には、国際単位系ではキロという用語は、1000（10 ³）。二進数の接頭辞は標準化されており、例えばkibi （キビ）は1024。ほぼすべてのプロセッサレジスタのサイズは 2 ビットの累乗で、8、16、32、または 64 ビットが非常に一般的で、非常に小型のプロセッサを除いて最後の 2 ビットが最も一般的です。

2 の累乗は、他のさまざまな場所でも発生します。多くのディスクドライブでは、セクターサイズ、トラックあたりのセクター数、および表面あたりのトラック数の少なくとも 1 つが 2 の累乗です。^{[引用が必要]}論理ブロックサイズは、ほぼ常に 2 の累乗です。

2 の累乗に密接に関連する数値は、ビデオ画面の幅と高さのピクセル数など、多くのコンピューターハードウェア設計で使用されます。この場合、各方向のピクセル数は、多くの場合、2 の累乗と小さな数値の積になります。たとえば、 $640 = 128 \times 5$ 、 $480 = 32 \times 15 です$ 。

メルセンヌ素数とフェルマー素数

2 の累乗より 1 少ない素数はメルセンヌ素数と呼ばれます。たとえば、素数31 は32 (2 ⁵ )より 1 少ないのでメルセンヌ素数です。同様に、 2 の正の累乗より 1大きい素数 ( 257など) はフェルマー素数と呼ばれ、指数自体が 2 の累乗です。分母が 2 の累乗である分数は、二項有理数と呼ばれます。連続する正の整数の合計として表せる数はポライト数と呼ばれ、まさに 2 の累乗ではない数です。

ユークリッドの要素、第9巻

等比数列1、2、4、8、16、32、... (または、2進記数法では、1、10、100、1000、10000、100000、...) は、数論において重要です。『原論』第 IX 巻、命題 36 は、この数列の最初の $n$ 項の和が素数 (したがって、前述のようにメルセンヌ素数) である場合、この和に $n$ 番目の項を掛けると完全数になることを証明しています。たとえば、数列 $1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31$ の最初の 5 項の和は素数です。和 31 に 16 (数列の 5 番目の項) を掛けると 496 になり、これは完全数です。

第 9 巻、命題 35 は、等比級数において、最初の項を数列の 2 番目と最後の項から減算すると、2 番目の項の超過分が最初の項に対して等しいのと同様に、最後の項の超過分もそれ以前のすべての項に対して等しいことを証明しています。 (これは、上記の等比級数の公式を言い換えたものです。) これを等比級数 31、62、124、248、496 (1、2、4、8、16 のすべての項に 31 を掛けたもの) に適用すると、62 から 31 を引くと 31 になり、496 から 31 を引くと 31、62、124、248 の合計になることがわかります。したがって、1、2、4、8、16、31、62、124、248 の数字を足すと 496 になり、さらに、これらはすべて 496 を割り切れる数字です。というのは、pが $496$ を割り切れず、これらの数字の中にないと仮定します。 $pq$ $が16 \times 31$ に等しい、または 31 と $qが$ $p$ と 16 と同じであると仮定します。ここで、 $p は$ 16 を割り切れません。または、 1、2、4、8、16 のいずれかの数字になります。したがって、 31 は $q を割り切れません。また、 31 は$ $q を$ 割り切れず、 $q は$ 496 なので、算術の基本定理により、 $q は$ 16 を割り切れ、1、2、4、8、16 のいずれかの数字である必要があります。 $q$ を 4 とすると、 $p は$ 124 になりますが、これは不可能です。なぜなら、仮定により、 $p は$ 1、2、4、8、16、31、62、124、248 のいずれかの数字には含まれないからです。

最初の64の2の累乗

（OEISの配列A000079）

最後の桁

2 から始まる最後の桁は周期 4 で周期的であり、周期は 2–4–8–6– であり、 4 から始まる最後の 2 つの桁は周期 20 で周期的である。これらのパターンは、一般に、任意の基数に関して、任意の累乗に当てはまる。このパターンは、各パターンの開始点が $2 k$ であるところで続き、周期は2 を法として $5$ $k$ を法とする乗法順序、つまり $φ$ $(5$ $k$ $) = 4 \times 5$ $k$ $-1$ である（n を法とする整数の乗法群を参照）。^[^{出典が必要}^]

1024の累乗

（OEISの配列A140300）

^{2 10}の最初のいくつかの累乗は、1000 (10 ^{3 )。2}¹⁰の最初の11乗の値を以下に示します。

50%の偏差に達するには1024の約17乗、1000の同じ乗数の100%の偏差に達するには1024の約29乗が必要です。^[3]バイナリプレフィックスとIEEE 1541-2002も参照してください。

指数が2の累乗である2の累乗

データ (具体的には整数) とデータのアドレスは同じハードウェアを使用して保存され、データは 1 つ以上のオクテット ( $23$ ) に保存されるため、 2 の二重指数が一般的です。最初の 21 は次のとおりです。

フェルマー数、テトレーション、ハイパー演算 § 下層のハイパー演算も参照してください。

指数が2の累乗である2の累乗の最後の桁

4 を超えるこれらの数はすべて 6 で終わります。16 から始まる最後の 2 桁は 4 周期で周期的になり、サイクルは 16–56–36–96– です。また、16 から始まる最後の 3 桁は 20 周期で周期的になります。これらのパターンは、一般に、任意の基数に関して、任意の累乗に当てはまります。このパターンは、各パターンの開始点が $2 k$ で、周期が2 を法として $5$ $k を$ 法とする乗法順序、つまり $φ$ $(5$ $k$ $) = 4 \times 5$ $k$ $-1であるところで続きます ($ n を法とする整数の乗法群を参照)。^[^{出典が必要}^]

指数が 2 の累乗である 2 の累乗に関する事実

数との関連で、これらの数はフェルマーの2 乗と呼ばれることがよくあります。

数は無理数列を形成する。すべての正の整数列に対して、数列 $2^{2^{n}}$ $x_{i}$

\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2^{i}}x_{i}}}={\frac {1}{2x_{0}}}+{\frac {1}{4x_{1}}}+{\frac {1}{16x_{2}}}+\cdots

無理数に収束する。この数列は急速に増加するにもかかわらず、知られている無理数列の中で最も遅く増加する数列である。^[4]

コンピュータサイエンスにおける指数が 2 の累乗である 2 の累乗

コンピュータのデータ型は2 の累乗のサイズを持つことが一般的であるため、これらの数値はその型の表現可能な値の数を数えます。たとえば、4 バイトで構成される 32 ビットワードは $2 32 の$ 異なる値を表すことができます。これは単なるビットパターンとみなすこともできますが、より一般的には 0 から $232 - 1までの符号なし数値、または$ $-2 31$ から $231 - 1$ までの符号付き数値の範囲として解釈されます。符号付き数値の表現の詳細については、2 の補数を参照してください。

選択された2の累乗

2 ² =4: 2 の平方数。また、2 の 1 乗のテトレーション。
2 ⁸ =256: バイト内の8ビットによって表される値の数。より具体的にはオクテットと呼ばれます。(バイトという用語は、キロバイトという用語で示されるように、8 ビット量の厳密な定義ではなく、ビットの集合として定義されることが多いです。)
2 ¹⁰ =1024: キロの2進近似、または1000乗数によりプレフィックスが変更されます。例:1024 バイト= 1 キロバイト^[5]（またはキビバイト）。
2 ¹² =4096: Intel x86互換プロセッサのハードウェアページサイズ。
2 ¹⁵ =32 768: 符号付き16 ビット整数の非負値の数。
2 ¹⁶ =65 536

オリジナルのx86プロセッサなどの16ビットプロセッサ上で1ワードで表現できる異なる値の数。^[6]; C#、Java、およびSQLプログラミング言語におけるshort integer変数の最大範囲。Pascalプログラミング言語におけるWordまたはSmallint変数の最大範囲。; 4 要素セット上の2 項関係の数。
2 ²⁰ =1 048 576: メガのバイナリ近似、または1 000 000乗数によりプレフィックスが変更されます。例:1 048 576 バイト= 1 メガバイト^[5]（またはメビバイト）。
2 ²⁴ =16 777 216: 一般的なコンピュータモニターで使用されるTrueColorで表示できる固有の色の数。; この数値は、3チャンネルRGBシステムを使用した結果です。このシステムでは、色は3つの値（赤、緑、青）で独立して定義され、範囲は0（00）から255（FF）までです。これにより、各チャンネルに8ビット、合計24ビットが与えられます。たとえば、純粋な黒は#000000、純粋な白はです#FFFFFF。すべての可能な色の空間、16 777 216は、16 ⁶ (6 桁でそれぞれ 16 個の値が可能)、256 ³ (3 チャネルでそれぞれ 256 個の値が可能)、または 2 ²⁴ (24 ビットでそれぞれ 2 個の値が可能) によって決定できます。; 24 ビットレジスタまたはデータバスを備えたコンピューターにおける最大の符号なし整数またはアドレスのサイズ。
2 ³⁰ =1 073 741 824: ギガの2進近似、または1 000 000 000乗数により接頭辞が変更されます。たとえば、1 073 741 824 バイト= 1 ギガバイト^[5]（またはギビバイト）。
2 ³¹ =2 147 483 648: 符号付き32ビット整数の非負値の数。Unix時間は1970年1月1日からの秒数で計測されるため、2038 年 1 月 19 日火曜日の2,147,483,647秒、つまりUTC の 03:14:07 に Unix を実行する 32 ビットコンピューター上で発生する、2038 年問題と呼ばれる問題。
2 ³² =4 294 967 296

32ビットプロセッサ上の1ワードで表現できる異なる値の数。^{[7]または、オリジナルの}x86プロセッサなどの16ビットプロセッサ上のダブルワードで表現できる値の数。^[6]; Java、C#、SQLintプログラミング言語における変数の範囲。; PascalCardinalプログラミング言語の変数またはInteger変数の範囲。; CおよびC++プログラミング言語における長整数変数の最小範囲。; IPv4のIP アドレスの総数。一見大きな数に見えますが、使用可能な 32 ビットIPv4 アドレスの数は使い果たされています(ただし、IPv6アドレスは使い果たされていません)。; GF (4)などの任意の4要素集合に等しい定義域を持つ二項演算の数。
2 ⁴⁰ =1 099 511 627 776: テラの2進近似、または1 000 000 000 000乗数により接頭辞が変更されます。たとえば、1 099 511 627 776 バイト= 1テラバイト^[5]またはテビバイト。
2 ⁵⁰ =1 125 899 906 842 624: ペタの2進近似、または1 000 000 000 000 000乗数。1 125 899 906 842 624 バイト= 1ペタバイト^[5]またはペビバイト。
2 ⁵³ =9 007 199 254 740 992: すべての整数値が IEEE倍精度浮動小数点形式で正確に表現できる数値。また、10 進数で数字 9 から始まる最初の 2 の累乗。
2 ⁵⁶ =72 057 594 037 927 936: 廃止された 56 ビットDES対称暗号で使用可能な異なるキーの数。
2 ⁶⁰ =1 152 921 504 606 846 976: のバイナリ近似、または1 000 000 000 000 000 000乗数。 1 152 921 504 606 846 976 バイト= 1エクサバイト^[5]またはエクスビバイト。
2 ⁶³ =9 223 372 036 854 775 808: 符号付き 64 ビット整数の非負値の数。; 2 ⁶³ − 1、プログラミング言語における符号付き 64 ビット整数の一般的な最大値 (正の値の数に相当)。
2 ⁶⁴ =18 446 744 073 709 551 616: 64ビットプロセッサ上の1ワードで表現できる異なる値の数。または、32ビットプロセッサ上のダブルワードで表現できる値の数。または、オリジナルのx86プロセッサなどの 16ビットプロセッサ上のクワッドワードで表現できる値の数。^[6]; JavaおよびC#プログラミング言語におけるlong変数の範囲。; Pascalプログラミング言語のInt64またはQWord変数の範囲。; 通常、単一の LAN またはサブネットに割り当てられるIPv6 アドレスの合計数。; 2 ⁶⁴ − 1 は、チェス盤上の米粒の数です。昔話によると、最初のマス目には米粒が 1 個あり、それに続くマス目はそれぞれ前のマス目の 2 倍の米粒が入っています。このため、この数は「チェス数」と呼ばれることもあります。; 2 ^{64 − 1 は、伝説的な 64 枚のディスクを使った}ハノイの塔を完成させるのに必要な移動回数でもあります。
2 ⁶⁸ =295 147 905 179 352 825 856: すべての 10 進数を含む最初の 2 の累乗。( OEISのシーケンスA137214 )
2 ⁷⁰ =1 180 591 620 717 411 303 424: ゼータの2進近似、または1 000 000 000 000 000 000 000乗数。1 180 591 620 717 411 303 424 バイト= 1ゼタバイト^[5]（またはゼビバイト）。
2 ⁸⁰ =1 208 925 819 614 629 174 706 176: ヨタの2進近似、または1 000 000 000 000 000 000 000 000乗数。1 208 925 819 614 629 174 706 176 バイト= 1ヨタバイト^[5]（またはヨビバイト）。
2 ⁸⁶ =77 371 252 455 336 267 181 195 264: 286^は10進数でゼロを含まない2の最大の累乗であると推測される。^[8]
2 ⁹⁶ =79 228 162 514 264 337 593 543 950 336: 通常、ローカルインターネットレジストリに付与されるIPv6 アドレスの総数。CIDR 表記では、ISP には/ 32 が付与されます。これは、128 − 32 = 96 ビットがアドレスに使用できることを意味します(ネットワーク指定とは対照的)。したがって、アドレスは 2 ^{96 個}になります。
2 ¹⁰⁸ = 324 ‍ 518 ‍ 553 ‍ 658 ‍ 426 ‍ 726 ‍ 783 ‍ 156 ‍ 020 ‍ 576 ‍ 256: 10 進数で 9 を含まない 2 の累乗のうち最大のもの。( OEISのシーケンスA035064 )
2 ¹²⁶ = 85 ‍ 070 ‍ 591 ‍ 730 ‍ 234 ‍ 615 ‍ 865 ‍ 843 ‍ 651 ‍ 857 ‍ 942 ‍ 052 ‍ 864: 連続する等しい数字のペアを含まない、2 の最大の累乗。( OEISのシーケンスA050723 )
2 ¹²⁸ = 340 ‍ 282 ‍ 366 ‍ 920 ‍ 938 ‍ 463 ‍ 463 ‍ 374 ‍ 607 ‍ 431 ‍ 768 ‍ 211 ‍ 456: IPv6で使用可能なIP アドレスの総数。また、固有のユニバーサルユニーク識別子 (UUID)の数。
2 ¹⁶⁸ = 374 ‍ 144 ‍ 419 ‍ 156 ‍ 711 ‍ 147 ‍ 060 ‍ 143 ‍ 317 ‍ 175 ‍ 368 ‍ 453 ‍ 031 ‍ 918 ‍ 731 ‍ 001 ‍ 856: すべての 10 進数字を含まない 2 の累乗のうち最大のもの（この場合は数字 2 が欠落しています）。（OEISのシーケンスA137214）
2 ¹⁹² = 6 ‍ 277 ‍ 101 ‍ 735 ‍ 386 ‍ 680 ‍ 763 ‍ 835 ‍ 789 ‍ 423 ‍ 207 ‍ 666 ‍ 416 ‍ 102 ‍ 355 ‍ 444 ‍ 464 ‍ 034 ‍ 512 896: AES 192 ビットキースペース(対称暗号)内の可能な異なるキーの合計数。
2 ²²⁹ = 862 ‍ 718 ‍ 293 ‍ 348 ‍ 820 ‍ 473 ‍ 429 ‍ 344 ‍ 482 ‍ 784 ‍ 628 ‍ 181 ‍ 556 ‍ 388 ‍ 621 ‍ 521 ‍ 298 ‍ 319 395 ‍ 315 ‍ 527 ‍ 974 ‍ 912: 2 ^{229 は、} 2 の累乗の中で、その累乗数に対するゼロの数が最も少ない数として知られている最大の累乗数です。メティン・サリヤールは、2 の累乗の 10 進展開では、累乗が大きくなるにつれて、0 から 9 までの各数字が同じ回数出現する傾向があると推測しています。( OEISのシーケンスA330024 )
2 ²⁵⁶ = 115 ‍ 792 ‍ 089 ‍ 237 ‍ 316 ‍ 195 ‍ 423 ‍ 570 ‍ 985 ‍ 008 ‍ 687 ‍ 907 ‍ 853 ‍ 269 ‍ 984 ‍ 665 ‍ 640 ‍ 564 039 ‍ 457 ‍ 584 ‍ 007 ‍ 913 ‍ 129 ‍ 639 ‍ 936: AES 256 ビットキースペース(対称暗号)内の可能な異なるキーの合計数。
2¹⁰²⁴ = 179‍ 769 ‍ 313 ‍ 486 ‍ 231 ‍ 590 ‍ 772 ‍ 930 ‍ ... ‍ 304 ‍ 835 ‍ 356 ‍ 329 ‍ 624 ‍ 224 ‍ 137 ‍ 216 (309 桁): 64 ビット IEEE倍精度浮動小数点形式に収まる最大数(したがって、 Microsoft Excelなどの多くのプログラムで表現できる最大数)。
2^{16 384} = 1‍ 189 ‍ 731 ‍ 495 ‍ 357 ‍ 231 ‍ 765 ‍ 085 ‍ 75 ...‍ 460 ‍ 447 ‍ 027 ‍ 290 ‍ 669 ‍ 964 ‍ 066 ‍ 816 (4933桁）: 128ビットIEEE4倍精度浮動小数点形式に収まる最大数
2^{262 144} = 16‍ 113 ‍ 257 ‍ 174 ‍ 857 ‍ 604 ‍ 736 ‍ 195 ‍ 7 ...‍ 753 ‍ 862 ‍ 605 ‍ 349 ‍ 934 ‍ 298 ‍ 300 ‍ 416 (78,914桁）: 256ビットIEEE8倍精度浮動小数点形式に収まる最大数
2^{136 279 841} = 8‍ 816 ‍ 943 ‍ 275 ‍ 038 ‍ 332 ‍ 655 ‍ 539 ‍ 39 ...‍ 665 ‍ 555 ‍ 076 ‍ 706 ‍ 219 ‍ 486 ‍ 871 ‍ 552 (41 024 320桁）: 2024年10月時点で知られている最大の素数より1つ大きい^{[アップデート]}。^[9]

音楽理論における2の累乗

音楽記譜法では、変更されていない音符の長さはすべて、全音符を2 の累乗で割った値に等しくなります。たとえば、2 分音符(1/2)、4 分音符(1/4)、8 分音符(1/8)、16 分音符(1/16) などです。付点音符やその他の変更が加えられた音符の長さは異なります。拍子記号では、小数点の分母として表される小数の拍子単位は、ほとんどの場合 2 の累乗です。

2 つの音程の周波数の比が2 の累乗である場合、それらの音程間の音程は完全なオクターブです。この場合、対応する音符は同じ名前を持ちます。

からの数学的一致は、平均律の7つの半音の音程と純正律の完全5度、つまり約0.1%の精度で一致することに密接に関係している。純正5度はピタゴラス音律の基礎であり、 12の純正5度と7オクターブの差はピタゴラスコンマである。^[10] $2^{7}\approx ({\tfrac {3}{2}})^{12}$ ${\frac {\log 3}{\log 2}}=1.5849\ldots \approx {\frac {19}{12}}$ $2^{7/12}\approx 3/2$

その他のプロパティ

$すべてのn$ 選択二項係数の合計は $2 n$ に等しくなります。すべての $n$ 桁の 2 進整数の集合を考えてみましょう。その濃度は $2 n$ です。これは、特定のサブセットの濃度の合計でもあります。つまり、1 のない整数のサブセット ( $n$ 個の0 と表記される単一の数値で構成される)、1 が 1 つのサブセット、2 つの 1 を含むサブセット、など、 $n個の 1 を含むサブセット ($ $n$ 個の 1と表記される数値で構成される) まで続きます。これらのそれぞれは $、n$ でインデックス付けされた二項係数と、考慮されている 1 の数に等しくなります(たとえば、10 桁でちょうど 3 つの 1 を含む 10 選択 3 二進数が存在します)。

現在、ほぼ完全な数として知られているのは 2 の累乗だけです。

集合 $a$ のべき集合の濃度は常に2 | a | です $。$ $ここ$ $で$ $、$ | $a$ $|$ $は$ $a$ の濃度です。

$n$ 次元超立方体の頂点の数は $2$ $n$ です。同様に、 $n$ 次元交差多面体の $($ $n$ $- 1)$ 面の数も $2$ $n$ $であり、 n$ 次元交差多面体が持つ $x$ 面の数の式は $2^{x}{\tbinom {n}{x}}.$

2の累乗の和（から始まる）は次のように表される。 $n$ $1=2^{0}$

\sum _{k=0}^{n-1}2^{k}=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{n-1}=2^{n}-1

任意の正の整数です。 $n$

したがって、累乗の合計は

1+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{63}

は、次のように評価するだけで計算できます(これは「チェス番号」です)。 $2^{64}-1$

2 の累乗の逆数の合計は1です。2の2 乗(4 の累乗) の逆数の合計は 1/3 です。

10進数で7から始まる2の最小の自然数は次の通りである^[11]。

2^{46}=70\ 368\ 744\ 177\ 664.

2 の累乗（1 を除く）は、4 つの平方数の和として 24 通りの方法で表すことができます。2 の累乗は、4 つの平方数の和として表す方法が最も少ない 1 より大きい自然数です。

実多項式として、a ⁿ + b ^{n は}、 n が2 の累乗である場合に限り、既約です。（ nが奇数の場合、a ⁿ + b ^{n は}a + bで割り切れます。また、nが偶数だが 2 の累乗でない場合は、n はn = mpと表すことができます。ここで、 m は奇数であるため、となり、 a ^p + b ^pで割り切れます。）しかし、複素数の領域では、 n が2 の累乗であっても、多項式（n ≥ 1）は常にと因数分解できます。 $a^{n}+b^{n}=(a^{p})^{m}+(b^{p})^{m}$ $a^{2n}+b^{2n}$ $a^{2n}+b^{2n}=(a^{n}+b^{n}i)\cdot (a^{n}-b^{n}i)$

すべての桁が偶数である2の累乗は、2 ¹ = 2、2 ² = 4、2 ³ = 8、2 ⁶ = 64、2 11 ⁼のみです。2048。^[12]最後の桁以外が奇数である最初の3つの2の累乗は、2 ⁴ = 16、2 ⁵ = 32、2 9 ⁼ 512です。2 ⁿの形をした次の2の累乗は、 nが少なくとも6桁である必要があります。すべての桁が異なる2の累乗は、2 ⁰ = 1から2 ¹⁵ =のみです。32 768 , 2 ²⁰ =1 048 576と 2 ²⁹ =536 870 912。

2の負の累乗

ハフマンコードは、ソースシンボルの確率がすべて2の負の累乗である場合に最適なロスレスデータ圧縮を実現します。 ^[13]

参照

参考文献

^ Lipschutz, Seymour (1982). Schaum の「基本的なコンピュータ数学の理論と問題の概要」ニューヨーク: McGraw-Hill. p. 3. ISBN 0-07-037990-4。
^ シーウェル、マイケル J. (1997)。数学マスタークラス。オックスフォード：オックスフォード大学出版局。p. 78。ISBN 0-19-851494-8。
^ $\log _{1024/1000}1.5\approx 17.1,$ $\log _{1024/1000}2\approx 29.2.$
^ ガイ、リチャード・K. (2004)、「E24 無理数列」、数論における未解決問題 (第3版)、シュプリンガー・フェアラーク、p. 346、ISBN 0-387-20860-7、Zbl 1058.11001、2016-04-28にオリジナルからアーカイブ
^ abcdefgh Fortner, Brand (1995). 「バイト数」。データハンドブック(第 2 版)。ニューヨーク: Springer; TELOS。第 2 章、§「キロバイトとメガバイト」、p. 25。doi :10.1007/978-1-4612-2538-6_3。ディスクファイルサイズは、キロバイトとメガバイトで表現されることが多い。ファイルは 32 キロバイト、つまり 32K バイトと記載されていることがある。これは正確に 32,000 バイトを意味するわけではない。1 キロバイトは 2 ¹⁰、つまり32K バイトと定義されている。1024バイト。つまり32Kバイトは実際には32×1024または32 768バイト。1メガバイトは2 ²⁰、つまり1,048,576バイトと定義されます。したがって、32メガバイト（32Mバイト）は33 554 432バイト。
Sammes, Tony; Jenkinson, Brian (2007). 「Understanding Information」. Forensic Computing (第 2 版). ロンドン: Springer. pp. 7– 48. doi :10.1007/978-1-84628-732-9_2.今日、バイトはメモリサイズの基本単位として使用されています。 [...] コンピュータメモリとディスクサイズが非常に大きくなるにつれて、バイトは比較的小さな単位になり、さまざまな 2 の累乗がバイトを表すために使用されています。1 キロバイトは 2 ¹⁰ =1024バイト; 1メガバイトは2 ²⁰ =1 048 576バイト; 1ギガバイトは 2 ³⁰ =1 073 741 824バイト; 1テラバイトは 2 ⁴⁰ =1 099 511 627 776バイト、ペタバイトは 2 ⁵⁰ =1 125 899 906 842 624バイト。この 2 の累乗単位のシーケンスは、エクサバイト、ゼタバイト、ヨタバイトと続きます。伝統的に、コンピューティングサイエンティストは、メモリ単位を 10 の累乗ではなく 2 の累乗に基づいてきましたが、これは標準化コミュニティ内で議論の的となっています。[脚注: 問題は、キロ、メガ、ギガなどの接頭辞を、コンピューティングコミュニティで伝統的に実装されているように 2 の累乗にするか、SI 単位の国際度量衡総会で定められた 10 の累乗にするかです。10 の累乗に変更すると、キロは 10 ³ =になります。1000とメガは10 ⁶ =1 000 000。]
^ abc ワードサイズはそれぞれ異なりますが、すべてのx86プロセッサでは「ワード」という用語を16ビットの意味で使用しています。したがって、32ビットのx86プロセッサでは、ネイティブワードサイズをdwordと呼びます。
^ 「Powers of 2 Table – Vaughn's Summaries」www.vaughns-1-pagers.com。2015年8月12日時点のオリジナルよりアーカイブ。
^ Weisstein, Eric W. 「Zero」。MathWorldより。「Zero」。2013年6月1日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2013年5月29日閲覧。
^ 「メルセンヌ素数の発見 – 2136279841−1 が素数です!」www.mersenne.org。
^ マンフレッド・ロバート・シュローダー (2008). 科学とコミュニケーションにおける数論 (第2版). シュプリンガー. pp. 26– 28. ISBN 978-3-540-85297-1。
^ パヴェウ・ストツェレッキ (1994)。「O Potęgach dwójki（2の累乗について）」（ポーランド語）。デルタ。 2016年5月9日のオリジナルからアーカイブ。
^ Sloane, N. J. A. (編)。「シーケンス A068994 (すべて偶数桁の 2 の累乗)」。整数シーケンスのオンライン百科事典。OEIS Foundation。
^ ハフマン符号化、出典: Fundamental Data Compression、2006

[1] Lipschutz, Seymour (1982). Schaum の「基本的なコンピュータ数学の理論と問題の概要」ニューヨーク: McGraw-Hill. p. 3. ISBN 0-07-037990-4。

[2] シーウェル、マイケル J. (1997)。数学マスタークラス。オックスフォード：オックスフォード大学出版局。p. 78。ISBN 0-19-851494-8。

[3] $\log _{1024/1000}1.5\approx 17.1,$ $\log _{1024/1000}2\approx 29.2.$

[4] ガイ、リチャード・K. (2004)、「E24 無理数列」、数論における未解決問題 (第3版)、シュプリンガー・フェアラーク、p. 346、ISBN 0-387-20860-7、Zbl 1058.11001、2016-04-28にオリジナルからアーカイブ

[kilobyte-5] Fortner, Brand (1995). 「バイト数」。データハンドブック(第 2 版)。ニューヨーク: Springer; TELOS。第 2 章、§「キロバイトとメガバイト」、p. 25。doi :10.1007/978-1-4612-2538-6_3。ディスクファイルサイズは、キロバイトとメガバイトで表現されることが多い。ファイルは 32 キロバイト、つまり 32K バイトと記載されていることがある。これは正確に 32,000 バイトを意味するわけではない。1 キロバイトは 2 ¹⁰、つまり32K バイトと定義されている。1024バイト。つまり32Kバイトは実際には32×1024または32 768バイト。1メガバイトは2 ²⁰、つまり1,048,576バイトと定義されます。したがって、32メガバイト（32Mバイト）は33 554 432バイト。
Sammes, Tony; Jenkinson, Brian (2007). 「Understanding Information」. Forensic Computing (第 2 版). ロンドン: Springer. pp. 7– 48. doi :10.1007/978-1-84628-732-9_2.今日、バイトはメモリサイズの基本単位として使用されています。 [...] コンピュータメモリとディスクサイズが非常に大きくなるにつれて、バイトは比較的小さな単位になり、さまざまな 2 の累乗がバイトを表すために使用されています。1 キロバイトは 2 ¹⁰ =1024バイト; 1メガバイトは2 ²⁰ =1 048 576バイト; 1ギガバイトは 2 ³⁰ =1 073 741 824バイト; 1テラバイトは 2 ⁴⁰ =1 099 511 627 776バイト、ペタバイトは 2 ⁵⁰ =1 125 899 906 842 624バイト。この 2 の累乗単位のシーケンスは、エクサバイト、ゼタバイト、ヨタバイトと続きます。伝統的に、コンピューティングサイエンティストは、メモリ単位を 10 の累乗ではなく 2 の累乗に基づいてきましたが、これは標準化コミュニティ内で議論の的となっています。[脚注: 問題は、キロ、メガ、ギガなどの接頭辞を、コンピューティングコミュニティで伝統的に実装されているように 2 の累乗にするか、SI 単位の国際度量衡総会で定められた 10 の累乗にするかです。10 の累乗に変更すると、キロは 10 ³ =になります。1000とメガは10 ⁶ =1 000 000。]

[iword-6] ワードサイズはそれぞれ異なりますが、すべてのx86プロセッサでは「ワード」という用語を16ビットの意味で使用しています。したがって、32ビットのx86プロセッサでは、ネイティブワードサイズをdwordと呼びます。

[7] 「Powers of 2 Table – Vaughn's Summaries」www.vaughns-1-pagers.com。2015年8月12日時点のオリジナルよりアーカイブ。

[8] Weisstein, Eric W. 「Zero」。MathWorldより。「Zero」。2013年6月1日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2013年5月29日閲覧。

[9] 「メルセンヌ素数の発見 – 2136279841−1 が素数です!」www.mersenne.org。

[schroeder-10] マンフレッド・ロバート・シュローダー (2008). 科学とコミュニケーションにおける数論 (第2版). シュプリンガー. pp. 26– 28. ISBN 978-3-540-85297-1。

[o_potegach_dwojki-11] パヴェウ・ストツェレッキ (1994)。「O Potęgach dwójki（2の累乗について）」（ポーランド語）。デルタ。 2016年5月9日のオリジナルからアーカイブ。

[12] Sloane, N. J. A. (編)。「シーケンス A068994 (すべて偶数桁の 2 の累乗)」。整数シーケンスのオンライン百科事典。OEIS Foundation。

[13] ハフマン符号化、出典: Fundamental Data Compression、2006