軌道要素

軌道要素は、特定の軌道を一意に識別するために必要なパラメータです。天体力学では、これらの要素はケプラー軌道を使用する2 体系で考慮されます。同じ軌道を数学的に記述する方法は多数ありますが、天文学と軌道力学では、それぞれ 6 つのパラメータのセットで構成される特定の方式が一般的に使用されています。

実際の軌道とその要素は、他の物体による重力の摂動や一般相対性理論の影響により、時間の経過とともに変化します。ケプラー軌道は、特定の時間における軌道の理想化された数学的近似値です。

ケプラーの要素

この図では、軌道面(黄色) が基準面 (灰色) と交差しています。地球を周回する衛星の場合、基準面は通常、地球の赤道面であり、太陽の軌道にある衛星の場合は黄道面です。交差点は、基準天体 (主天体) と昇交点および降交点を結ぶため、交点線と呼ばれます。基準天体と春分点( ♈︎ ) は基準方向を確立し、基準面とともに基準フレームを確立します。

伝統的な軌道要素は、ヨハネス・ケプラーと彼の惑星運動の法則にちなんで、 6 つのケプラーの要素です。

慣性系から見ると、2 つの軌道物体はそれぞれ異なる軌道を描きます。これらの軌道はそれぞれ、共通の質量中心に焦点があります。いずれかの物体を中心とする非慣性系から見ると、反対側の物体の軌道だけが見えます。ケプラーの要素はこれらの非慣性軌道を表します。軌道には、どの物体を基準点として使用するかによって 2 セットのケプラーの要素があります。基準となる物体 (通常は最も質量が大きいもの) は主、もう 1 つの物体は副と呼ばれます。主の質量は必ずしも副の質量より大きいわけではなく、物体の質量が等しい場合でも、軌道要素は主の選択によって決まります。

楕円の形状とサイズを定義する要素は 2 つあります。

離心率( $e$ ) — 楕円の形状。円と比較してどれだけ長く伸びているかを表します (図にはマークされていません)。
半長軸( $a ) —$ 遠点と近点の間の距離の半分。半長軸のうち、主星の 1 つの焦点から近点まで伸びる部分は、図では紫色の線で示されています。残りの部分 (主星/焦点から軌道楕円の中心まで) は基準面より下にあるため、表示されていません。

楕円が埋め込まれる軌道面の方向を定義する要素は 2 つあります。

傾斜( $i$ ) — 基準面に対する楕円の垂直方向の傾き。昇交点(軌道が基準面を上向きに通過する点、図の緑色の角度 $i$ ) で測定されます。傾斜角は、軌道面と基準面の交線に対して垂直に測定されます。楕円上の任意の 3 つの異なる点によって、楕円軌道面が定義されます。平面と楕円はどちらも、3 次元空間で定義される 2 次元オブジェクトです。
昇交点の経度( $Ω$ ) —楕円の昇交点(軌道が基準面を南から北に通過する点、 $☊で示される) を、基準フレームの$ 春分点(♈︎ で示される)に対して水平方向に向けます。これは基準面で測定され、図では緑色の角度 $Ωとして示されています。$

残りの 2 つの要素は次のとおりです。

近点引数( $ω$ ) は、軌道面における楕円の向きを定義します。これは、昇交点から近点 (衛星本体が周回する主天体に最も近い点) まで測定された角度 (図の紫色の角度 $ω)$ として定義されます。
元期( $t$ $0$ ) における真近点角( $ν$ 、 $θ$ 、または $f$ ) は、特定の時間 (「元期」) における楕円に沿った軌道上の天体の位置を定義し、近点からの角度として表されます。

平均近点角 M $は$ 数学的に都合の良い架空の「角度」であり、実際の幾何学的角度に対応せず、時間とともに直線的に変化し、1 回の軌道周期は 2 $π$ ラジアンの「角度 $」$ で表されます。これは、楕円面内の近点(中心天体への最接近点) と任意の時点での軌道天体の位置との間の実際の幾何学的角度を表す真の近点角 νに変換できます。したがって、真の近点角は図の赤い角度 $ν$ として示され、平均近点角は示されません。

傾斜角、昇交点の経度、近点引数は、基準座標系に対する軌道の方向を定義するオイラー角として記述することもできます。

楕円以外の軌道も存在しますが、閉じられていないため軌道ではないことに注意してください。離心率が 1 より大きい場合、軌道は双曲線になります。離心率が 1 に等しい場合、軌道は放物線になります。離心率に関係なく、角運動量が 0 に等しい場合、軌道は放射状の軌道に退化します。

必須パラメータ

慣性参照フレームと任意のエポック（指定された時点）が与えられた場合、任意の摂動のない軌道を明確に定義するには、正確に 6 つのパラメータが必要です。

これは、問題に 6 つの自由度が含まれているためです。これらは、位置を定義する3 つの空間次元(直交座標系の $x$ 、 $y$ 、 $z ) と、各次元での速度に対応します。これらは$ 軌道状態ベクトルとして記述できますが、軌道を表す方法としては不便な場合が多いため、代わりにケプラーの要素が一般的に使用されます。

場合によっては、エポックは参照フレームの一部ではなく、「7 番目の」軌道パラメータと見なされます。

エポックが要素の 1 つがゼロの瞬間であると定義される場合、指定されていない要素の数は 5 に減ります。(6 番目のパラメータは、軌道を定義するために依然として必要です。これは、慣例により数値的にゼロに設定されるか、実際のクロック時間に対するエポックの定義に「移動」されるだけです。)

代替パラメータ化

ケプラーの要素は、軌道状態ベクトル（位置を表す3次元ベクトルと速度を表す別の3次元ベクトル）から手動変換またはコンピュータソフトウェアによって取得できます。 ^[1]

その他の軌道パラメータは、周期、遠点、近点などのケプラーの要素から計算できます。(地球を周回する場合、最後の 2 つの項は遠地点と近地点と呼ばれます。) ケプラーの要素セットでは、長半径 a の代わりに周期を指定するのが一般的です。これは、中心天体の標準重力パラメータGM $が$ 指定されている場合、それぞれを他方から計算できるためです。

時点における平均異常の代わりに、平均異常 $M$ 、平均経度、真異常 $ν$ $0$ 、または（まれに）離心率異常が使用されることもあります。

たとえば、「エポックでの平均異常」の代わりに「平均異常」を使用する場合、時間 $t を$ 7 番目の軌道要素として指定する必要があります。場合によっては、エポックでの平均異常がゼロであると想定され (エポックの適切な定義を選択することにより)、他の 5 つの軌道要素のみを指定することになります。

さまざまな天体には、さまざまな要素セットが使用されています。軌道の形状とサイズを指定するには、離心率 $e$ と、半長軸 $a$ または近点距離 $qのいずれかを使用します。昇交点経度$ $Ω$ 、傾斜角 $i$ 、および近点引数 $ω$ または近点経度 $ϖ は$ 、その平面における軌道の方向を指定します。エポック経度 $L 0$ 、エポック平均近点 $M 0$ 、または近日点通過時刻 $T 0$ のいずれかを使用して、軌道上の既知の点を指定します。選択は、春分点または交点のどちらを主要な基準として使用するかによって異なります。平均運動と重力質量がわかっている場合は、半長軸がわかっています。^[2]^[3]

また、平均近点角 ( $M$ ) または平均経度 ( $L$ )のいずれかが、 $M 0$ または $L 0 を$ 介さずに、時間に関する多項式関数として直接表現されることもよくあります。この表現方法では、平均運動 ( $n ) が係数の 1 つとして多項式に組み込まれます。$ $L$ または $M$ がより複雑な方法で表現されているように見えますが、必要な軌道要素が 1 つ少なくなるようです。

平均運動は、軌道周期 $P$ の引用によって不明瞭になることもある。^{[説明が必要]}

オイラー角変換

角度 $Ω$ 、 $i$ 、 $ω は、$ 座標系の方向を特徴付けるオイラー角（この記事で使用されている表記法の $α$ 、 $β$ 、 $γ$ に対応）である。

慣性座標系 $Î$ 、 $Ĵ$ 、 $K̂からの$ $x̂$ 、 $ŷ$ 、 $ẑ$

どこ：

$Î$ 、 $Ĵ は$ 中心天体の赤道面にあります。 $Î$ は春分点の方向にあります。Ĵ $はÎ$ に垂直で $、 Î$ とともに基準面を定義します。K̂ $は$ 基準面に垂直です。太陽系の天体 (惑星、彗星、小惑星など) の軌道要素は、通常、 $その$ 面として黄道です。
$x̂$ 、 $ŷ は$ 軌道面にあり、 $x̂ は$ 近点(近点)方向に $あります。 ẑ$ は軌道面に対して垂直です。 $ŷ は$ $x̂$ および $ẑ$ に対して互いに垂直です。

$そして、 Î$ 、 $Ĵ$ 、 $K̂$ 座標系からオイラー角 $Ω$ 、 $i$ 、 $ωを持つ$ $x̂$ 、 $ŷ$ 、 $ẑ$ 座標系への変換は次のようになる。ここで ${\begin{aligned}x_{1}&=\cos \Omega \cdot \cos \omega -\sin \Omega \cdot \cos i\cdot \sin \omega \ ;\\x_{2}&=\sin \Omega \cdot \cos \omega +\cos \Omega \cdot \cos i\cdot \sin \omega \ ;\\x_{3}&=\sin i\cdot \sin \omega ;\\\,\\y_{1}&=-\cos \Omega \cdot \sin \omega -\sin \Omega \cdot \cos i\cdot \cos \omega \ ;\\y_{2}&=-\sin \Omega \cdot \sin \omega +\cos \Omega \cdot \cos i\cdot \cos \omega \ ;\\\y_{3}&=\sin i\cdot \cos \omega \ ;\\\,\\z_{1}&=\sin i\cdot \sin \Omega \ ;\\z_{2}&=-\sin i\cdot \cos \Omega \ ;\\z_{3}&=\cos i\ ;\\\end{aligned}}$ ${\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\z_{1}&z_{2}&z_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \omega &\sin \omega &0\\-\sin \omega &\cos \omega &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos i&\sin i\\0&-\sin i&\cos i\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}\cos \Omega &\sin \Omega &0\\-\sin \Omega &\cos \Omega &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\,;$ ${\begin{aligned}\mathbf {\hat {x}} &=x_{1}\mathbf {\hat {I}} +x_{2}\mathbf {\hat {J}} +x_{3}\mathbf {\hat {K}} ~;\\\mathbf {\hat {y}} &=y_{1}\mathbf {\hat {I}} +y_{2}\mathbf {\hat {J}} +y_{3}\mathbf {\hat {K}} ~;\\\mathbf {\hat {z}} &=z_{1}\mathbf {\hat {I}} +z_{2}\mathbf {\hat {J}} +z_{3}\mathbf {\hat {K}} ~.\\\end{aligned}}$

逆変換は、xyz 系の 3 つの (または 2 つの) 座標が与えられた場合に IJK 系の 3 つの座標を計算し、逆行列で表されます。行列代数の規則に従って、 3 つの回転行列の積の逆行列は、3 つの行列の順序を反転し、3 つのオイラー角の符号を入れ替えることで得られます。

つまり、

${\begin{bmatrix}i_{1}&i_{2}&i_{3}\\j_{1}&j_{2}&j_{3}\\k_{1}&k_{2}&k_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \Omega &-\sin \Omega &0\\\sin \Omega &\cos \Omega &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos i&-\sin i\\0&\sin i&\cos i\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}\cos \omega &-\sin \omega &0\\\sin \omega &\cos \omega &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\,;$ どこ ${\begin{aligned}\mathbf {\hat {I}} &=i_{1}\mathbf {\hat {x}} +i_{2}\mathbf {\hat {y}} +i_{3}\mathbf {\hat {z}} ~;\\\mathbf {\hat {J}} &=j_{1}\mathbf {\hat {x}} +j_{2}\mathbf {\hat {y}} +j_{3}\mathbf {\hat {z}} ~;\\\mathbf {\hat {K}} &=k_{1}\mathbf {\hat {x}} +k_{2}\mathbf {\hat {y}} +k_{3}\mathbf {\hat {z}} ~.\\\end{aligned}}$

$x̂$ 、 $ŷ$ 、 $ẑ$ からオイラー角 $Ω$ 、 $i$ 、 $ω$ への変換は次のとおりです。ここで、 $arg($ $x$ $、$ $y$ $) は$ 、多くのプログラミング言語で使用できる標準関数atan2(y,x)を使用して計算できる極引数を表します。 ${\begin{aligned}\Omega &=\operatorname {arg} \left(-z_{2},z_{1}\right)\\i&=\operatorname {arg} \left(z_{3},{\sqrt {{z_{1}}^{2}+{z_{2}}^{2}}}\right)\\\omega &=\operatorname {arg} \left(y_{3},x_{3}\right)\\\end{aligned}}$

軌道予測

中心物体が完全に球形で、摂動がゼロで相対論的効果が無視できる理想的な条件下では、平均異常を除くすべての軌道要素は定数です。平均異常は時間とともに直線的に変化し、平均運動によってスケールされます。^[2] ここで、 $μ は$ 標準重力パラメータです。したがって、任意の瞬間 $t$ $0$ で軌道パラメータが $($ $e$ $0$ $、$ $a$ $0$ $、$ $i$ $0$ $、 Ω$ $0$ $、$ $ω$ $0$ $、$ $M$ $0$ $)である場合、時間$ $t$ $=$ $t$ $0$ $+$ $δt$ での要素は $($ $e$ $0$ $、$ $a$ $0$ $、$ $i$ $0$ $、 Ω$ $0$ $、$ $ω$ $0$ $、$ $M$ $0$ $+$ $n$ $δt$ $)$ で与えられます。 $n={\sqrt {\frac {\mu }{a^{3}}}}.$

摂動と要素の変動

摂動を受けない二体ニュートン軌道は常に円錐曲線であるため、ケプラーの要素は楕円、放物線、または双曲線を定義します。実際の軌道には摂動があるため、特定のケプラーの要素のセットは、その時代の軌道のみを正確に表します。軌道要素の進化は、主天体以外の天体の重力、主天体の非球形性、大気の抗力、相対論的効果、放射圧、電磁力などによって発生します。

ケプラーの要素は、多くの場合、その時代に近い時期の有用な予測を行うために使用できます。あるいは、実際の軌道は、実際の軌道に接する(「キス」または接触する) 一連のケプラーの軌道としてモデル化できます。これらは、ラグランジュ、ガウス、ドローネ、ポアンカレ、またはヒルによって開発されたさまざまな形式の微分方程式である、いわゆる惑星方程式によって記述することもできます。

2行要素

ケプラー要素パラメータは、さまざまな形式でテキストとしてエンコードできます。最も一般的なのは、NASA / NORAD 「2行要素」（TLE）形式です。^{[4] は}、もともと80列のパンチカードで使用するために設計されましたが、最も一般的な形式であり、80文字のASCIIレコードが最新のデータベースで効率的に処理できるため、現在でも使用されています。

アプリケーションや物体の軌道によっては、30日以上前のTLEから得られたデータは信頼できない場合があります。軌道位置は、簡略化された摂動モデル（SGP4 / SDP4 / SGP8 / SDP8）を使用してTLEから計算できます。^[5]

2行要素の例: ^[6]

1 27651U 03004A 07083.49636287 .00000119 00000-0 30706-4 0 2692
2 27651 039.9951 132.2059 0025931 073.4582 286.9047 14.81909376225249

ドロネー変数

ドロネー軌道要素は、シャルル＝ウジェーヌ・ドロネーが月の運動を研究する中で導入した。^[7]ドロネー変数と呼ばれるこれらは、作用角座標である標準変数の集合である。角度はケプラー角のいくつかの単純な合計である。

平均経度: 、 $\ell =M+\omega +\Omega$
近点経度: 、および $g=\omega +\Omega$
昇交点の経度: $h=\Omega$

それぞれの共役運動量 $L$ 、 $G$ 、 $H$ とともに。^[8]運動量 $L$ 、 $G$ 、 $Hは$ 作用変数であり、ケプラーの要素a、e、iのより $複雑$ な $組み合わせ$ で $ある$ 。

デローネ変数は、天体力学における摂動計算を簡素化するために使用され、例えば階層的三重システムにおけるコザイ・リドフ振動の調査に使用されます。 ^{[8]デローネ変数の利点は、} $e$ および/または $i$ が非常に小さい場合、明確に定義され、特異でないことです ( $h$ は許容されます) 。つまり、テスト粒子の軌道がほぼ円形 ( ) またはほぼ「平坦」 ( ) である場合です。 $e\approx 0$ $i\approx 0$

参照

参考文献

^ たとえば、「VEC2TLE」の場合。amsat.org。 2016年5月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。2013年6月19日閲覧。
^ ab グリーン、ロビン M. (1985)。球状天文学。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-23988-2。
^ ダンビー、気象庁 (1962)。天力学の基礎。ウィルマン・ベル。ISBN 978-0-943396-20-0。
^ Kelso, TS「FAQ: 2行要素セット形式」celestrak.com . CelesTrak. 2016年3月26日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2016年6月15日閲覧。
^ Seidelmann, KP, 編 (1992).天文年鑑補足版(第 1 版). ミルバレー、カリフォルニア州: University Science Books.
^ 「SORCE」。Heavens-Above.com軌道データ。 2007年9月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。
^ Aubin, David (2014). 「Delaunay, Charles-Eugène」.天文学者伝記百科事典. ニューヨーク市: Springer New York. pp. 548–549. doi :10.1007/978-1-4419-9917-7_347. ISBN 978-1-4419-9916-0。
^ ab シェフチェンコ、イヴァン（2017）。リドフ・コザイ効果：太陽系外惑星研究と力学天文学への応用。チャム：シュプリンガー。ISBN 978-3-319-43522-0。

外部リンク

Gurfil , Pini (2005). 「近赤道軌道における非特異軌道要素としてのオイラーパラメータ」。ガイダンス、コントロール、ダイナミクスジャーナル。28 (5): 1079–1084。Bibcode : 2005JGCD ...28.1079G。doi :10.2514/1.14760。

「チュートリアル」。AMSAT。ケプラーの要素。2002年10月14日時点のオリジナルよりアーカイブ。

「軌道チュートリアル」。marine.rutgers.edu。 2021年4月19日時点のオリジナルよりアーカイブ。2019年7月30日閲覧。

「軌道要素ビジュアライザー」。orbitalmechanics.info。

レポート No. 3 (PDF) . celestrak (レポート) . Spacetrack .北米航空宇宙防衛司令部(NORAD) . 2000 年 9 月 3 日時点のオリジナルからのアーカイブ(PDF) 。– 軌道要素の真剣な扱い

「FAQ」。Celestrak . 2行要素。2016年3月26日時点のオリジナルよりアーカイブ。

「JPL HORIZONS オンライン暦」。– 多数の太陽系天体の軌道要素も提供します

「平均軌道パラメータ」。ssd.jpl.nasa.gov。惑星衛星。JPL / NASA。

「エクスポートの概要」。ssd.jpl.nasa.gov。JPLの惑星および月の暦。JPL / NASA。

「状態ベクトル: VEC2TLE」。MindSpring (ソフトウェア)。2016年3月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。– VEC2TLEソフトウェアへのアクセス

「関数 'iauPlan94'」( C ソフトウェアソース)。IAU SOFA C ライブラリ。– 主要惑星の軌道要素

[1] たとえば、「VEC2TLE」の場合。amsat.org。 2016年5月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。2013年6月19日閲覧。

[Green-2] グリーン、ロビン M. (1985)。球状天文学。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-23988-2。

[Danby-3] ダンビー、気象庁 (1962)。天力学の基礎。ウィルマン・ベル。ISBN 978-0-943396-20-0。

[Kelso_FAQ-4] Kelso, TS「FAQ: 2行要素セット形式」celestrak.com . CelesTrak. 2016年3月26日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2016年6月15日閲覧。

[5] Seidelmann, KP, 編 (1992).天文年鑑補足版(第 1 版). ミルバレー、カリフォルニア州: University Science Books.

[6] 「SORCE」。Heavens-Above.com軌道データ。 2007年9月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。

[Aubin-2014-7] Aubin, David (2014). 「Delaunay, Charles-Eugène」.天文学者伝記百科事典. ニューヨーク市: Springer New York. pp. 548–549. doi :10.1007/978-1-4419-9917-7_347. ISBN 978-1-4419-9916-0。

[Shevchenko-2017-8] シェフチェンコ、イヴァン（2017）。リドフ・コザイ効果：太陽系外惑星研究と力学天文学への応用。チャム：シュプリンガー。ISBN 978-3-319-43522-0。