3つの力

数学において、3 の累乗は $3 n という$ 形式の数であり、ここで $n$ は整数、つまり、数3 を底とし、整数 $n を$ 指数として累乗した結果です。

10 進法では、3 の累乗の最後から 2 番目の桁は偶数になります。

アプリケーション

3の累乗は三進法の位の値を与える。^[1]

グラフ理論

グラフ理論では、3の累乗は、 $n$ 頂点グラフの最大独立集合の数に関するムーン・モーザー境界 $3 n /3$ に現れる。^{[2]また、これらの集合を見つけるための}ブロン・ケルボッシュアルゴリズムの時間解析にも現れる。^[3]重要な強正則グラフにも、頂点数が3の累乗となるものがあり、ブローワー・ヘーマーズグラフ（81頂点）、ベルレカンプ・ファン・リント・ザイデルグラフ（243頂点）、ゲームズグラフ（729頂点）などがある。^[4]

列挙的組合せ論

列挙的組合せ論では、 $n$ 個の要素からなる集合には $3 n 個$ の符号付き部分集合が存在する。多面体組合せ論では、超立方体およびその他すべてのハンナー多面体は、面の数（空集合を面として数えない）が 3 の累乗である。たとえば、2 次元立方体、つまり正方形には 4 つの頂点、4 つの辺、1 つの面があり、 $4 + 4 + 1 = 3$ $2$ である。カライの $3$ $次元$ 予想によれば、これが中心対称多面体の面の最小可能数である。^[5]

3つの長さの逆数

娯楽数学やフラクタル幾何学では、3の累乗の長さの逆数は、コッホの雪片^{[6] 、} カントル集合[7] 、シェルピンスキーのカーペットとメンガーのスポンジ^[8] に至る構成、シェルピンスキーの三角形の構成手順の要素数、およびこれらの集合に関連する多くの公式に現れる $。n円$ 板のハノイの塔パズルやそれに関連するハノイグラフの頂点には、 $3n$ $通り$ の状態が考えられる。^[9] $w$ 段階の秤パズルでは、 $3w$ $通り$ の結果（秤が左または右に傾くか、平衡を保つシーケンス）が考えられる。これらのパズルの解法では3の累乗が頻繁に現れ、（同様の理由から）3の累乗は理想的なコイン体系を作るだろうと示唆されてきた。^[9]

完全トーティエント数

数論では、3の累乗はすべて完全トーティエント数である。^[10]異なる3の累乗の和はスタンレー数列を形成し、これは3つの要素の等差数列を含まない辞書式に最小の数列である。^[11]ポール・エルデシュの予想によれば、この数列には1、4、256以外の2の累乗は含まれない。^[12]

グラハム数

グラハム数はラムゼー理論の証明から生じる巨大な数であり、（マーティン・ガードナーによって普及されたバージョンでは）3の累乗である。しかし、ロナルド・グラハムによる実際の証明では、2の累乗というはるかに小さい別の数が使用されました。 ^[13]

参照

参考文献

^ ラヌッチ、アーネスト R. (1968 年 12 月)、「魅力的な三進法」、算数教師、15 (8): 718–722、doi :10.5951/AT.15.8.0718、JSTOR 41185884
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[1] ラヌッチ、アーネスト R. (1968 年 12 月)、「魅力的な三進法」、算数教師、15 (8): 718–722、doi :10.5951/AT.15.8.0718、JSTOR 41185884

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[3] 富田悦司、田中明、高橋晴久 (2006)、「すべての最大クリークを生成するための最悪の時間計算量と計算実験」、理論計算機科学、363 (1): 28–42、doi :10.1016/j.tcs.2006.06.015

[4] Brouwer–Haemers グラフと Games グラフについては、Bondarenko, Andriy V.、Radchenko, Danylo V. (2013)、「On a family of intensely normal graphs with 」、Journal of Combinatorial Theory、Series B、103 (4): 521–531、arXiv : 1201.0383、doi : 10.1016/j.jctb.2013.05.005、MR 3071380を参照。 $\lambda =1$ Berlekamp–van Lint–Seidel グラフと Games グラフについては、van Lint, JH ; Brouwer, AE (1984)、「Strongly normal graphs and partial geometries」(PDF)、Jackson, David M. ; Vanstone, Scott A. (eds.)、Enumeration and Design: Papers from the conference on combinatorics held at the University of Waterloo, Waterloo, Ont., June 14–July 2, 1982、London: Academic Press、pp. 85–122、MR 0782310 を参照してください。

[5] カライ、ギル(1989)、「中心対称多面体の面の数」、グラフと組合せ論、5 (1): 389–391、doi :10.1007/BF01788696、MR 1554357、S2CID 8917264

[6] von Koch、Helge (1904)、「Sur une courbe continue sans Tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire」、Arkiv för Matematik (フランス語)、1 : 681–704、JFM 35.0387.02

[7] 例えば、Mihăilă, Ioana (2004)、「The reasonables of the Cantor set」、The College Mathematics Journal、35 (4): 251–255、doi :10.2307/4146907、JSTOR 4146907、MR 2076132を参照。

[8] ヒンツ、アンドレアス M. Klavžar, サンディ;ミルティノヴィッチ、ウロシュ。 Petr、Ciril (2013)、「2.3 Hanoigraphs」、ハノイの塔—神話と数学、バーゼル: Birkhäuser、pp. 120–134、doi :10.1007/978-3-0348-0237-6、ISBN 978-3-0348-0236-9、MR3026271

[9] テルサー、LG（1995年10月）、「コインと通貨の最適な額面」、Economics Letters、49（4）：425–427、doi：10.1016/0165-1765（95）00691-8

[10] イアンヌッチ、ダグラス E.; デン、モウジエ; コーエン、グレアム L. (2003)、「完全トーティエント数について」、整数列ジャーナル、6 (4)、記事 03.4.5、Bibcode :2003JIntS...6...45I、MR 2051959

[11] Sloane, N. J. A. (編)、「シーケンス A005836」、整数シーケンスのオンライン百科事典、 OEIS Foundation

[12] Gupta、Hansraj (1978)、「2 の累乗と 3 の個別累乗の合計」、Univerzitet u Beogradu Publikacije Elektrotehničkog Fakulteta、Serija Matematika i Fizika (602–633): 151–158 (1979)、MR 0580438

[13] ガードナー、マーティン（1977年11月）、「点の集合を結合すると、多様な（そして迂回する）経路が生まれる」、サイエンティフィック・アメリカン、237（5）：18–28、Bibcode：1977SciAm.237e..18G、doi：10.1038/scientificamerican1177-18