ギリシャ人（金融）

数理ファイナンスにおいて、グリークスとは、オプションなどのデリバティブ商品の価格が、金融商品または金融商品ポートフォリオの価値が依存する1つ以上の基礎パラメータの変化に対してどれだけ敏感であるかを表す量（微積分では偏微分、1次またはそれ以上）のことである。この名称は、これらの感度の最も一般的なものがギリシャ文字で表される（他のいくつかの金融指標も同様）ためである。これらはまとめて、リスク感度^[¹^]、リスク指標^[²^]^:⁷⁴² 、またはヘッジパラメータ^[³^]とも呼ばれる。

ギリシャ人の利用

ギリシャ指標はリスク管理において非常に重要なツールです。各ギリシャ指標は、特定の基礎パラメータのわずかな変化に対するポートフォリオの価値の感度を測定するため、構成要素のリスクを個別に扱い、それに応じてポートフォリオを再調整して望ましいエクスポージャーを実現できます。例えば、デルタヘッジングを参照してください。

ブラック・ショールズ・モデル（特定の金融市場の比較的単純な理想化モデル）におけるグリークスは、金融モデルにとって望ましい特性である計算が比較的容易であり、特に市場環境の不利な変化からポートフォリオをヘッジしようとするデリバティブ・トレーダーにとって非常に有用である。このため、デルタ、シータ、ベガなど、ヘッジに特に有用なグリークスは、スポット価格、時間、ボラティリティのパラメータの変化を測定するために明確に定義されている。ロー（リスクフリー金利に関する偏微分）はブラック・ショールズ・モデルへの主要な入力であるが、リスクフリー金利の変化に対応する短期オプションの価値への全体的な影響は一般的に重要ではないため、リスクフリー金利を含む高次のデリバティブは一般的ではない。

ギリシャ文字の中で最もよく使われるのは、デルタ、ベガ、シータ、ローといった1階微分です。また、値関数の2階微分であるガンマも挙げられます。このリストに挙げられている残りの感度も、一般的に知られているため通称が付けられていますが、このリストは決して網羅的なものではありません。

市場の参加者は、毎日数十億ドル（ドル、ポンド、ユーロ）相当の原資産をめぐる競争的な取引を行っているため、計算を正確に行うことが重要です。実際には、ブラック・ショールズ・モデル、ひいてはグリークスで使用されるような単純化された仮定を超えた、より高度なモデルが使用されます。

名前

ギリシャ文字の名称の使用は、おそらく金融用語のアルファとベータ、およびブラック・ショールズ・オプション価格モデルにおけるシグマ（対数リターンの標準偏差）とタウ（満期までの時間）の使用に由来する。ベガ（その記号はギリシャ文字の小文字ニューに似ているため、この名称の使用は混乱を招く可能性がある）やゾマなどのいくつかの名称が考案されているが、ギリシャ文字に似た響きである。カラーとチャームという名称は、おそらく素粒子物理学におけるクォークの特異な性質を表す用語の使用に由来する。

第一階ギリシャ語

デルタ

デルタ、^{[ 4 ]} $\Delta$ は、原資産価格の変化に対する理論上のオプション価値の変化率を測定します。デルタは、その価値の1階微分です。 $V$ 原資産価格に関するオプション $S$ 。

\displaystyle \Delta ={\frac {\partial V}{\partial S}}}

実用

バニラオプションの場合、デルタはロングコール（またはショートプット）の場合は0.0から1.0の間、ロングプット（またはショートコール）の場合は0.0から-1.0の間の数値になります。価格に応じて、コールオプションは、原資産の株式を1株所有しているかのように（ディープインザマネーの場合）、または何も所有していないかのように（ファーアウトオブザマネーの場合）、またはその中間の何らかの状態になり、プットオプションの場合はその逆になります。同じストライク価格のコールのデルタとプットのデルタの差は1に等しくなります。プット・コールパリティにより、コールをロングしプットをショートすることは、スポットSに対して線形であり、単位係数を持つフォワードFに等しく、導関数dF/dSは1になります。以下の式を参照してください。

これらの数値は、オプション契約によって表される株式総数に対する割合として表示されるのが一般的です。これは、オプションがデルタで示される株式数と同じように（瞬時に）動くため便利です。たとえば、XYZ株のアメリカンコールオプション100枚からなるポートフォリオのデルタがそれぞれ0.25（= 25%）の場合、価格がわずかに変動すると、XYZ株2,500株と同じように価値が増減します（オプション契約100枚で10,000株をカバー）。符号とパーセンテージは省略されることがよくあります。符号はオプションの種類（プットの場合は負、コールの場合は正）で暗黙的に示され、パーセンテージは理解されています。最もよく引用されるのは、25デルタプット、50デルタプット/50デルタコール、および25デルタコールです。50デルタプットと50デルタコールは、スポットとフォワードでは割引率が異なるため、厳密には同じではありませんが、しばしば混同されます。

デルタは、ロングコールの場合は常にプラス、ロングプットの場合は常にマイナスです（ゼロでない限り）。同一の原資産に対する複雑なポートフォリオのポジションの合計デルタは、個々のポジションのデルタを合計するだけで計算できます。ポートフォリオのデルタは、構成銘柄に対して線形です。原資産のデルタは常に1.0であるため、トレーダーは、合計デルタで示される株数を買いまたは売り建てることで、原資産のポジション全体をデルタヘッジできます。たとえば、XYZのオプションポートフォリオのデルタ（原資産の株数で表したもの）が+2.75の場合、トレーダーは原資産の2.75株を売り建てることで、ポートフォリオをデルタヘッジできます。このポートフォリオは、XYZの価格がどちらの方向に動いても、その総価値を維持します。（ただし、原資産のわずかな変動、短期間の場合に限られ、ボラティリティやリスクフリー投資の収益率などの他の市場状況の変化は考慮しません。）

確率の代理指標として

デルタの絶対値は、オプションのマネーネス率、つまり（リスク中立測度で市場がブラウン運動で動く場合）オプションがイン・ザ・マネーで満期を迎える暗黙の確率に近似しているが、同一ではない。^[⁵^]このため、一部のオプション取引者は、デルタの絶対値をマネーネス率の近似値として使用する。たとえば、アウト・オブ・ザ・マネーのコールオプションのデルタが0.15の場合、取引者は、オプションがイン・ザ・マネーで満期を迎える確率が約15%であると推定するかもしれない。同様に、プット契約のデルタが-0.25の場合、取引者は、オプションがイン・ザ・マネーで満期を迎える確率が25%であると予想するかもしれない。アット・ザ・マネーのコールとプットのデルタはそれぞれ約 0.5 と -0.5 であり、リスクフリーレートがデルタにいくらかのオフセットをもたらすため、ATM コールのデルタはわずかに高くなる傾向があります。オプションが満期時にイン・ザ・マネーになる負の割引確率はデュアルデルタと呼ばれ、これはオプション価格のストライクに関する一次導関数です。^[⁶^]

コールとプットのデルタの関係

同一の原資産、行使価格、満期までの期間を持ち、配当利回りのないヨーロピアンコールオプションとプットオプションの場合、各オプションのデルタの絶対値の合計は1になります。より正確には、コールオプションのデルタ（正の値）からプットオプションのデルタ（負の値）を引いたものが1になります。これはプット・コール・パリティによるものです。ロングコールとショートプット（コールからプットを引いたもの）は、デルタが1であるフォワードを複製します。

オプションのデルタ値が分かっている場合、既知のコールオプションのデルタ値から1を引くか、既知のプットオプションのデルタ値に1を加えることで、同じ行使価格、原資産、満期日を持つが権利方向が反対のオプションのデルタ値を計算できます。

\displaystyle \Delta ({\text{call}})-\Delta ({\text{put}})=1 なので、\Delta ({\text{call}})=\Delta ({\text{put}})+1 および \Delta ({\text{put}})=\Delta ({\text{call}})-1 となります。

例えば、コールオプションのデルタが0.42の場合、同じ権利行使価格の対応するプットオプションのデルタは、0.42 − 1 = −0.58で計算できます。同様に、プットオプションからコールオプションのデルタを求めるには、−0.58に1を加えて0.42とします。

ベガ

ベガ^{[ 4 ]}はボラティリティに対する感度を測定する。ベガは、原資産のボラティリティに関するオプション価格の導関数である。

{\mathcal {V}}={\frac {\partial V}{\partial \sigma }}

ベガはギリシャ文字の名前ではありません。使用されているグリフは、ギリシャ文字ニュー（ν ）の非標準的な大文字バージョンです。 ${\textstyle \nu }$ ) と表記される ${\mathcal {V}}$ おそらく、ギリシャ文字のニューがラテン語のヴィーに似ていたことから、vegaという名前が採用されたのだろう。そして、アメリカ英語でベータ、イータ、シータがどのように発音されるかに倣って、 vegaはヴィーから派生したと考えられる。

カッパのシンボル、 $\kappa$ は、（学者によって）ベガの代わりに使われることがある（タウも同様である） $\displaystyle \tau }$ ）または大文字のラムダ（ $\Lambda$ ）^{[ 7 ]}^{： 315（} ただし、これらはまれである）。

ベガは通常、原資産株1株当たり、ボラティリティが1パーセントポイント上昇または下降した際にオプションの価値がどれだけ増減するかを示す金額として表されます。すべてのオプション（コールオプションとプットオプションの両方）は、ボラティリティの上昇に伴い価値が上昇します。

ベガは、特に変動の激しい市場において、オプション取引を行うトレーダーにとって重要な指標となり得る。なぜなら、一部のオプション戦略の価値は、ボラティリティの変化に非常に敏感だからである。例えば、アット・ザ・マネーのオプション・ストラドルの価値は、ボラティリティの変化に極めて大きく左右される。詳しくは「ボラティリティリスク」を参照のこと。

シータ

シータ、^{[ 4 ]} $\Theta$ は、時間の経過に対するデリバティブの値の感度を測定します（オプションの時間的価値を参照）。「時間減衰」です。

\Theta =-{\frac {\partial V}{\partial \tau }}

時間が経過するにつれて、満期までの時間が短くなり、他の条件がすべて同じであれば、オプションの本質的価値は減少します。通常（ただし下記参照）、これはオプションが時間とともに価値を失うことを意味し、これは慣習的にロングオプションが短い（負の）シータを持つことを意味します。実際、通常、オプションの価値の時間に関する文字通りの一次導関数は正の数です。オプションの価値の変化は通常負になります。なぜなら、時間の経過は負の数（減少から $\tau \,$ （満期までの時間）。ただし、慣例として、実務家は通常、長期オプションのシータエクスポージャー（「減衰」）を（時間の経過を負とするのではなく）負と表現することを好み、そのため、シータは通常、上記のように、1階微分を-1倍した値として報告されます。

時間の経過とともに本質的価値は減少しますが、場合によっては割引が相殺要因となります。一部のタイプのディープ・イン・ザ・マネー・オプション（ブラック・ショールズ・モデルのプット・オプション、ブラック・モデルにおけるプット・オプションとコール・オプションなど）では、時間の経過とともに割引率が1に近づくにつれて、ロング・オプションの価値が増加する要素となります。ディープ・イン・ザ・マネー・オプションは、割引率の増加による利益が本質的価値の減少による損失を上回る場合があり、ロング・オプションの報告されるセータは、より一般的な負の値ではなく正の値になります（また、オプションが行使可能であれば、早期行使候補となり、ヨーロピアン・オプションはパリティを下回る価値になる可能性があります）。

オプション評価式では慣例として、 $\tau \,$ 満期までの期間（θ）は年単位で定義されます。実務家は一般的に、満期までの年数ではなく、満期までの日数の変化としてθを捉えることを好みます。そのため、報告されるθは通常、1年間の日数で割られます。（暦日を数えるか営業日を数えるかは個人の好みによりますが、どちらにも利点があります。）

ロー

ロー、^{[ 4 ]} $\rho$ は金利に対する感度を測定するもので、関連する未払い期間におけるリスクフリー金利に対するオプション価格の導関数です。

\rho ={\frac {\partial V}{\partial r}}

極端な状況を除けば、オプションの価値は、他のパラメーターの変化に比べて、リスクフリー金利の変化に対しては感度が低い。そのため、ρは一次グリークスの中で最も使用頻度が低い。

ローは通常、リスクフリー金利が年間1.0%（100ベーシスポイント）上昇または下降した場合に、オプションの価値が原資産1株当たりどれだけ増減するかを示す金額として表されます。

ラムダ

ラムダ、^{[ 4 ]} $\lambda$ 、オメガ、^{[ 8 ]} $\Omega$ または弾力性^{[ 4 ]}は、原資産価格のパーセント変化に対するオプション価値のパーセント変化であり、レバレッジの尺度であり、ギアリングと呼ばれることもあります。

\displaystyle \lambda =\Omega ={\frac {\partial V}{\partial S}}\times {\frac {S}{V}}}

それは、 $\lambda =\Omega =\Delta \times {\frac {S}{V}}$ 。

これはデルタの概念に似ていますが、絶対値ではなくパーセンテージで表されます。

イプシロン

イプシロン、^{[ 9 ]} $\varepsilon$ （psi とも呼ばれる） $\psi$ は、配当リスクの指標であり、原資産の配当利回りの変化率に対するオプション価値の変化率を表します。配当利回りの影響は、実際には配当利回りが10%上昇した場合を想定して算出されます。当然ながら、この感度分析は株式デリバティブ商品にのみ適用可能です。

\varepsilon =\psi ={\frac {\partial V}{\partial q}}

数値的には、すべての一次感度は期待収益率のスプレッドとして解釈できます。^{[ 10 ]}情報幾何学は別の（三角関数的な）解釈を提供します。^{[ 10 ]}

第二級ギリシャ語

ガンマ

ガンマ、^{[ 4 ]} $\Gamma$ は、原資産価格の変化に対するデルタの変化率を測定します。ガンマは、原資産価格に関する価値関数の2階微分です。

\Gamma ={\frac {\partial \Delta }{\partial S}}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}

ほとんどのロングオプションは正のガンマを持ち、ほとんどのショートオプションは負のガンマを持ちます。ロングオプションはガンマと正の相関関係にあります。価格が上昇するとデルタも上昇し、デルタは0から1に近づき（ロングコールオプション）、-1から0に近づきます（ロングプットオプション）。ショートオプションの場合はその逆です。^{[ 11 ]}

ガンマは、アット・ザ・マネー（ATM）付近で最大となり、イン・ザ・マネー（ITM）またはアウト・オブ・ザ・マネー（OTM）になるにつれて小さくなります。ガンマは、バリューの凸性を補正するため重要です。

トレーダーがポートフォリオに対して効果的なデルタヘッジを構築しようとする場合、ポートフォリオのガンマを中和することも検討する。これは、ヘッジがより広い範囲の原資産価格変動に対して有効であることを保証するためである。

ヴァンナ

Vanna ^{[ 4 ]}は、DvegaDspot ^{[ 13 ]}およびDdeltaDvol ^{[ 13 ]}とも呼ばれ、オプション価格の 2 階微分であり、1 回は原資産のスポット価格に対して、もう1 回はボラティリティに対してです。数学的には、オプションデルタのボラティリティの変化に対する感度であるDdeltaDvolと等価です。あるいは、原資産の価格に対するベガの偏微分とも言えます。Vanna は、デルタヘッジまたはベガヘッジポートフォリオを維持する際に監視するのに役立つ感度です。Vanna は、トレーダーがボラティリティの変化に伴うデルタヘッジの有効性の変化、または原資産のスポット価格の変化に対するベガヘッジの有効性の変化を予測するのに役立ちます。

基礎となる値が連続な2階偏導関数を持つ場合、 ${\text{Vanna}}={\frac {\partial \Delta }{\partial \sigma }}={\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial S}}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial S\,\partial \sigma }}.$

魅力

チャーム^{[ 4 ]}またはデルタ減衰^{[ 14 ]}は、時間の経過に伴うデルタの瞬間的な変化率を測定します。

{\text{Charm}}=-{\frac {\partial \Delta }{\partial \tau }}={\frac {\partial \Theta }{\partial S}}=-{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \tau \,\partial S}}

チャームはDdeltaDtimeとも呼ばれています。^{[ 13 ]}チャームは、週末にポジションをデルタヘッジする際に測定/監視する重要なギリシャ指標になり得ます。チャームはオプション価格の2階微分であり、1回は価格、もう1回は時間の経過に関するものです。また、原資産価格に関するシータの微分でもあります。

チャームの計算式（下記参照）による数学的な結果は、デルタ/年で表されます。これを1年の日数で割って、1日あたりのデルタ減衰を求めると便利な場合が多くあります。この方法は、オプションの満期までの残り日数が多い場合にかなり正確です。オプションの満期が近づくと、チャーム自体が急速に変化する可能性があり、1日あたりのデルタ減衰の推定値は不正確になる場合があります。

ヴォンマ

Vomma ^{[ 4 ]} 、volga ^{[ 15 ]} 、vega convexity [ ¹⁵^]、またはDvegaDvol ^[¹⁵^]は^、ボラティリティに対する二次感度を測定します。Vomma は、オプション価格のボラティリティに関する二次導関数であり、言い換えれば、vomma はボラティリティの変化に伴う vega の変化率を測定します。

{\text{Vomma}}={\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial \sigma }}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial \sigma ^{2}}}

正のvommaの場合、インプライド・ボラティリティが上昇するとポジションはロング・ベガとなり、下降するとショート・ベガとなります。これはロング・ガンマと同様の方法でスキャルピングできます。また、当初ベガ・ニュートラルなロング・vommaポジションは、異なる権利行使価格のオプションの比率から構築できます。vommaは、権利行使価格から離れたロング・オプションに対して正の値を取り、当初は権利行使価格からの距離とともに増加しますが（ベガが低下するにつれて減少します）。（具体的には、通常のd1_項とd2_項_の符号が同じ場合、つまりd1 < 0またはd2 > 0の場合にvommaは正の値を取り_ます。）

ベータ

Veta [ ¹⁶^]ベガ減衰またはDvegaDtime ^{[ 15 ]は}^、時間の経過に対するベガの変化率を測定します。Veta は価値関数の 2 階微分であり、1 回はボラティリティ、もう 1 回は時間です。

{\text{Veta}}={\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial \sigma \,\partial \tau }}

ベタの計算結果を100×1年あたりの日数で割って、1日あたりのベガの変化率を求めるのが一般的な方法です。

ヴェラ

Vera ^{[ 17 ]} ( rhovaとも表記される) ^{[ 17 ]}は、ボラティリティに対する rho の変化率を測定します。Vera は、価値関数の 2 階微分です。1 回はボラティリティに対して、もう 1 回は金利に対してです。

{\text{Vera}}={\frac {\partial \rho }{\partial \sigma }}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial \sigma \,\partial r}}

「Vera」という言葉は、2012年初頭にR. Naryshkinによって造語されました。当時、この感度を実際に使用して、ボラティリティの変化がローヘッジに与える影響を評価する必要がありましたが、既存の文献にはまだ適切な名称がありませんでした。「Vera」は、それぞれの1階ギリシャ文字であるVegaとRhoを組み合わせたような響きに合うように選ばれました。この名称は現在、より広く使用されており、例えば、数式処理ソフトウェアMaple（Financeパッケージに「BlackScholesVera」関数が含まれています）などにも使われています。

ストライクKに関する2階偏微分

この偏微分はブリーデン・リッツェンバーガーの公式^{[ 18 ]}において基本的な役割を果たしており、この公式は提示されたコールオプション価格を使用して、そのような価格によって示唆されるリスク中立確率を推定します。

\varpi ={\frac {\partial ^{2}V}{\partial K^{2}}}

コールオプションの場合、バタフライ戦略の微小ポートフォリオを用いて近似することができる。

第三位階ギリシャ語

スピード

スピード^{[ 4 ]は}、原資産価格の変化に対するガンマの変化率を測定します。

{\text{Speed}}={\frac {\partial \Gamma }{\partial S}}={\frac {\partial ^{3}V}{\partial S^{3}}}

これは、ガンマのガンマ^{[ 2 ]}^{: 799}またはDgammaDspot ^{[ 13 ]} とも呼ばれます。スピードは、原資産のスポット価格に関する価値関数の3次導関数です。ポートフォリオをデルタヘッジまたはガンマヘッジする場合、スピードを監視することが重要になる場合があります。

ゾマ

Zomma ^{[ 4 ]}は、ボラティリティの変化に対するガンマの変化率を測定します。

{\text{Zomma}}={\frac {\partial \Gamma }{\partial \sigma }}={\frac {\partial {\text{vanna}}}{\partial S}}={\frac {\partial ^{3}V}{\partial S^{2}\,\partial \sigma }}

ZommaはDgammaDvolとも呼ばれています。^{[ 13 ]} Zommaはオプション価格の3次導関数で、原資産価格に対して2回、ボラティリティに対して1回導関数です。Zommaは、ボラティリティの変化に伴うヘッジの有効性の変化をトレーダーが予測するのに役立つため、ガンマヘッジポートフォリオを維持する際に監視するのに役立つ感度です。

色

色[ ¹³^]ガンマ崩壊^[¹⁹^]またはDgammaDtime ^[¹³^]は^、時間の経過に伴うガンマの変化率を測定します。

{\text{Color}}={\frac {\partial \Gamma }{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{3}V}{\partial S^{2}\,\partial \tau }}

カラーはオプション価格の3階微分であり、原資産価格の2階微分と時間の1階微分です。カラーは、ガンマヘッジポートフォリオを維持する際に監視すべき重要な感度指標となり得ます。なぜなら、時間の経過とともにヘッジの効果を予測するのに役立つからです。

色に関する数式（下記参照）の計算結果は、1年あたりのガンマ値で表されます。これを1年あたりの日数で割ることで、1日あたりのガンマ値の変化を求めることができます。この方法は、オプションの満期までの残り日数が多い場合にかなり正確です。オプションの満期が近づくと、色自体が急速に変化する可能性があり、1日あたりのガンマ値の変化を推定すると不正確になる場合があります。

ウルティマ

Ultima ^{[ 4 ] は}、ボラティリティの変化に対するオプション vomma の感度を測定します。

{\text{Ultima}}={\frac {\partial {\text{vomma}}}{\partial \sigma }}={\frac {\partial ^{3}V}{\partial \sigma ^{3}}}

UltimaはDvommaDvolとも呼ばれています。^{[ 4 ]} Ultimaはオプション価格のボラティリティに対する3次導関数です。

パルミチャーマ

Parmicharma ^{[ 4 ]}は、時間の経過に伴う魅力の変化率を測定します。

{\text{Parmicharma}}=-{\frac {\partial {\text{charm}}}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{3}V}{\partial \tau ^{2}\partial S}}

パルミチャーマは、 DcharmDtimeとも呼ばれています。^{[ 20 ]}パルミチャーマは、オプション価格の 3 次導関数であり、2 次が時間、1 次が原資産価格です。時間の経過とともにデルタヘッジポートフォリオをより良く維持するために、トレーダーは現在のデルタポジションに加えてチャームをヘッジすることができます。^{[ 20 ]}パルミチャーマは、時間の経過とともにヘッジの有効性の変化をトレーダーが予測するのに役立つため、チャームヘッジポートフォリオを維持する際に監視するのに役立つ感度です。

マルチアセットオプションのグリークス

デリバティブの値が2つ以上の原資産に依存する場合、そのグリークスは、原資産間の相互効果を含めるように拡張されます。

相関デルタは、原資産間の相関の変化に対するデリバティブ値の感度を測定します。^{[ 21 ]}これは一般的にセガとしても知られています。^{[ 22 ]}^{[ 23 ]}

クロスガンマは、ある原資産のデルタの変化率を、別の原資産の水準の変化に対して測定する。^{[ 24 ]}

クロスバンナは、ある原資産の水準の変化によって別の原資産のベガが変化する割合を測定します。言い換えれば、最初の原資産のボラティリティの変化によって2番目の原資産のデルタが変化する割合を測定します。^{[ 21 ]}

クロスボルガは、ある原資産のベガの変化率と別の原資産のボラティリティの変化率の関係を測定する。^{[ 24 ]}

ヨーロピアンオプションのグリークスに関する計算式

ブラック・ショールズ・モデルにおけるヨーロピアン・オプション（コールとプット）のグリークスは、次のように計算される。 $\varphi$ （phi）は標準正規確率密度関数であり、 $\Phi$ は標準正規累積分布関数です。なお、ガンマとベガの式はコールオプションとプットオプションで同じです。

与えられた条件に対して：

株価 $S\,$ 、
行使価格 $K\,$ 、
リスクフリーレート $r\,$ 、
年間配当利回り $q\,$ 、
成熟までの時間 $\tau =T-t\,$ （1年を単位なしの分数で表したもの）
変動性 $\sigma \,$ 。

どこ

{\begin{aligned}d_{1}&={\frac {\ln(S/K)+\left(r-q+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\\d_{2}&={\frac {\ln(S/K)+\left(r-q-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {\tau }}\\\varphi (x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\\\Phi (x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}}\,dy=1-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}}\,dy\end{aligned}}

ブラックモデル（一般的に商品先物およびオプション先物取引で使用される）では、グリークスは次のように計算できます。

どこ

{\begin{aligned}d_{1}&={\frac {\ln(F/K)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\\d_{2}&={\frac {\ln(F/K)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {\tau }}\end{aligned}}

(*) 次のことが示せる $F\varphi (d_{1})=K\varphi (d_{2})$

マイクロプルーフ：

させて $x=\sigma {\sqrt {\tau }}$
$d_{1}={\frac {\ln {\frac {F}{K}}+{\frac {1}{2}}x^{2}}{x}}$
$d_{1}\cdot x=\ln {\frac {F}{K}}+{\frac {1}{2}}x^{2}$
$\ln(F/K)=d_{1}\cdot x-{\frac {1}{2}}x^{2}$
${\frac {F}{K}}=e^{d_{1}\cdot x-{\frac {1}{2}}x^{2}}$
次に、次のものがあります。 ${\frac {F}{K}}\cdot {\frac {\varphi (d_{1})}{\varphi (d_{2})}}={\frac {F}{K}}\cdot e^{{\frac {1}{2}}\cdot {d_{2}}^{2}-{\frac {1}{2}}\cdot {d_{1}}^{2}}$
$=e^{d_{1}x-{\frac {1}{2}}x^{2}}\cdot e^{{\frac {1}{2}}\cdot {(d_{1}-x)}^{2}-{\frac {1}{2}}\cdot {d_{1}}^{2}}=e^{d_{1}x-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}\cdot (2d_{1}-x)(-x)}=e^{0}=1.$
それで $F\varphi (d_{1})=K\varphi (d_{2})$

参考文献

↑ Banks, Erik; Siegel, Paul (2006). The options applications handbook: hedging and speculating techniques for professional investors . McGraw-Hill Professional . p. 263. ISBN 9780071453158。
1 2マクミラン、ローレンス G. (1993).オプションを戦略的投資として(第 3版).ニューヨーク金融研究所. ISBN 978-0-13-636002-5。
↑クリス、ニール（1996）。ブラック・ショールズとその先：オプション価格モデル。マグロウヒル・プロフェッショナル。308ページ。ISBN 9780786310258。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Haug, Espen Gaardner (2007). The Complete Guide to Option Pricing Formulas . McGraw-Hill Professional . ISBN 9780071389976。
↑ Suma, John. "オプションのグリークス：デルタリスクと報酬" . 2010年1月7日取得。
↑スタイナー、ボブ（2013）。財務計算の習得（第3版）。ピアソンUK。ISBN 9780273750604。
↑ハル、ジョン・C. (1993).オプション、先物、その他のデリバティブ証券（第2版）.プレンティス・ホール. ISBN 9780136390145。
↑ 「オメガ：オプション取引における意味と計算」
↑ De Spiegeleer, Jan; Schoutens, Wim 編 (2012). 「リスクの測定」. 『転換社債ハンドブック』 . pp. 227–294 . doi : 10.1002/9781118374696.ch9 . ISBN 978-0-470-68968-4。
1 2 Soklakov, AN (2023). "リスクとリターンの情報幾何学". Risk . 6 月. arXiv : 2206.08753 . SSRN 4134885 .
↑ Willette, Jeff (2014-05-28). "Understanding How Gamma Affect Delta" . www.traderbrains.com . 2014-03-07に閲覧。
↑ウィレット、ジェフ (2014-05-28)。「ロングオプションのガンマがプラスになる理由」。www.traderbrains.com。2014-03-07に取得。
1 2 3 4 5 6 7 Haug、Espen Gaarder (2003)、「Know Your Weapon, Part 1」(PDF)、Wilmott Magazine (2003 年 5 月): 49–57、doi : 10.1002/wilm.42820030313
↑デリバティブ – デルタ減衰 – 金融百科事典
1 2 3 4 Haug、Espen Gaarder (2003)、「Know Your Weapon, Part 2」、Wilmott Magazine (2003 年 7 月): 43–57
↑ Ursone, Pierino (2015). "Vega".オプション価格とそのグリークスの計算方法. pp. 93–110 . doi : 10.1002/9781119011651.ch9 . ISBN 978-1-119-01162-0。
1 2 「デリバティブ – 二次グリークス – 金融百科事典」。
↑ Breeden, Douglas T.; Litzenberger, Robert H. (1978). "オプション価格に内在する状態依存型請求の価格". The Journal of Business . 51 (4): 621– 651. doi : 10.1086/296025 . JSTOR 2352653 . SSRN 2642349 .
↑ 「デリバティブ – グリークス」 .投資と金融. 2020年12月21日取得。
1 2 Mastinsek, Miklavz (2012 年春)「チャーム調整デルタおよびデルタガンマヘッジング」The Journal of Derivatives . 19 (3): 69–76 . doi : 10.3905/jod.2012.19.3.069 . ProQuest 963355778 .
1 2 「マルチアセットオプションのグリークス」。 2017年1月24日取得。
↑相関リスク。 2018年3月22日取得。
↑ 「ローテーション・マウンテン・レンジ・オプション、評価とリスク／パフォーマンス分析」。 2018年3月22日取得。
1 2 Fengler, Matthias R.; Schwendner, Peter (2003年2月13日). マルチアセット株式オプションの相関リスクプレミアム（レポート）。doi : 10.18452 /3572。

外部リンク

理論

デルタ、ガンマ、ガンマP、ガンマシンメトリー、ヴァンナ、スピード、チャーム、サドルガンマ：バニラオプション - エスペン・ハウグ、
Volga、Vanna、Speed、Charm、Color: Vanilla Options - Uwe Wystup (2007年9月28日にWayback Machineにアーカイブ) 、Vanilla Options - Uwe Wystup

オンラインツール

greeks: 金融オプション価格の感度、ヨーロピアン、アメリカン、アジアンオプションのグリークスを計算するRパッケージ

[1] Banks, Erik; Siegel, Paul (2006). The options applications handbook: hedging and speculating techniques for professional investors . McGraw-Hill Professional . p. 263. ISBN 9780071453158。

[macmillan93-2] 1 2マクミラン、ローレンス G. (1993).オプションを戦略的投資として(第 3版).ニューヨーク金融研究所. ISBN 978-0-13-636002-5。

[3] クリス、ニール（1996）。ブラック・ショールズとその先：オプション価格モデル。マグロウヒル・プロフェッショナル。308ページ。ISBN 9780786310258。

[autogenerated2007-4] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Haug, Espen Gaardner (2007). The Complete Guide to Option Pricing Formulas . McGraw-Hill Professional . ISBN 9780071389976。

[5] Suma, John. "オプションのグリークス：デルタリスクと報酬" . 2010年1月7日取得。

[6] スタイナー、ボブ（2013）。財務計算の習得（第3版）。ピアソンUK。ISBN 9780273750604。

[Hull93-7] ハル、ジョン・C. (1993).オプション、先物、その他のデリバティブ証券（第2版）.プレンティス・ホール. ISBN 9780136390145。

[8] 「オメガ：オプション取引における意味と計算」

[9] De Spiegeleer, Jan; Schoutens, Wim 編 (2012). 「リスクの測定」. 『転換社債ハンドブック』 . pp. 227–294 . doi : 10.1002/9781118374696.ch9 . ISBN 978-0-470-68968-4。

[autogenerated2023-10] 1 2 Soklakov, AN (2023). "リスクとリターンの情報幾何学". Risk . 6 月. arXiv : 2206.08753 . SSRN 4134885 .

[11] Willette, Jeff (2014-05-28). "Understanding How Gamma Affect Delta" . www.traderbrains.com . 2014-03-07に閲覧。

[12] ウィレット、ジェフ (2014-05-28)。「ロングオプションのガンマがプラスになる理由」。www.traderbrains.com。2014-03-07に取得。

[kyw1-13] 1 2 3 4 5 6 7 Haug、Espen Gaarder (2003)、「Know Your Weapon, Part 1」(PDF)、Wilmott Magazine (2003 年 5 月): 49–57、doi : 10.1002/wilm.42820030313

[14] デリバティブ – デルタ減衰 – 金融百科事典

[kyw2-15] 1 2 3 4 Haug、Espen Gaarder (2003)、「Know Your Weapon, Part 2」、Wilmott Magazine (2003 年 7 月): 43–57

[16] Ursone, Pierino (2015). "Vega".オプション価格とそのグリークスの計算方法. pp. 93–110 . doi : 10.1002/9781119011651.ch9 . ISBN 978-1-119-01162-0。

[FE-17] 1 2 「デリバティブ – 二次グリークス – 金融百科事典」。

[BL-18] Breeden, Douglas T.; Litzenberger, Robert H. (1978). "オプション価格に内在する状態依存型請求の価格". The Journal of Business . 51 (4): 621– 651. doi : 10.1086/296025 . JSTOR 2352653 . SSRN 2642349 .

[19] 「デリバティブ – グリークス」 .投資と金融. 2020年12月21日取得。

[:0-20] 1 2 Mastinsek, Miklavz (2012 年春)「チャーム調整デルタおよびデルタガンマヘッジング」The Journal of Derivatives . 19 (3): 69–76 . doi : 10.3905/jod.2012.19.3.069 . ProQuest 963355778 .

[greeksMulti-21] 1 2 「マルチアセットオプションのグリークス」。 2017年1月24日取得。

[22] 相関リスク。 2018年3月22日取得。

[23] 「ローテーション・マウンテン・レンジ・オプション、評価とリスク／パフォーマンス分析」。 2018年3月22日取得。

[mao1-24] 1 2 Fengler, Matthias R.; Schwendner, Peter (2003年2月13日). マルチアセット株式オプションの相関リスクプレミアム（レポート）。doi : 10.18452 /3572。

[

[

[

[ 4 ]

[

[

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

16

[ 17 ]

[ 18 ]

[

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]