通常基準

数学、特に代数体論において、正規基底は有限次数のガロア拡大に対する特別な種類の基底であり、ガロア群の単一の軌道を形成するものとして特徴付けられる。正規基底定理は、体の任意の有限ガロア拡大には正規基底があることを述べている。代数的整数論において、正規整基底の存在についてのより洗練された問題の研究は、ガロア加群理論 の一部である。

をガロア群 を持つガロア拡大とする。古典的な正規基底定理は、F上のベクトル空間として考えた場合、Kの基底を形成するような元が存在することを述べている。つまり、任意の元は、いくつかの元に対して一意に と表記できる。${\displaystyle F\subset K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \beta \in K}$${\displaystyle \{g(\beta ):g\in G\}}$${\displaystyle \alpha \in K}$${\textstyle \alpha =\sum _{g\in G}a_{g}\,g(\beta )}$${\displaystyle a_{g}\in F.}$

正規基底は、という形式の原始元基底とは対照的です。ここで、は最小多項式の次数が である元です。 ${\displaystyle \{1,\beta ,\beta ^{2},\ldots ,\beta ^{n-1}\}}$${\displaystyle \beta \in K}$${\displaystyle n=[K:F]}$

ガロア群Gを持つ体拡大K / F は、各自己同型がそれ自身で表現される体F上の群Gの表現として自然に考えることができます。体F上のGの表現は、群代数F [ G ]の左加群として考えることができます。左F [ G ] 加群のすべての準同型は、何らかの に対して形式となります。はF [ G ] のF上の線型基底であるため、が全単射である場合とKのF上の正規基底が生成される場合に限り、 が全単射であることが容易にわかります。したがって、正規基底定理は、 K / F が有限ガロア拡大である場合、左加群として であると言うステートメントになります。 GのF上の表現に関して、これはKが正規表現と同型であることを意味します。 ${\displaystyle \phi :F[G]\rightarrow K}$${\displaystyle \phi (r)=r\beta }$${\displaystyle \beta \in K}$${\displaystyle \{1\cdot \sigma |\sigma \in G\}}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle K\cong F[G]}$${\displaystyle F[G]}$

有限体の場合、これは次のように述べることができます。^[1] q元の体を表すものとします。ここで、 q = p ^{m は}素数冪であり、 は次数n ≥ 1の拡大体を表します。ここで、ガロア群は、q冪フロベニウス自己同型によって生成される巡回群です。すると、 β ∈ Kという元が存在し、 は F上のK の基底となります。 ${\displaystyle F=\mathrm {GF} (q)=\mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle K=\mathrm {GF} (q^{n})=\mathbb {F} _{q^{n}}}$${\displaystyle G={\text{Gal}}(K/F)=\{1,\Phi ,\Phi ^{2},\ldots ,\Phi ^{n-1}\}}$${\displaystyle \Phi ^{n}=1,}$ ${\displaystyle \Phi (\alpha )=\alpha ^{q},}$${\displaystyle \Phi ^{n}=1=\mathrm {Id} _{K}.}$$${\displaystyle \{\beta ,\Phi (\beta ),\Phi ^{2}(\beta ),\ldots ,\Phi ^{n-1}(\beta )\}\ =\ \{\beta ,\beta ^{q},\beta ^{q^{2}},\ldots ,\beta ^{q^{n-1}}\!\}}$$

ガロア群が上記のように巡回的で、によって生成される場合、正規基底定理は 2 つの基本事実から従います。1 つ目は、指標の線型独立性です。乗法指標は、を満たす群Hから体Kへの写像χです。このとき、異なる指標はどれも、写像のKベクトル空間で線型独立です。これを、乗法群 からの写像と考えられるガロア群の自己同型に適用します。ここで、 は Fベクトル空間であるため、 を行列代数 M _n ( F )の要素として考えることができます。その冪は線型独立であるため ( K上、ましてF上では)、その最小多項式は少なくともn次、つまり でなければなりません。 ${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle \Phi ^{n}=1,}$${\displaystyle \chi (h_{1}h_{2})=\chi (h_{1})\chi (h_{2})}$${\displaystyle \chi _{1},\chi _{2},\ldots }$${\displaystyle \chi _{i}=\Phi ^{i}:K\to K,}$${\displaystyle H=K^{\times}}$${\displaystyle K\cong F^{n}}$${\displaystyle \Phi :F^{n}\to F^{n}}$${\displaystyle 1,\Phi ,\ldots ,\Phi ^{n-1}}$${\displaystyle X^{n}-1}$

2 つ目の基本的な事実は、などのPID 上の有限生成加群の分類です。このような加群M はすべてとして表すことができます。ここで、 は、モニック多項式またはゼロで、の倍数になるように選択できます。は、加群を消滅させる最小次数のモニック多項式、またはそのような非ゼロ多項式が存在しない場合はゼロです。最初のケースでは、2 番目のケースでは です。によって生成されるサイズnの巡回Gの場合、Xが に対応するF代数同型が存在するため、すべての-加群は、 Xの乗算が の乗算である-加群と見なすことができます。 Kの場合、これは を意味するため、 K を消滅させる最小次数のモニック多項式はの最小多項式です。Kは有限次元F空間であるため、上記の表現は で可能です。F [ X ]-加群としては、、およびのみが存在するため。 (これはF線型空間の同型であり、環やF代数の同型ではないことに注意してください。) これにより、上で説明した- 加群の同型が得られ、その下では右側の基底が左側の Kの正規基底に対応します。${\displaystyle F[X]}$${\textstyle M\cong \bigoplus _{i=1}^{k}{\frac {F[X]}{(f_{i}(X))}}}$${\displaystyle f_{i}(X)}$${\displaystyle f_{i+1}(X)}$${\displaystyle f_{i}(X)}$${\displaystyle f_{k}(X)}$${\textstyle \dim _{F}M=\sum _{i=1}^{k}\deg f_{i}}$${\displaystyle \dim _{F}M=\infty }$${\displaystyle \Phi}$${\textstyle F[G]\cong {\frac {F[X]}{(X^{n}-1)}}}$${\displaystyle 1\cdot \Phi }$${\displaystyle F[G]}$${\displaystyle F[X]}$${\displaystyle 1\cdot \Phi }$${\displaystyle X\alpha =\Phi (\alpha )}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle f_{k}(X)=X^{n}-1}$${\displaystyle \dim _{F}(K)=n,}$${\displaystyle k=1}$${\textstyle K\cong {\frac {F[X]}{(X^{n}{-}\,1)}}}$${\displaystyle F[G]}$${\displaystyle K\cong F[G]}$${\displaystyle \{1,X,X^{2},\ldots ,X^{n-1}\}}$${\displaystyle \{\beta ,\Phi (\beta ),\Phi ^{2}(\beta ),\ldots ,\Phi ^{n-1}(\beta )\}}$

この証明は巡回クンマー拡大の場合にも適用されることに注意してください。

フロベニウス自己同型 を持つ上の体を考えます。上の証明は、G (またはF [ G ]-加群)の表現としてのKの構造の観点から、正規基底の選択を明らかにしています。既約因数分解は 、 F [ G ]-加群の直和(中国剰余定理による)を意味します。 最初の要素は であり、2 番目の要素は、作用 の下でF [ G ]-加群として に同型です(したがって、F [ G ]-加群としては ですが、F -代数としては ではありません)。 ${\displaystyle K=\mathrm {GF} (2^{3})=\mathbb {F} _{8}}$${\displaystyle F=\mathrm {GF} (2)=\mathbb {F} _{2}}$${\displaystyle \Phi (\alpha )=\alpha ^{2}}$$${\displaystyle X^{n}-1\ =\ X^{3}-1\ =\ (X{-}1)(X^{2}{+}X{+}1)\ \in \ F[X]}$$$${\displaystyle K\ \cong \ {\frac {F[X]}{(X^{3}{-}\,1)}}\ \cong \ {\frac {F[X]}{(X{ +}1)}}\oplus {\frac {F[X]}{(X^{2}{+}X{+}1)}}.}$$${\displaystyle F\subset K}$${\displaystyle \mathbb {F} _{2^{2}}\cong \mathbb {F} _{2}[X]/(X^{2}{+}X{+}1)}$${\displaystyle \Phi \cdot X^{i}=X^{i+1}.}$${\displaystyle K\cong \mathbb {F} _{2}\oplus \mathbb {F} _{4}}$

正規基底に使用できる要素は、どちらのサブモジュールの外側の要素とまったく同じであるため、 およびとなります。の既約因子に対応する KのG軌道に関して、 の要素はの根であり、サブモジュールの非ゼロ要素はの根であり、この場合一意である正規基底は、残りの因子 の根によって与えられます。 ${\displaystyle \beta \in K}$${\displaystyle (\Phi {+}1)(\beta )\neq 0}$${\displaystyle (\Phi ^{2}{+}\Phi {+}1)(\beta )\neq 0}$$${\displaystyle t^{2^{3}}-t\ =\ t(t{+}1)\left(t^{3}+t+1\right)\left(t^{3}+t^{2}+1\right)\ \in \ F[t],}$$${\displaystyle F=\mathbb {F} _{2}}$${\displaystyle t(t{+}1)}$${\displaystyle \mathbb {F} _{4}}$${\displaystyle t^{3}+t+1}$${\displaystyle t^{3}{+}t^{2}{+}1}$

対照的に、 n = 4がp = 2で割り切れる拡大体の場合、F [ G ]-モジュール同型 が成り立ちます。 ここで、演算子は対角化可能ではなく、モジュールL には の一般化固有空間によって与えられる入れ子になったサブモジュールがあり、正規基底元βは、最大の適切な一般化固有空間の外側にある元、つまり を持つ元です。 ${\displaystyle L=\mathrm {GF} (2^{4})=\mathbb {F} _{16}}$$${\displaystyle L\ \cong \ \mathbb {F} _{2}[X]/(X^{4}{-}1)\ =\ \mathbb {F} _{2}[X]/(X{+}1)^{4}.}$$${\displaystyle \Phi \cong X}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle (\Phi {+}1)^{3}(\beta )\neq 0}$

正規基底は、楕円曲線暗号などの離散対数問題に基づく暗号化アプリケーションで頻繁に使用されます。これは、正規基底を使用した演算が通常、他の基底を使用するよりも計算効率が高いためです。

たとえば、上の体では、要素をビット文字列として表すことができます。 ここで、係数はビットです。ここで、左循環シフト を行うことで要素を二乗できます。β ^{4を二乗すると}β ⁸ = βとなるためです。これにより、頻繁な二乗を利用する暗号システムでは、正規基底が特に魅力的になります。 ${\displaystyle K=\mathrm {GF} (2^{3})=\mathbb {F} _{8}}$$${\displaystyle \alpha \ =\ (a_{2},a_{1},a_{0})\ =\ a_{2}\Phi ^{2}(\beta )+a_{1}\Phi (\beta )+a_{0}\beta \ =\ a_{2}\beta ^{4}+a_{1}\beta ^{2}+a_{0}\beta ,}$$${\displaystyle a_{i}\in \mathrm {GF} (2)=\{0,1\}.}$${\displaystyle \alpha ^{2}=\Phi (a_{2},a_{1},a_{0})=(a_{1},a_{0},a_{2})}$

は無限体Fの有限ガロア拡大であるとします。[ K  : F ] = n , 、ここで とします。原始元定理により、およびが存在します。と書きます。のK上の(モニック) 極小多項式f は、公式 によって与えられる 既約次数n の多項式です。 f は分離可能 (単根を持つ) なので、次のよう に定義できます。 言い換えると、 に対して およびであること に注意してください。 次に、K上の多項式の行列A を、多項式D をで 定義します。 、ただしk はによって決定される ことに注意してください。特に の場合に限ります。 は、各 をに送るGの置換に対応する置換行列です。 （で評価することによって得られる行列を で表します。）したがって、 です。 D は非ゼロ多項式であるため、有限個の根しか持たないことがわかります。 F は無限であると仮定したので、となる を見つけることができます。 を定義します が正規基底であると 主張します。がF上で線形独立であることを示すだけでよいので、ある に対して と仮定します。自己同型性を適用すると、すべてのiに対して が得られます。言い換えると、 です。 であるため、 と結論付けられ、これで証明が完了します。 ${\displaystyle K/F}$${\displaystyle {\text{Gal}}(K/F)=G=\{\sigma _{1}...\sigma _{n}\}}$${\displaystyle \sigma _{1}={\text{Id}}}$${\displaystyle \alpha \in K}$${\displaystyle i\neq j\implies \sigma _{i}(\alpha )\neq \sigma _{j}(\alpha )}$${\displaystyle K=F[\alpha ]}$${\displaystyle \alpha _{i}=\sigma _{i}(\alpha )}$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle {\begin{aligned}f(X)&=\prod _{i=1}^{n}(X-\alpha _{i})\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}g(X)&=\ {\frac {f(X)}{(X-\alpha )f'(\alpha )}}\\g_{i}(X)&=\ {\frac {f(X)}{(X-\alpha _{i})f'(\alpha _{i})}}=\ \sigma _{i}(g(X)).\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{i}(X)&=\prod _{\begin{array}{c}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{array}}{\frac {X-\alpha _{j}}{\alpha _{i}-\alpha _{j}}}\\g(X)&=g_{1}(X).\end{aligned}}}$$${\displaystyle g(\alpha )=1}$${\displaystyle g_{i}(\alpha )=0}$${\displaystyle i\neq 1}$${\displaystyle n\times n}$$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{ij}(X)&=\sigma _{i}(\sigma _{j}(g(X))=\sigma _{i}(g_{j}(X))\\D(X)&=\det A(X).\end{aligned}}}$$${\displaystyle A_{ij}(X)=g_{k}(X)}$${\displaystyle \sigma _{k}=\sigma _{i}\cdot \sigma _{j}}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle \sigma _{i}=\sigma _{j}^{-1}}$${\displaystyle A(\alpha )}$${\displaystyle \sigma _{i}}$${\displaystyle \sigma _{i}^{-1}}$${\displaystyle A(\alpha )}$${\displaystyle A(X)}$${\displaystyle x=\alpha }$${\displaystyle D(\alpha )=\det A(\alpha )=\pm 1}$${\displaystyle a\in F}$${\displaystyle D(a)\neq 0}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\beta &=g(a)\\\beta _{i}&=g_{i}(a)=\sigma _{i}(\beta ).\end{aligned}}}$$${\displaystyle \{\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}\}}$${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{n}}$${\textstyle \sum _{j=1}^{n}x_{j}\beta _{j}=0}$${\displaystyle x_{1}...x_{n}\in F}$${\displaystyle \sigma _{i}}$${\textstyle \sum _{j=1}^{n}x_{j}\sigma _{i}(g_{j}(a))=0}$${\displaystyle A(a)\cdot {\overline {x}}={\overline {0}}}$${\displaystyle \det A(a)=D(a)\neq 0}$${\displaystyle {\overline {x}}={\overline {0}}}$

という理由から と考えたくなります。 しかし、 という事実を利用して、任意のF自己同型および多項式に対して、における多項式の値がに等しいと結論付けているため、これは許されません。${\displaystyle a=\alpha }$${\displaystyle D(\alpha )\neq 0}$${\displaystyle a\in F}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle h(X)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \sigma (h(X))}$${\displaystyle \sigma (h(a))}$

有限体E / Fの拡大の原始正規基底は、 Eの原始元、つまり乗法群K ^×の生成元によって生成されるE / Fの正規基底です。(これは、一般正規基底定理の後に上述したものよりも制限された原始元の定義であることに注意してください。つまり、 Kのすべての非ゼロ元を生成するには、単なる基底ではなく、元の累乗が必要です。) Lenstra と Schoof (1987) は、すべての有限体拡大が原始正規基底を持つことを証明しました。 Fが素体である場合は、Harold Davenportによって解決されています。

K / F がガロア拡大で、Kのx がF上の正規基底を生成する場合、x はK / Fで自由です。x が、固定体K ^Hを持つガロア群Gのすべての部分群Hに対して、K / K ^Hに対してx が自由であるという性質を持つ場合、x はK / Fで完全に自由であると言われています。すべてのガロア拡大には完全に自由な元があります。^[2]

• フィールド拡張における二重の基礎
• 多項式基底
• ツェッヒの対数

• Cohen, S.; Niederreiter, H.編 (1996)。有限体とその応用。第 3 回国際会議の議事録、英国グラスゴー、1995 年 7 月 11 ～ 14 日。ロンドン数学会講演ノート シリーズ。第 233 巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-56736-7.ZBL0851.00052  .​
• Lenstra, HW Jr ; Schoof, RJ (1987). 「有限体の原始正規基底」.計算数学. 48 (177): 217–231. doi : 10.2307/2007886 . hdl : 1887/3824 . JSTOR  2007886. Zbl  0615.12023.
• Menezes, Alfred J.編 (1993)。有限体の応用。Kluwer International Series in Engineering and Computer Science。第 199 巻。ボストン: Kluwer Academic Publishers。ISBN 978-0792392828.ZBL0779.11059  。​