コンベクシティ（金融）

数理ファイナンスにおいて、コンベックス性は金融モデルにおける非線形性を指します。言い換えれば、基礎となる変数の価格が変化する場合、出力の価格は線形に変化せず、モデリング関数の2 次導関数(または、大まかに言えば、高次の項) に依存します。幾何学的には、モデルは平坦ではなく湾曲しており、曲率の度合いはコンベックス性と呼ばれます。

厳密に言えば、コンベクシティとは、入力価格に対する出力価格の 2 次導関数を指します。デリバティブの価格設定では、これはギリシャ語の 1 つであるガンマ(Γ)と呼ばれます。実際には、これらの中で最も重要なのは債券コンベクシティ、つまり金利に対する債券価格の 2 次導関数です。

2 次導関数は最初の非線形項であり、したがって最も重要な場合が多いため、「凸性」は、高次の項を含む非線形性全般を指すためにも緩く使用されます。非線形性を考慮してモデルを改良することを凸性補正と呼びます。

正式には、凸性調整は確率論におけるジェンセンの不等式から生じます。凸関数の期待値は期待値の関数以上です。

${\displaystyle E[f(X)]\geq f(E[X]).}$

幾何学的には、モデル価格が現在価値の両側で上向きにカーブしている場合（ペイオフ関数が上向きに凸で、その点で接線より上にある）、原資産の価格が変化すると、出力の価格は、 1 次導関数のみを使用してモデル化した場合よりも高くなります。逆に、モデル価格が下向きにカーブしている場合（凸性が負で、ペイオフ関数が接線より下にある）、出力の価格は、 1 次導関数のみを使用してモデル化した場合よりも低くなります。^{[説明が必要]}

正確なコンベクシティ調整は、コンベクシティ（価格関数の 2 次導関数）では線形ですが、原資産の将来の価格変動のモデル（確率分布）と価格のモデルに依存します。

コンベクシティはデリバティブの価格設定を解釈するために使用できます。数学的には、コンベクシティはオプション性です。つまり、オプションの価格 (オプション性の値) は、基礎となる支払いのコンベクシティに対応します。

ブラック・ショールズによるオプションの価格設定では、金利と 1 次導関数を省略すると、ブラック・ショールズ方程式は「(無限小的に) 時間価値はコンベックス性である」に簡約されます。つまり、オプションの価値は最終的な支払いのコンベックス性によるものです。つまり、資産を購入するかしないかのオプションがあり(コールの場合、プットの場合は売却するオプション)、最終的な支払い関数 (ホッケー スティックの形状) はコンベックスです。つまり、「オプション性」は支払いのコンベックス性に対応します。したがって、コール オプションを購入すると、オプションの期待値は、単に原資産の期待将来価値を取得してオプション支払い関数に入力した場合よりも高くなります。つまり、コンベックス関数の期待値は、期待値の関数よりも高くなります (Jensen の不等式)。したがって、オプションの価格 (オプション性の価値) は、支払い関数のコンベックス性を反映します^{[説明が必要]}。 ${\displaystyle \Theta =-\Gamma ,}$

この価値はストラドルによって分離されます。アット・ザ・マネーのストラドル（原資産の価格が上昇または下落すると価値が上昇する）を購入しても、（最初は）デルタはありません。原資産のポジションを取らずに、単にコンベクシティ（オプション性）を購入しているだけです。方向ではなく、動きの度合いから利益を得ます。

リスク管理の観点から見ると、ロング・コンベクシティ（正のガンマを持ち、したがって（金利とデルタを無視すると）負のシータを持つ）は、ボラティリティ（正のガンマ）から利益を得るが、時間の経過とともに損失を被る（負のシータ）ことを意味します。つまり、価格が予想以上に変動した場合は純利益が得られ、価格が予想以上に変動しなかった場合は純損失が発生します。

モデリングの観点から見ると、コンベクシティ調整は、モデル化された基礎となる金融変数が価格設定尺度の下でマルチンゲールではない場合に必ず発生します。ギルサノフの定理[1]を適用することで、^モデル化された金融変数の価格設定尺度下でのダイナミクスを表現し、このコンベクシティ調整を推定することができます。コンベクシティ調整の典型的な例は次のとおりです。

• クオントオプション：原資産は支払通貨とは異なる通貨建てです。割引原資産が国内リスク中立基準でマルチンゲールである場合、支払通貨リスク中立基準ではマルチンゲールではなくなります。
• 一定期間スワップ（CMS）商品（スワップ、キャップ/フロア）^[2]
• 住宅ローン担保証券やその他のコール可能債券のオプション調整スプレッド（OAS）分析
• ユーロドル先物からのIBORフォワードレートの計算
• LIBOR 市場モデル(LMM)に基づく IBOR フォワード

• ベンハモウ、エリック、「グローバルデリバティブ：商品、理論、実践」、 pp. 111–120、5.4 コンベクシティ調整（特に 5.4.1 コンベクシティ修正）ISBN  978-981-256-689-8
• Pelsser, Antoon (2001 年 4 月)。「凸性補正の数学的基礎」。SSRN 267995  。 {{cite journal}}:ジャーナルを引用するには|journal=(ヘルプ)が必要です