不合理性の連鎖

数学において、正の整数列 a _nは、任意の正の整数列x _nに対して、その数列の和 が

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{n}x_{n}}}}$

が存在し（つまり収束し）、無理数である。^{[1] [2]}無理数列を特徴付ける問題は、ポール・エルデシュとエルンスト・G・シュトラウスによって提起され、彼らはもともと無理数列であるという性質を「性質P」と呼んだ。^[3]

指数が2の累乗である2の累乗は無理数列を形成する。しかし、シルベスターの数列は${\displaystyle 2^{2^{n}}}$

2、3、7、43、1807、3263443、...

（各項は前の項の積より1大きい）も2倍指数的に増加するが、無理数列を形成しない。なぜなら、すべての をとする と、${\displaystyle x_{n}=1}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{43}}+\cdots =1,}$

は有理数に収束する数列である。同様に、階乗、は無理数列を形成しない。なぜなら、すべてに対してで与えられる数列は、有理和を持つ数列につながるからである。 ${\displaystyle n!}$${\displaystyle x_{n}=n+2}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)n!}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{144}}+\cdots =1.}$^[1]

任意の数列a _{n が}無理数列であるためには、その数列が次の率で増加する必要がある。

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\log \log a_{n}}{n}}\geq \log 2}$^[4 ]

これには、2倍以上の指数関数的速度で増加するシーケンスと、2の累乗の累乗よりも速く増加するいくつかの二重指数シーケンスが含まれます。^[1]

あらゆる非合理性シーケンスは、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{1/n}=\infty .}$

しかし、各項の最大公約数が1（2の累乗の累乗とは異なり） であり、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{1/2^{n}}<\infty .}$^[5]

無理数列と同様に、ハンチェル（1996）は超越数列を、正の整数の任意の数列x nに対して_、数列_の和が

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{n}x_{n}}}}$

は存在し、超越数である。^[6]