小麦とチェス盤の問題

小麦とチェス盤の問題(米粒で表現されることもある) は、次のようにテキスト形式で表現される数学の問題です。

チェス盤の各マスに小麦を置き、最初のマスには 1 粒、2 番目のマスには 2 粒、3 番目のマスには 4 粒、というように（以降のマスでは小麦の数が 2 倍になる）、最終的にチェス盤上には小麦の粒がいくつあるでしょうか。

この問題は、単純な足し算で解くことができる。チェス盤に64のマス目があり、連続するマス目で穀物の数が2倍になると、64マスすべての穀物の合計は、1 + 2 + 4 + 8 + ...となり、64マスすべてで同様に計算される。穀物の総数は、2 ⁶⁴ −1、つまり18,446,744,073,709,551,615（18京、446京、744兆、730億、7億955万、1,615億、1兆4000億トン以上）であることが示される。これは、小麦の世界年間生産量の2,000倍以上である。^[1]

この演習は、指数列がどれだけ速く増加するかを示すために、また指数、ゼロ乗、大文字シグマ表記、および幾何級数を紹介するために使用できます。ペニーと「1 日目に 100 万ドルを得るか、1 ペニーを 30 日目まで毎日 2 倍にするか、どちらを選びますか?」などの仮定の質問を使用して現代向けに更新されたこの式は、複利を説明するために使用されています。(2 倍にすると、10 億 7,300 万ペニー以上、つまり 1,000 万ドル以上が得られます: 2 ³⁰ −1=1,073,741,823)。^{[2] [3]}

この問題は、チェスの発明に関するさまざまな物語に登場します。その 1 つに等比数列の問題があります。この物語は、1256 年にイブン ハリカンによって初めて記録されたことが知られています。^[4]別のバージョンでは、チェスの発明者 (一部の伝承では古代インドの大臣セッサ) が、小麦とチェス盤の問題に応じて、統治者に小麦を与えるように要求します。統治者は、素晴らしい発明に対するわずかな賞品としてそれを一笑に付しますが、宮廷の財務官は、予想外に大量の小麦が統治者の資産を上回ったと報告します。発明者が高位の顧問になるか、処刑されるかについては、バージョンによって異なります。^[5]

マクドネルは、このテーマの初期の発展についても調査している。^[6]

[アル・マスーディーのインド初期の歴史によると]、シャトランジ、つまりチェスは、バックギャモンよりもこのゲームを好むと述べたインド王の時代に発明されました。[...] 彼は、インド人はチェス盤のマス目を使って等差数列も計算したと付け加えています。[...] インド人が膨大な計算を好んだことは、インド数学の研究者にはよく知られており、偉大な天文学者アーリヤバタ (紀元 476 年生まれ) の著作に例証されています。[...] この計算がインド起源であることのさらなる根拠は、チェス盤のマス目のアラビア語名 (بيت、「ベイト」)、「家」です。[...] これは、インドでの呼称である koṣṭhāgāra、「倉庫」、「穀倉」と間違いなく歴史的に関係しています [...]。

シンプルで強引な解決策は、一連の各ステップを手動で 2 倍にして追加することです。

${\displaystyle T_{64}}$= 1 + 2 + 4 + ..... + 9,223,372,036,854,775,808 = 18,446,744,073,709,551,615

ここで、グレインの総数です。${\displaystyle T_{64}}$

この級数は指数を使って表現できます。

${\displaystyle T_{64}=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{63}}$

大文字シグマ表記で表すと次のようになります。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{63}2^{k}.\,}$

また、次の方法を使用すると、はるかに簡単に解決できます。

${\displaystyle T_{64}=2^{64}-1.\,}$

その証明は次のとおりです。

${\displaystyle s=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{63}.}$

各辺を2倍します。

${\displaystyle 2s=2^{1}+2^{2}+2^{3}+\cdots +2^{63}+2^{64}.}$

各辺から元の数列を減算します。

${\displaystyle {\begin{aligned}2s-s&=\qquad \quad {\cancel {2^{1}}}+{\cancel {2^{2}}}+\cdots +{\cancel {2^{63}}}+2^{64}\\&\quad -2^{0}-{\cancel {2^{1}}}-{\cancel {2^{2}}}-\cdots -{\cancel {2^{63}}}\\&=2^{64}-2^{0}\\\therefore s&=2^{64}-1.\end{aligned}}}$

上記の解は、等比級数の和の特殊なケースであり、次のように表される。

${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}=a\,{\frac {1-r^{n}}{1-r}},}$

ここで、は級数の最初の項、は公比、は項の数です。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle r}$${\displaystyle n}$

この問題では 、および。 ${\displaystyle a=1}$${\displaystyle r=2}$${\displaystyle n=64}$

したがって、

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n-1}2^{k}&=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{n-1}\\&=2^{n}-1\end{aligned}}}$

任意の正の整数です 。${\displaystyle n}$

この問題に取り組む練習は、指数と指数列および等比数列の急速な増加について説明および実証するために使用できます。また、シグマ表記法の説明にも使用できます。指数で表すと、等比数列は2 ⁰  + 2 ¹  + 2 ²  + 2 ³  + ... となり、2 ⁶³まで続きます。各指数の底「2」は各正方形での倍数を表し、指数は各正方形の位置を表します (最初の正方形は 0、2 番目の正方形は 1 など)。

粒子の数はメルセンヌ数64番目です。

テクノロジー戦略において、「チェス盤の後半」とはレイ・カーツワイル^[7]が作った造語で、指数関数的に成長する要素が組織の全体的なビジネス戦略に大きな経済的影響を及ぼし始める時点を指します。チェス盤の前半の粒子の数は多いですが、後半の粒子の量ははるかに多くなります（2の^32乗＞40億倍）。

チェス盤の前半にある小麦の粒の数は1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2,147,483,648で、合計4,294,967,295 (2 ³²  − 1) 粒、つまり約279トンの小麦になります（小麦1粒の質量を65 mgと仮定）。^[8]

チェス盤の後半にある小麦の粒の数は、 2 ³² + 2 ³³ + 2 ³⁴ + ... + 2 ⁶³で、合計は 2 ⁶⁴  − 2 ³²粒です。これは、盤の前半にある粒の数の 2 乗に、それ自身を加えたものに等しくなります。後半の最初のマス目だけでも、前半全体よりも 1 粒多くなっています。チェス盤の 64 番目のマス目だけでも、2 ⁶³ = 9,223,372,036,854,775,808 粒あり、チェス盤の前半の 20 億倍以上になります。

^{チェス盤全体には2 64} − 1 = 18,446,744,073,709,551,615粒の小麦があり 、その重量は約1,199,000,000,000トンになります。これは世界の小麦生産量（2014年は7億2900万トン、2019年は7億8080万トン）の1,600倍以上です。 ^[9]

カール・セーガンは最後の著書の第2章に「ペルシャのチェス盤」というタイトルを付け、細菌について「指数関数は永遠に続くことはできない。なぜなら、すべてを飲み込んでしまうからだ」と書いている。^[10]同様に、『成長の限界』ではこの物語を使って指数関数的成長の示唆する結果を提示している。「有限の空間と有限の資源の中で指数関数的成長が長く続くことはあり得ない」^[11]

• アンバラッパザ・パール・パヤサムの伝説
• マルサスの成長モデル
• ムーアの法則
• 桁数（データ）
• テクノロジー戦略
• 成長の限界

無料辞書のウィクショナリーで「小麦とチェス盤の問題」を調べてください。

• Weisstein、Eric W.「小麦とチェス盤の問題」。MathWorld。
• 塩とチェス盤の問題 - 各マス目の測定値を含む小麦とチェス盤の問題のバリエーション。
• Wikiversity の Math Adventures/Wheat and the Chessboard に関連する学習教材